PETITE CONTRIBUTION A LA THÉORIE DE QUELQ. FONCT. TRAN8CEND
b) Je vais maintenant exposer là seconde méthode de réduction; mais comme celle-ci est assez longue et compliquée quand fx est une fonction rationnelle quelconque de cr, je me bornerai au cas où fx, est une fonction entière. On a donc
En différentiant l'expression — ^ -^- où
\px =i{x-\-a){x-\-a)... {x -\-a^'%
on obtient
Xp'x-^-XfKTÏ^^^ '\-fx
Pour réduire cette expression, considérons Téquation
OÙ F^ F\ i^" ...• désignent les valeurs que prennent Fx, F'x, F"x... quand on fait x = 0. On a ainsi
ou, en remarquant que -S'^^ — —a^ = ra,
Fx Fa . „„ ir*+>.'+i;
où Ton a mis p-\-p' -\-\ au lieu de p. En différentiant cette fonnule par rapport à a on obtient
Si dans cette formule on pose Fx = rfjx, on a
(.2? — a)^ (x — ay ' X — a ' 2 ,3 . . .(p-\-j/ -\-2)
En mettant dans la première formule, pour Fx la fonction entière y/'x -|- yjx l- — hy^ ? ^^ obtient •
PETITE CONTRIBUTION A LA THÉORIE DE QUELQ. FONCT, TRANSCEND, 45
Si Ton substitue ces valeurs dans l'expression de tZ -—^ — L on obtient
En intégi-ant cette équation, divisant de part et d'autre par rpa^ et écrivant
T 1 Ce-f'wx.dx dp ,. , fe-f^wx^dx
p au heu de / — , -j- au heu de / ,— ^ — ^^ on trouve
dp l flp'a , /., \ ^-^^ cro? . ipx e^^ (Tc . i//c
OU bien
(2) L, ff' . .A*+'''-^"
Les ëquatlons (1) et (2) deviennent immédiatement intégrables quand on
g—fa
les multiplie par - ; on obtient de cette manière, en remarquant quon a
(fa (fu '
46 PETITE CONTRIBUTION A LA THÉOKIE DE QUELQ. FONCT. TKAN8CEND.
les deux formules suivantes:
^ = e^'(pxlY c ^ V'^ I r \ —
q^x J iP' — *^7 9^ j (s^ — <*) ff*f
- = &' (fX. XlJX I > c ; <y'WC.1pC I -p s —
y J (** — A')qn. i^ia ' ^ J (* — e)(f<i. tf>a
+ 22<p{p,p')j^^'^^- .je^^ y>x . x^dx -\-C{x).
La quantité c étant arbitraire, nous ferons dans la première formule e^''(pc = Oj dans la seconde e^* y^ . i//c = 0. Si de plus on suppose que les
intégrales prises par rapport à a s'annulent pour = 0 , on voit aisément
les deux formules suivantes:
(fa
/ — ^ — - — e^'wx / 7 r — = ^^ 7>y*^ / . / e^'œx . xJ^^ -*dx
ij x — a ^ J{a — x)qu ^' J ^ J
^'^) ' J (a + a"^) (fa'j a; -f «""
— / — ^ e-^'œx.wx ly r — —
(pa J A' — (i J (" — ^7 y^ ' V'^
Si dans la première de ces formules, fx est une fonction entière, on a â^^^ = 0^ donc
(paj X — a ^ J (p- — x)(f(^
(5) = ^^(i> +/>' + 2) j,r..P-.«Jij^^^' *« .J^x y^ . a:' cfa
xdx
PETITE CONTRIBUTION A LA THEORIE DE QUELQ. FONCT. TRANSCEND. 47
Je vais irtaintenant appliquer les formules générales à quelques cas spéciaux.
a) Si Ton fait (pa=zl, la fonimle (3) donne
Si de plus fx est une fonction entière, on a (y*^ = 0; dans ce cas la formule devient
(6) e-/« [îfl^ — ef TfJ^ = ^^(p+^'+2) ;/'^+''+*^ [e'^'a^da . fe^'x'dx.
I tC ^—~ CL I d ~~~ JS V t/
En développant le second membre, on obtient
/« (îfl^^ef- ri2^=:2/« fe-^'da.fef'dx J X — a J a — X ' J J
-\- S/"^ (fe--f'ada .Je^'dx -^fe-^'da -J^'x dx\ + 4y^*^ ( [^'^"(i* àa fe/" dx 4- /W'a da . j'ef'x dx
-\-fe-'^'da.fe^'x*dx\
-f- n/'^ ( l'e--f''a'^^da. fe^'dx -[- i'e-^'a'-^da . fe^'xdx -\-...
-|j / W" da . / V'œ"-* dx\ .
Si par exemple fx = x'', on a y^*^ = y^ = . . , = y^"-^^ =: 0 , j''^"^=l; la formule ci-dessus devient
,— rr:j^ e'" ff:::^ = n f / e-- a-* cfe . / e«" dx J x—a J a — x \J J
+ / e-"" a"-» da . IV xdx + . . . + /'e~"" <^a .fe'"x'^*dx\ ; par exemple pour « = 2 , « = 3 , on a respectivement
''fîL^-e''f^-'^- = 2 fe-'''da.fe''dc,
-» r^ e-'j^^ = 3 (J'e-'ada .Je'' dx +y e-"' da .jVx dx)
48 PETITE CONTRIBUTION A LA THEORIE DE QUELQ. FONCT. TRANSCEND.
b) Posons maintenant dans la fonnule (3) fx = 0^ nous aurons
^ ^ ^ J (a — ûr)(fa (f<ij x — a ' J {a-\-a^^)(f<i J x.-\- a^
OU bien, en développant le second membre,
r (la ^ f T*^ ' ^^^ /? /* ^^ f V^ ' ^^
J {o, — x^ifii (faj X — a J i^'\~^)V'^J «ï^ + o
'^^ J (a + a')(fa'J .r -fer'' "T ' * * «" ' J la-\-a(^^)cpa'J x+a(''>
OÙ il faut se rappeler qu'on a
(px = (x + aY {x + aY . . . . (x + a^'^Y^^ (pa={a-\- af {a + a'f .... (a -f a^»^^^"^-
c) En faisant dans la fonnule (4) fx = 0^ on obtient
V^J *^ — ^ T 'T J ^^ — x)(pa,xpa ^ ^^^^ ^ j (pa.ipaj ^
/\cp+p'+i;
où y (i^, 2^ j — 2 :3:7. (>+p+2) + 273T::ôH=7Ti) '
d) Posons dans la fonnule (8) /? = /?' = ... zz=:/î^"^=i=//i, nous aurons
(px = {ipxY, (fx . ifjx = (i/;x)"*"*"*,
(px=zm(xpxY-'ipx, "^-^ =vi^x,
donc en posant
nous avons
t^x z= A; -f- ifc'x + ifc'V + . . . + fc'"^ x%
En substituant ' ces valeurs, on trouve
PETITE C ONTRIBUTION A LA TH OKIE DE QUELQ. FONCT. TRANSCEND. 49
Le cas où //i = — ^ a cela de remarquable, que les intégrales par rapport à x et à a prennent la même forme; en eflet on a
{xfjaY^' = {ipay = yil;â, ^-^^- = y^,
Si Ton suppose, par exemple que ipx ^= 1 -{- ax'% on a fc^"^ = «; yp+p'-*-^) sera égal à zéro, à moins que ^>^^;'-[-2 = /z, c'est-à-dire que p=zn — p^ — 2; donc
J (^ — a)yl-|-a^'* J (a — or^
) yi + aa»
En développant le second membre, on a
r dx -mT^ j~ ^ r (la
y 1 + aa'J -(J^Zây^^ax'- ~^ ~^^^ J (a — or) Vl^ace^
I ^ / /IN r /* ^"^^^^ f '^^"^dx. r a^'^^^da Ç xdiV
\ ^ ( fK\ï f ^^^ f x'^'^dx r a'^'-^da C x^dx
\ 2 ^^~ ^ [ j yi 4-aa~« J y r+ aa;» J y r+aa» J V 1 ^^'^^ .
Par exemple si 7z = 3, on a
^ ' J {x — a) y 1 + aw;^ J (a — x)\\
-\- aa'
a r r da r xdx /' ada f' iLc
~ 2 L J yf-Çaa^ J Vï+ax^ ~J Vi + «a^ JVÏ+'ax^ J '
Comme second exemple je prends
ifjx =z (1 — x^) (1 — «X*);
alors on a fc=l, k' = 0 = k''', fc" = — (1 + a), &"" = a. Si l'on écrit — a pour a, la formule devient
50 PETITE CONTRIBUTION A LA THÉOKIE DE QUELQ. FONCT. TRANSCEND.
V(ï-'"")(i-"«»")7(i+,^V(rSKr:^-...
En posant
^^ ^ ^ V (« + ^r) y(l - a') (1 - au')
/ilii ^ Ç x^dœ
r a^da Ç
~ ^'Jy(l — a^) (1 aa^) J "
on a
y(l — x^) (1 — ax^) = cos (f yr — « sm^^ , y(l — a*) (i — aa*) = cos tpYÏ~^ a sin^i// ,
da diff
y(l — ^*y(l"^a^s) — y!— ^sin>'
a *da sin* i// c^ if)
y(î^a*)7î — a^«) "" Vl — asin^*
En substituatit ces valeurs, on trouve
cos 1/^ yi « Sin*'*// / — i -z - rrz
J (sin (p -\- sin ?/') y 1 — a sin^y
— COS (/5 yi — « sîn*^ / —
J (sin ?/'
(sin ip -\- sin (jf) Vl — a sin^i/;
/(Zï/' r sm^(pd(p r sin^ iffdift C drp
yl — asin^j/' J yi — asin^r/' J Vl — asin^i/; j Vl — asin^y
Cette formule répond à celle que M. Legendre a donnée dans ses Exercices de calcul intégral t. I p. 136, et elle peut en être déduite.
e) Si dans la formule (5) on pose fx=^x^ on obtient
PETITE CÔNTKIBUTION A LA THÉORIE DE QUELQ. FONCT. TKANSCEND. 51
d'où en développant le second membre on tire
C' er-^da er-^ Ce^wx.da; ^ C e—^da Ce'wœ.dx e'(px r /-^ = /9 I /—-T
.ctr
Par exemple si ^/)a:=:yx* — 1, on a /9z=:/î' = ^, « = 1, a' = — 1, donc
e^\x^—l / pr.=-= 7^-^-^ /
' J (a—x)^/a^—l Va^—lJ ^—<^
Ç er^da Ce'^dxVx^—l .. C er^du Çe^dxix^—l
f) En posant dans la formule (4) ft=z(3' ^z/S'^ =2... = /^''^ =zm^ on a (px = {yjxY^ <fx.\px = ((ifjxY'^^ , donc
^ ref'{4fxYdx y^. Nm+iT g--^"^ (11) (V'o)^ j ^ - a ^ ^W j (a^) (^a)-+^
= ^^cp{p,p^)Jf^^ .jef^ {^xrx^dx .
Or on trouve
donc, en faisant
fx = y-\-y'x-{-y"x*-] \-y<''>x''',
rf;x = k-\-k'x-\-k"x*-\ |-fcf"Jx",
on a
<PiP,P') = {P +P' + 2) r"'''''' -h{p + i-\-^iP +y + 2)) k^'^^'-'K
Par conséquent on a
+ (i'-hl+"'(i>+i''+2))fc*^''^"]/^^^-/^'W"^''^.
52 PETITE CONTRIBUTION A LA THÉORIE DE QUELQ. FONCT. TRANSCKNI).
Si Ton fait m =; — ^ , ou trouve
e-^'^ywâ l — -r — e^'V^x 1 ~—~ -
^ ^ J (^a) Vifur ^ ^ J (a — .r) Vn^a
Soit par exemple fx = x et (/;x=:l — x*, on a donc
En écrivant — a au lieu de a, on obtient
en posant x = siny, et a=:sini^, on trouve
cos
^ J sin y + 8in i/; ^ J sin iff + sm 7^
les intégrales devant s'annuler pour y = -g- , \^^=^ -
Je vais maintenant faire une autre application des écpiations générales; Nous avons jusqu'à présent regardé x et a comme des indétenninées, sans nous occuper des valeurs spéciales de ces quantités qui simplifieraient les formules. Nous allons maintenant chercher de telles valeurs.
a) Considérons en premier lieu l'équation (5). Le premier membre de cette équation contient deux intégrales, mais comme chacune d'elles est multipliée par une quantité dépendant respectivement de a et de x^ il eat clair qu'on peut donner à ces quantités des valeurs telles, que les intégrales disparaissent, ou l'une, ou toutes les deux, pourvu seulement que chacune
des équations = 0, </*yx = 0, ait au moins deux racines différentes; car
nous avons déjà supposé que les intégrales s'aniuilent pour des valeurs de ce et de a qui satisfont à ces équations.
Supposons d'abord e^''(px = Oj nous aurons après avoir nuiltiplié par
PETITE CONTRIBUTION A LA TIIÉOKIE UE QUELQ. FONCT. TRANSOEND. 53
les équations entre parenthèses indiquant les limites entre lesquelles les intégrales doivent être prises; ces limites doivent satisfaire aux équations
De la formule précédente découle le théorème suivant:
'''--, entre des limites qm annulent la "fonction e^'ipx peut être exprimée par des intégrales des formes suivantes:
Je <px.xdx, J ---,--. J-,-+„lpr' jia+a<r>)^^
"les intégrales par rapport à x étant prises entre les mêmes limites que la "première intégrale."
Ce théorème a cela de remarquable, que la même réduction est impossible, quand l'intégrale / i——- est prise entre des limites indéterminées.
En posant fx = Oj on obtient
Cffo- . d;r ^ ^ ^ n(j,) f J^t __ (ifœ.dœ
(14) J •^— « "" jlci + a^P))ffa J x-^a^P)
(^x=ix\ x:=:^x'\ aT=.a^.
Si Ton pose (px=l^ on aura
fr 1-^a r=i ef- 2:2 {p -\-j/ + 2) -^^+^'+«^ fe-^^ a^'da . (e/^x^lx.
{xi=zx\ x^=^x'\ a=za').
Supposons maintenant qu'on donne en même temps à a une valeur qui annule la quantité - ? et soit a" cette valeur, la fonnule (13) donnera
(pci
dx
