PETITE CONTRIBUTION A LA THÉORIE DE QUELQ. FONCT. TRAN8CEND
En supposant fx^=hx^ on en tire
En faisant fc = 0, on obtient
(x = x', x=zx^^'j a = a', a=za'').
Posons par exemple <fx = ^x^ — ï = "^x — l)(a;-j-l), on a
/?=/9'=^; a = — l, a' = l; a:' = l, x"=—V, a' = oc^, a''= — oo; donc
j (a — 1) V^— i J ^—1 "^J(a+ 1) Yd^—lJ "~H-l" ~~
(ic'=l, ir" = — 1; flf'z=-|-oo, a'' = — oo), ce qui a lieu en efifet, car on a
( 1^___ = JA±^ = 0 (a' = + oo, a" = -oo),
J(o l)Vrt«— 1 »^ a — 1 V T- » y»
r -^ - = l/^ = 0 (a' = + oo, a" = -oo).
Si dans la formule (16) on fait (fx=i\^ on obtient
(ir=:x', a; = a;"; a = a',, a = a").
b) Considérons en second lieu la fonnule (4). En supposant /^•^'ya'.^'ir=0, on. trouve après avoir multiplié par e^'^tpa
— ^ -=ie^''(pa2:Sq)(p,p) 1 , le^'wx.x^dx
(x=Lx\ x = x":^ a=ia/)^ oh Ton a
e^'(px'.tijx' = 0, ef''<f.x".yjx" = 0, ^ = 0.
PETITE CONTRIHUTION A LA THÉORIE DE QUELQ. PONCT. TRANSCEND. 55
Cette fornuile se traduit eu théorème comme suit:
— * - — y prise entre des limites qui anuu- X a
"lent la quantité e^^ifx.ipx^ peut être exprimée par des intégrales dé ces
/6~~'^^ o.^* (1(1 r (fa.ipa J ^ Pour des valeurs indéterminées de x au contraire, cette réduction de
— / est mipossible.
En faisant (3 = (3' = n=/?^'»^=z m, on obtient la formule suivante
{x = x\ x=:x'^'^ a = a')^ où
xf/x =: {x -\- a) {x -\- a') (x -j- a^"^ ).
Si de plus on suppose fx = 0^ on obtient
On a donc le théorème suivant, qui n'est qu'un cas spécial du précédent:
-—-—-, prise entre des limites qui satis- X a
"font à l'équation ((/;a::)'"^^ = 0, peut être exprimée par des intégrales des "formes /r}~Y"H^i' 1 {iffx)'^ x^ dx ^ ifjx étant une fonction entière de x."
En faisant m = — ^ , on obtient
f 1^^ = ---- -2:2:ip — p')¥^'^^'''^^ ('"'-'t.f-^
(23) J{x — a)^/lj^x 2Viffa ^^ ^ ■ J Vif'a J Vihx
d'où le théorème suivant:
r (Ir .
"La valeur de l'intégrale / > prise enti-e des limites qui amm-
J (x — a) y iffx
"me
56 PETITE CONTRIBUTION A LA THÉOUIE DE QUELQ. FONCT. TKANSCEND.
"leut la fonction ipx^ peut être exprimée par des intégrales de la for-
Faisons par exemple \px=z{l — x^){l — ax^)^ nous aurons x-'=l, x'= — 1, a;' = }/A, x' = -\/\; a'=l, -1, j/i-, -]/ \; donc
J (if — a) y(l — U7^) (1 — a.c^)
/(la Ç x^ (Le
r a^ (la r dx
Si dans la fonnule (22) on suppose (/;^=:zl — a:*", on trouve
(a:=l, x= — 1, a=il), où m-]-l doit être moindre que Tunité, c'est-à-dire que m<^0. On a
<^Ki>,i>') = (i' + 1 + ^« {P +i>' + 2)) A^^'^"'^*^ :
puisque A;^''"'^^'^^^ = 0, à moins que j9-|-p'-j-2 = 2/?, et comme ]c^"=z — 1, on en tire
viihp) = — (i> + 1 + 2 //i/0-
L'intégrale Ml — x'^'^Yx^'âx peut être exprimée par la fonction 1\ On a en effet
PETITE CONTRIBUTION A LA THÉORIE DE QUELQ. PONCT. TRANSCEND. 57
f {l — x^''Yx^dx= — f (l—x^'^Yx^dx-^-f {l — x^'^Yx^dx.,
Mais on a
[ {l — x^''Yx^dx = {—iy^^Ç {l — x^''Y^''d^-^
J 0 Jo
comme on le voit en mettant — x au lieu de x. Donc
r (1 — x^»)'"ir'' Jx= ((— 1)''+^ — l) f\l—x^*Y^''^^j
c'est-à-dire qu'on a
Or on déduit aisément d'une formule connue (Legendre Exercices de calcul intégral t. I p. 279) l'équation suivante
on a donc
En substituant cette valeur, et écrivant ensuite — m pour m^ on obtient
V^*^ j(a.a) (i— x»»)-~«(l— a«»)- ^ ^"^-PT^^ -"*"-' j./,„^i^ i + »Vy (1— a*»)'—
(xii^l, «= — 1; a=l).
Si l'on fait m = ^, on trouve
j(.r— rt)Vi— :r«» „yi«>!» V i- 1^ '^ ï'/' 1 ^ 1 + 2?y yi— «
58 PETITE CONTRIBUTION A LA THÉOKIE DE QUELQ. FONCT. TRANSCEND.
Par exemple si w = 3, on trouve
(a:=l, ic=: — 1; a=l).
Or on a J^(-J-)=:y^, en substituant cette valeur on obtient
(a;=l, aj= — 1; a=l).
Dans ce qui précède nous avons supposé e/'(px.ipx = 0] supposons
maintenant qu'on ait en même temps zzzO, et désignons par a" une
valeur de a qui satisfait à cette condition. L'équation (4) devient dans ce cas:
Si yi = 0, on a
JSSœip.p') I —' I (fx.x^dx = 0
(26) ^^^'^ ^J (fu.iffaj^
Supposons que /?, /3', /3'\.. soient négatifs, mais que leurs valeurs absolues soient moindres que l'iuiité, nous aurons (px . i//:r ==: 0 pour x= — a ^^\
et — = 0 pour a = — a^^K On obtient ainsi la fonnule suivante
(fa ^
/ /x ÇaV'da Ç œ^ dœ ^
(27) VKPtPJj xfa"j~^x~~
où Ton a fait
(px = {x-\- af {x + a'f {x + ay\ . . . ^a = {a-^ af-^ {a + aj-f"' (a -f a'J-P". . . . , A P\ /?''... étant positifs et moindres que l'unité.
PETITE CONTRIBUTION A LA THEORIE DE QUELQ. FONCT. TRANSCEND.
En faisant /? = /?' = /?" = ... = ^ , on obtient
J Vfpa J Vffx
Dans cette formule on a
Par exemple si Ton pose ipx = {l — x)(l-\'x)(l — cx){l-\-cx)^ on a
«=1 «' = — 1 «'' = — , a"' =^ 9 donc
' ' c c r da C ie^ dx /*
a* da
y(l — a*)(l—c^a*) jy"(i— «=!) (1— c»x*) jy(l—a») (i—c*a^) jy(l—a!*jll—c*x*)
a^)JV(l—^'
rip
l'intp.nrral
Jy(i
- ^^ : .^.^ depuis a:=:0, nous
aurons
ftc
= Fa' — Fa,
= Ea' — Ea.
60 PETITE CONTRIBUTION A LA THÉORIE DE QUELQ. FONCT. TRANSCEND.
Eu substituant ces valeurs, ou aura la formule suivante
Fil) e[1] = E il) Fi^"^]
On n'obtient pas d'autres relations quel que soit le sy^Jèine de limites qu'on emploie, excepte seulement les systèmes qui donnent des identités, savoir le l*'", le 5^^™® et le 8î^"^^
prise d'une limite inférieure arbitraire, on a
En substituant cette valeur dans la formule (28), on obtient la suivante:
(29) 22[p—p')U'^^'^'^Fi^,a)F{'p\a')-y22:[p—p^^^^
De cette fonnule on peut en déduire beaucoup d'autres plus spéciales en supposant (fx paire ou impaire, mais pour ne pas m'étendre trop au long je les passe sous silence.
Il faut se rappeler que a, a', a\ «'" peuvent désigner des racines quelconques de l'équation (fx=^0. On peut aussi supposer a=^a\ a"=ia"\
YI
RECHERCHE DES FONCTIONS DE DEUX QUANTITÉS VARIABLES INDÉ- PENDANTES X ET y, TELLES QUE /(x, y), QUI ONT LA PROPRIÉTÉ QUE /(z, f{x, y)) EST UNE PONCTION SYMÉTRIQUE DE z, x ET y.
Journal fur die reine und angewandte Mathematik, herausgegeben von CrelU, Bd. I, Berlin 1826.
Si Ton désigne p. ex. les fonctions ^-\-y ©t xy par /{x^ y), on a pour la première, f{zj f{x^ y))z=z-^f{x^ y)=izz-j-aj-j-y, et pour la seconde, /(25, /(ic, y))z=zzf(x^ y)=zxy. La fonction /{x^ y) a donc dans Tun et l'autre cas la propriété remarquable que /(2, /(x, y)) est une fonction symétrique des trois variables indépendantes z^ x et y. Je vais chercher dans ce mémoire la forme générale des fonctions qui jouissent de cette propriété.
L'équation fondamentale est celle-ci:
(1) f{Zj f(x^ y)) = une fonction symétrique de x^ y et z.
Une fonction symétrique reste la inême lorsqu'on y échange entre elles d'une manière quelconque, les quantités variables dont elle dépend. On a donc les équations suivantes:
A^^ A^j y)) =Ayj A^^ ^)) •
62 RECHEKCHE DES FONCTIONS DE DEUX QUANT. VARIABLES INDEP. etc.
La première équation ne peut avoir lieu à moins qu'on n'ait
c'est-à-dire que f(x^ y) doit être une fonction symétrique de x et y. Par cette raison les équations (2) se réduisent aux deux suivantes:
Soit pour abréger f{x^ y^=rj /(?/, z) = v^ f{z^ 'j;)=zs^ on aura
En difïérentiant successivement par rapport à x, y, 2, on aura
•^ dx ^ dx ^
r, dv ri àr
rt ds y., dv
•^ dz '^ dz '
Si Ton multiplie ces équations membre à membre et qu'on divise les produits par f'r .f'v .f's^ on obtiendra cette équation
OU bien
dr dv ds
dr
dv
ds
dx dy dz
dy
dz
dv
ds
dr dy dx dv ~^
dr
dx ds
dz
dz
Si l'on fait z invariable, J~'i ^^ réduira à une fonction, de y seule.
Soit (py cette fonction, on aura en même temps -j- : - , - = (px'^ car s est la même fonction de ^ et x que v l'est de 2 et ^. Donc
. dr dr
On en tirera, en intégrant, la valeur générale de r,
r='p{f(p-r-dj;-\-f<py.d>/),
RECHERCHE DES FONCTIONS DE DEUX QUANT. VARIABLES INDJSP. etc. 63
ip étant une fonction arbitraire. En écrivant pour abréger (px pour I (pxdx^ et (py pour jfpydy^ on aura
(7) r = tp{(px^(py), ou /{x, y) = if;{(px-\-(p2j).
Voilà donc la forme que doit avoir la fonction cherchée. Mais elle ne peut pas dans toute sa généralité satisfaire à l'équation (4). En effet l'équation (5), qui donne la fonne de la fonction f{x^ y), est beaucoup plus générale que l'équation (4), à laquelle elle doit satisfaire. Il s'agît donc des restrictions auxquelles l'équation générale est assujettie. On a
/{z,r) = y;{(pz-\-(pr).
Or r = \p{(fx-\-(py)^ donc
f(z^ r) = xfj{(pz + (pip{(px + ipy)).
Cette expression doit être symétrique par rapport à x^ y et z. Donc
(fz -f (pxp{(px 4- (py) = (px-\- (pip{(py -\-(pz).
Soit (pz=zQ et (py = Oj on aura
(pxpipx =z(px-\- (pip{0) = (pX-\-Cy
donc en faisant (px=pj
(pil;p=i2)-\-C.
En désignant donc par <pi la fonction inverse de celle qui est exprimée par
y, de sorte que
q)(p^x=iXj
on trouvera
rpp = (p^(j)-\^c).
La forme générale de la fonction cherchée f{Xj y) sera donc
f{x, y) = (p,{c -^(px-\-(py), et cette fonction a en effet la propriété demandée. On tire de là
ou, en mettant ipx — c à la place de (px^ et par conséquent rpy — c à la place de (py et ^/{x^ y) — c à la place de (pf{x^ .y),
64 RECHERCHE DES FONCTIONS DE DEUX QUANT. VARIABLES INDÉP. etc.
Cela donne le théorème suivant:
LorsqiCune fonction f(x^ y) de deux quantités variables indépendantes X et y a la propriété que f(z^ f{x^ y)) est une fonction symétrique de x^ y et z^ il y aura toujours une fonction yj pour laquelle on a
La fonction f{x^ y) étant donnée, on trouvera aisément la fonction rpx. En effet on aura en difi'érentiant Téquation ci-dessus, par rapport à x et par rapport à y, et faisant pour abréger f(xy y) = r
donc en éliminant i//V,
d'où
dr . ^ dr ,
dr
f f dx
xlJX=zxfjy-^-~.
Multipliant donc par dx et intégrant, on, aura
dr fx = ipy I -,- dx.
dr dy
Soit par exemple il se trouvera une fonction '^ pour laquelle
dr dr
Comme r = xyj on a -^ -= y , -^ zm x , donc
xf;x = f'yj-^dx = yip'y.\ogcx,
ou, puisque la quantité y est supposée constante,
ifjx:=a log ex.
KKCHEKCHE DES FONX'ÏIONS DE DEUX QUANT. VARIABLES INDEP. etc. fi 5
Cela donne i/;^ = a log r//, iii{xij)=^a\o^ cxy\ on doit donc avoir:
a log cxy = a log ex -\~ a log cy ,
ce qui a effectivement lieu pour c = 1.
Par un procédé semblable au précédent, on peut en général trouver des fonctions de deux quantités variables, (jui satisfassent à des équations données à trois variables. En effet, par des différentiations successives par rapport aux différentes quantités variables, on trouvera des équations, desquelles on peut éliminer autant de fonctions înconimes qu'on voudra, jusqu'à ce qu'on soit pai'venu à une équation qui ne contienne qu'ime seule fonction inconnue. Cette équation sei'a une équation différentielle partielle à deux variables indépendantes. L'expression que donne cette équation contiendra donc un certain nombre de fonctions arbitraires d'une seule quantité variable. Lorsque les fonctions inconnues trouvées de cette manière seront substituées dans l'équation donnée, on trouvera une équation entre plusieurs fonctions d'une seule quantité variable. Pour trouver ces fonctions, on doit différentier de nouveau et l'on parviendra ainsi à des écjuations difiérentielles ordinaires, au moyen desquelles on trouvera les fonctions, qui ne sont plus arbitraires. De cette manière on trouvera la fonne de toutes les fonctions inconnues, à moins qu'il' ne soit impossible de satisfaire à l'équation donnée.
vn.
DEMONSTRATION DE L'IMPOSSIBILITE DE LA RESOLUTION ALGEBRIQUE DES ÉQUATIONS GÉNÉRALES QUI PASSENT LE QUATRIÈME DEGRÉ.
Journal ftir die reine and angewandte Mathematik, heransgegeben von CrcUe, Bd. 1, Berlin 1826.
On peut, connue on sait, résoudre les équations générales jusqu'au quatrième degré, mais les équations d'un degré plus élevé, seulement dans des cas particuliers, et, si je ne me trompe, on n'a pas encore répondu d'une manière satisfaisante à la question: "Est-il possible de résoudre en général les équations qui passent le quatrième degré?" Ce mémoire a pour but de répondre à cette question.
Résoudre algébriquement une é(juation ne veut dire autre chose, que d'exprimer ses racines par des fonctions algébriques des coefficiens. Il faut donc considérer d'abord la forme générale des fonctions algébriques, et chercher ensuite s'il est possible de satisfaire à l'équation donnée, en mettant l'expression d'une fonction algébrique au lieu de l'inconnue.
Sur la forme généroLf (les fonctiotis cdgél/riques.
Soient 'x\ x'\ x"\,. un nombre fini de quantités quelconques. On dit que v est une fonction algébrique de ces quantités, s'il est possible d'exprimer v en x\ x'\ x"\.. à l'aide des opérations suivantes: 1) par l'addition; 2) par la multiplication, soit de quantités dépendant de x\ x'\ x'" . . . , soit de quantités qui n'en dépendent pas ; 3) par la division; 4) par l'extraction de racines d'indices premiers. Panni ces opé-
DÉMONSTR. DE L'IMPOSS. DE LA RÉS. ALGÉBR. DES ÉQUATIONS etc. 67
rations nous n'avons pas compté la soustraction, Vélévation à des puissances entières et l'extraction de racines de degrés composés, car elles sont évidemment comprises dans les quatre opérations mentionnées.
Lorsque la fonction v peut se former par les trois premières des opérations ci-dessus, elle est dite algébrique et raiionneUe, ou seulement rationnelle; et si les deux premières opérations sont seules nécessaires, elle est dite algébrique j rationnelle et entier e, ou seulement entière.
Soit f(x\ x'\ x''\..) une fonction quelconque qui peut s'exprimer par la somme d'un nombre fini de termes de la forme
OÙ A est une quantité indépendante de x\ x** etc. et où mi, m^ etc. désignent des nombres entiers positifs j il est clair que les deux premières opérations ci-dessus sont des cas particuliers de l'opération désignée par f{x\ x'\ x"'...). On peut donc considérer les fonctions entières, suivant leur définition, comme résultant d^un nombre limité de répétitions de cette opération. En désignant par v\ v'\ v'" etc. plusieurs fonctions des quantités x\ x'^ x"' .... de la même forme que f{x\ a:'^...), la fonction f{p\ r "....) sera évidemment de la même forme que f{x\ x'\..). Or f(v\ v'\.^ est l'expression générale des fonctions qui résultent de l'opération f{x\ x' ) deux fois répétée. On trouvera donc toujours le même
résultat en répétant cette opération autant de fois qu'on voudra. 11 suit de
là, que toute fonction entière de plusieurs quantités x\ x" peut être
exprimée par une somme de plusieurs tenues de la forme u4x'"*' ir"""*
Considérons maintenant les fonctions rationnelles. Lorsque f{x\ x^' . . .) et ^{x\ x" ...) sont deux fonctions entières, il est évident, que les trois premières opérations sont des cas particuliers de l'opération désignée par
Jy^j*^ • • •/ (p{x\x*' . . .)
On peut donc considérer une fonction rationnelle comme le résultat de la répétition de cette opération. Si l'on désigne par v\ v'\ v'*' etc. plusieurs
fonctions de la forme ( !f,\, > on voit aisément que la fonction • ) / „—^^
peut être réduite à la même fonne. Il suit de là,' que toute fonction rationnelle de plusieurs quantités x\ x" peut toujours être réduite à la forme
fv^f *^ ' * ' '/ (f(x'j .r" . , . .)
où le numérateur et le dénominateur sont des fonctions entières,
68 DÉMONSTR. DE L1MPOS8. DE LA RÉ8. ALGÉBR. DES ÉQUATIONS etc.
Enfin nous allons chercher la forme générale des fonctions algébriques. Désignons par f{x\ x" . . .) une fonction rationnelle ([uelconque, il est clair ([ue toute fonction algébrique peut être composée à Faide de l'opération
désignée par f{x\ x" ...) combinée avec l'opération j/r, où vi est un nombre premier. Donc, si p\ p^* ... sont des fonctions rationnelles de
•A.' a lA/ • • ■ s
sera la forme générale des fonctions algébriques de x\ x" ...^ dans les-
quelles l'opération exprimée par ^r affecte seulement des fonctions rationnelles. Les fonctions de la forme p^ seront dites fonctions algébriques du premier ordure. En désignant par ^/, ^/'... plusieurs quantités de la fonne ^j , l'expression
j>^=:/(x', X"... ^|p\ y^" . . . Vi^/, v^^i" . . •)
sera la forme générale des fonctions algébricjues de x\ .r" . . . , dans les-
quelles l'opération ^r affecte seulement des fonctions rationnelles, et des fonctions algébriques du premier ordre. Les fonctions de la forme p^ seront dites fonctions algébricpies du deuxîèvie ordre. De la même manière l'expression
dans laquelle pi\ p^* . . . sont des fonctions du deuxième ordre, sera la fonne générale des fonctions algébriques de x', x" . . . , dans lesquelles l'opération
^r n'affecte que des fonctions rationnelles, et des fonctions algébriques du premier et du deuxième ordre.
En continuant de cette manière, on obtiendra des fonctions algébriques du troisième, du quatrième . . . du //'*"* ordre, et il est clair, que l'expression des fonctions du /z'*^* ordre, sera l'expression générale des fonctions algébriques.
Donc en désignant par // l'ordre d'une fonction algébrique quelconque et par v la fonction même, on aura
v=f{r\r'\..Yp\ Mp"...),
DÉMONSTR. DE L'IMPOSS. DE LA RÉS. ALGÉBR. DES ÉQUATIONS etc. 69
oïl p\ p"... sont des fonctions de Tordre fi — 1; r\ r" . . . des fonctions de Tordre // — 1 ou des ordres moins élevés, et n\ n" .,. des nombres premiers; f désigne toujours une fonction rationnelle des quantités comprises entre les parenthèses.
On peut évidemment supposer qu'il est impossible d'exprimer Tune des
quantités )/p', ]/p"... par une fonction rationnelle des autres et des quantités r\ r" ... ; car dans le cas contraire, la fonction ii aurait cette fomie plus simple,
v=f{r\r"... Mp\ Mp"...),
oh le nombre des quantités yp\ ^p" ... serait diminué au moins d'une unité. En i-éduisant de cette manière Texpression de v autant que possible, on parviendrait, ou à une expression iiTéductible, ou à une expression de la fonne
mais cette fonction serait seulement de Tordre // — 1 , tandis que v doit être du ^a***"* ordre, ce qui est une contradiction.
Si dans Texpression de v le nombre des quantités ^p\ }(p" ... est égal à w, nous dirons que la fonction v est du //'*** ordre et du m'*** degré. On voit donc qu'une fonction de Tordre p et du degré 0 est la même chose qu'une fonction de Tordre // — 1, et qu'une fonction de Tordre 0 est la même chose qu'une fonction rationnelle.
Il suit de là, qu'on peut poser
v=f(T',T"... yp),
où p est une fonction de Tordre jti — 1, mais r', r"... des fonctions du /t**^* ordre et tout au plus du degré m — 1, et qu'on peut toujours sup-
poser qu'il est impossible d'exprimer }^ par une fonction rationnelle de ces quantités.
Dans ce qui précède nous avons vu qu'une fonction rationnelle de plusieurs quantités peut toujours être réduite à la forme
oh s et t sont des fonctions entières des mêmes quantités variables. On
70 DKMONSTR. DE L'IMPOSS. DE LA RÉS. ALGÉBR. DES ÉQUATIONS etc.
conclut de là que v peut toujours être ^exprimé comme il suit,
r(/-', r"... Vp)
oh (f et T désignent des fonctions entières des quantités r', r" . . . et \^]j . En vertu de ce que nous avons trouvé plus haut, toute fonction entière de plusieurs quantités .s, r\ r^' ... peut s'exprimer par la forme
fo, ti... /„ étant des fonctions entières de r\ r'\ ?'"'... sans s. On peut donc poser
OÙ foî ^••' C ^* ^0 7 ^i-.. î^m' sont des fonctions entières de r\ r'\ r'" etc. Soient Fi , F^ . . . F,^i les w — 1 valeurs de V qu'on trouve en met-
tant successivement op**, «^i^"? a^p"" ... d^~^jp'' au lieu de ^>'*, a étant une
racine différente de l'unité de l'équation a" — 1 = 0; on trouvera en nmlti-
T pliant le numérateur et le dénominateur de y par F^ Fj Fg . . . F„i
y ii^r^***' n 1
Le produit VV^... V^^ peut, comme on sait, s'exprimer par une fonction entière de p et des quantités r\ r'' . . . , et le produit TV^... F„i est,
connue on le voit, une fonction entière de \p et de r\ r" .... En supposant ce produit égal à
•^0 + '^lP" + 522^"H h^kP'%
on trouve
OU, en écrivant q^^ Çj, f/g... au lieu de -^5 -S — ^ etc..
DÉMONSÏK. DE L'IMPOSS. DE LA KÉS. ALGÉBK. DES ÉQUATIONS etc. 71
^• = îo + ^iii^" + 22i>"H \-%p\
où g^o) ?i'-«2* sont des fonctions rationnelles des quantités p^ r\ r" . . . etc. Soit /Li un nombre entier quelconque, on peut toujours poser
^u = an -[- « ,
a et a étant deux nombres entiers, et a<^n. Il suit de là, que
fl
En mettant donc cette expression au lieu de p"" dans l'expression de i;, on obtiendra .
îo? 2i7 îa étant encore des fonctions rationnelles de p^ r\ r"..., et par
conséquent des fonctions du //*^* ordre et au plus du degré m — 1 , et
telles qu'il soit impossible d'exprimer ^>'* rationnellement par ces quantités. Dans l'expression de v ci-dessus, on peut toujours faire qi = 1. Car si g^i n'est pas nul, on obtiendra, en faisant p^=pq^^
donc
V =. q, +pr + ?! i^i'* + • • • + -!:i|- Pi "" ,
expression de la même fomie que la précédente, sauf que qi=l. Si q^ = 0^ soit q^ une des quantités g'j, q^...q^^^ qui ne soit pas nulle, et
afjL a
soit q'^p^ =pi. On déduit de là q^p*' ^zp^"". Donc en prenant deux nombres entiers a et /?, qui satisfassent à l'équation a/t — (in=:fi\ u/ étaTit un nombre entier, on aura
Q!^P " =Pi^ et p" = q-" p-" p^ .
En vertu de cela et en remarquant que q^p*'=^p^'' ^ o aura la forme
« = 'io + Pi" + </«pr -\ — h ï„-iPi " •
72 DÉMONSTR. DE LIMPOSS DE LA RÉS. ALGÉBR. DES ÉQUATIONS eU-.
De tout ce qui précède on conclut: Si v est une fonction algébrique de Tordre /^ et du degi'é //i, on peut toujours poser:
n étant im nombre premier, </o, Çs-'-f/n-i d^« fonctions algébriques de
Tordre fi et du degré m — 1 au plus, p une fonction algébrique de
Tordre ^i — 1, et telle que p** ne puisse s'exprimer rationnellement en
JPi'Opriétéa des fonctUxfis algéltriqxœs qui saJtiafvfd à uiie êqiuUion donnée.
Soit (1) ^o + ^iy + c^y'H \-Cr,y'-' + r = 0
une équation quelconque du degré r, où c^^ c^ ... sont des fonctions rationnelles de x\ x" . . . , x\ x^' ... étant des quantités indépendantes quelconques. Supposons qu'on puisse satisfaire à cette équation, en mettant au lieu de y une fonction algébrique de x\ x" .... Soit
(2) 2/ = Ï0 + P" + 22P"H hïn-lP"
cette fonction. En substituant cette expression de y, dans Téq nation proposée, on obtiendra, en vertu de ce qui précède, une expression de la fomie
où r^,, r^, r^...r^i sont des fonctions rationnelles des quantités p, ^o? 2i*--?ii-i« Or je dis que Téquation (3) ne peut avoir lieu, à moins qu'on n'ait séparément
En effet, dans le cas contraire, on aurait en posant p'^zi^z les deux
équations
et
DÈMONSTR. DE L'IMPOSS. DE LA RÉS. ALGÉBR. DES ÉQUATIONS etc. 73
qui auraient luie ou plusieurs racines communes,. Soit k le nombre de ces racines, on peut, comme on sait, trouver une équation qui a pour racines les k racines mentionnées, et dont les coefïîciens sont des fonctions rationnelles de /?, Tq, ri...r„i. Soit
cette équation, et
un facteur de son premier membre, où t^^ t^ etc. sont des fonctions rationnelles de p, /'o, ^i.../*n-i7 ^'1 aura de même
et il est clair qu'on peut supposer qu'il est impossible de trouver une équation de la même fonne d'un degré moins élevé. Cette équation a ses' fi racines connnunes avec l'équation z** — p = 0. Or toutes les racines de l'équation 2** — p=iO, sont de la forme «z, oîi a est une racine quelconque de l'unité. Donc en remarquant que //• ne peut être moindre que 2, parce qu'il est impossible d'exprimer z en fonction rationnelle des quantités p, Tq, ^i...^„i, il s'ensuit, que deux équations de la forme
U + kz^Uz'-\ yt^^,z^^-'-^z^ = 0,
et
t^-\-at^z^aH^z^'^ \-a^-H^^z^-^ -\-a^zf' = Q
doivent avoir lieu. De ces équations on tire, en éliminant z^,
fo(l — «^) + ^(a — «^)2H \-t^^,{a^-' — a^)z^-' = 0.
Mais cette équation étant du degré // — 1, et l'équation
étant iiTéductible, et par conséquent t^ ne pouvant être égal à zéro, on doit avoir a^ — lrz=:0, ce qui n'a pas lieu. On doit donc avoir
Maintenant, ces équations ayant lieu, il est clair que l'équation proposée sera satisfaite par toutes les valeurs de y qu'on obtient en attiibuant à
p" toutes les valeiu's ap", «*p" . . . a*'~^p'*. On voit aisément que toutes
74 DKM0N8TR. DE L'IMPOSS. DE LA KKS. AL6ÉBR. DES ÉQUATIONS etc.
ces valeurs de y seront différentes entre elles; car dans le cas contraire on aurait une équation de la même foniie que (3), mais une telle équation conduit, comme on vient de le voir, à des contradictions.
En désignant donc par ^i, ^2-..y» n racines différentes de l'équation (1), on aura
De ces n équations on tirera sans peine
1 1 p" = - (yi + «"~V« + « ^/3 H \-c^yn)^
1 1 2«p" = - (yi + «""V» + «^» H h « V-).
— ' 1 în-ip " = — (yi + «2/» + «*y» H h «"~\y»)-
On voit par là que toutes les quantités p**, q^^ î»-..?»-! sont des fonctions rationnelles des racines de Téquation proposée. En effet on a
Considérons maintenant l'équation générale du degré m, et supposons qu'elle soit résoluble algébriquement. Soit
en vertu de ce qui précède, les quantités v^ «o, s^ etc. peuvent s'exprimer rationnellement en x^^ x^..,x^^ en désignant par x^, Xj...x^ les racines de l'équation proposée.
DÉMONSTR. DE L1MP08S. DE LA RÉS. ALGEBR. DES ÉQUATIONS etc. 75
Considérons Tune quelconque des quantités r, Sqj S2 etc. par exemple V, Si Ton désigne par i;,, v^.^.v^, les valeurs différentes de v, qu'on trouve lorsqu'on échange entre elle les racines Xj, cc^"-^» de toutes les manières possibles, on pourra former une équation du degré n' dont les coefficiens sont des fonctions rationnelles de a, û^i.«.^«iy ^* d^^* ^^ ^*" cines sont les quantités v, , v^...v„,j qui sont des fonctions rationnelles des quantités x^^ x^...x^.
Donc si Ton pose
toutes les quantités w*', t^^ ^a....^K.i seront des fonctions rationnelles de 1^1, r2....v„,, et par conséquent de x^^ x^....x^. En traitant les quantités w, fo7 ^2 ®tc. de la même manière, on en conclut que
si une équation est résoluble algébriquement, on peut toujours donner à la racine une forme telle, que toutes les fonctions algébriques dont elle est composée puissent s'exprimer par des fonctions rationnelles des racines de l'équation proposée.
§ in.
Sur le nombre des valeurs différentes quune Joncticyn de plusieurs quantités peut acquérir j
lorsqu'on échange entre elles les quantités quelle renferme.
Soit V une fonction rationnelle de plusieurs quantités indépendantes a?,, Xj . . . x„. Le nombre des valeurs différentes dont cette fonction est susceptible par l'échange des quantités dont elle dépend, ne peut surpasser le produit 1 . 2 , 3 . . . n. Soit a ce produit.
Soit maintenant
\ah cd , ,.,
la valeur qu'une fonction quelconque v reçoit, lorsqu'on y substitue ic^, x^, a^^, x^ etc. au lieu de a:„, ir^, x^,, x^ etc., il est clair qu'en désignant par A^^ Â^.,.A^ les diverses permutations en nombre de /f que l'on peut former avec les indices 1, 2, 3...w, les valeurs différentes de v pourront être exprimées par
76 DÉMONSTU. DE L'IMPOSS. DK LA KES. ALGÉBR. DES ÉQUATIONS etc.
Supposons que le nombre des valeurs difïerentes de v soit moindre que //, il faudra que plusieurs valeurs de r soient égalés entre elles, en sorte qu'on ait par exemple
Si Ton fait subir à ces quantités la substitution désignée par .^ L on aura Cette nouvelle série de valeurs égales
valeurs qui sont différentes des premières, mais en même nombre. En changeant de nouveau ces quantités par la substitution désignée par . ^ L
on aura un nouveau système de quantités égales, mais différentes des précédentes. En continuant ce procédé jusqu'à ce qu'on ait épuisé toutes les permutations possibles, les // valeurs de v seront partagées en plusieurs systèmes, dont chacun contiendra un nombre de vi valeurs égales. Il suit de là que si Ton représente le nombre des valeurs différentes de r par p, nombre égal à celui des systèmes, on aura
cm = 1 . 2 . 3 . . . n , c'est-à-dire:
Le nombre des valeurs différentes qu'une fonction de n quantités peut acquérir par toutes les substitutions possibles entre ces quantités, est nécessairement un diviseur du produit 1 . 2 . 3 . . . n. Cela est conim.
Soit maintenant \ a^ ] imc substitution quelconque. Supposons qu'en
applitiuant celle-ci plusieurs fois de suite à la fonction v on obtienne la suite des valeurs
^7 ^'i7 ^'2 • • • ^p— 15 ^V ' il est clair que ?^ sera nécessairement répété plusieurs fois. Lorsque v revient après un nombre p de substitutions, nous disons que .M est une substitution récurrente de Tordre p. On a donc cette série périodique
OU bien, si l'on représente par ?M V hi valeur de i' qu'on obtient après
DEMONSTR. DE L'IMPOSS. DE LA RES. ALGEBR. DES EQUATIONS etc.
avoir répété r fois de suite la substitution désignée par série
, on a la
"'^J' "ivlj' '\a„
Il suit de là que
Ai\"P
Al V A„
AiV
Or soit p le plus grand nombre premier contenu dans 7^, si le nombre des valeurs différentes de v est moindre que j9, il faut qu'entre j) valeurs quelconques, deux soient égales entre elles. Il faut donc que des p valeurs,
Aym I \ Aya ^
tï-Afr''
deiix soient égales entre elles. Soit par exemple
'Al
lAiV
An, '
on en conclut que
Ai y-^p-
lAiY'-^p-'
Ecrivant r au lien de i''-\-ji — r et remarquant que v( ^ j ^w, on en tire
OÙ r • évidenunent n'est pas multiple de p. La valeur de v n'est donc
pas changée par la substitution
Ai
, ni par conséquent non plus par la
répétition de la même substitution. On a donc
Ai
ra
An' '
a étant un nombre entier. Maintenant si p est un nombre premier, on pourra évidemment toujours trouver deux nombres entiers « et /9 tels que
ra=:p/3-\- 1,
78 UKUONSTK. UE L'IMPOSS. I>Ë LA KK.S. AI.UÉBR. DES ÉQUATIONS «tr.
et puisque
on aura
La valeur de v ne sera donc pas changée par la substitution récurrente .M de Tordre p.
Or il est clair que
\ (iyâe . . . i^a / \ ya/iâ . . . Ç<j
sont des substitutions récurrentes de Tordre j9, lorsque p est le nombre des indices a, /î, j^ . . . ?;. La valeur de v ne sera donc pas changée non plus par la combinaison de ces deux substitutions. Ces deux substitutions sont évidemment équivalentes à cette unique
a^y yafi
et celle-ci aux deux suivantes, appliquées successivement,
La valeur de v ne sera, donc pas changée par la combinaison de ces deux substitutions. 1 )onc
de même
d'oh Ton tire
-<mr
"=»';f)(îw-
On voit par là que la fonction z? n'est pas changée par deux substitutions successives de la forme La K ^ ®* /^ étant deux indices quelcon-
DÉMONS nt DE LIMPOSS. DE LA RÉS. ALGÉliK. DES ÉQUATIONS etc. 79
qiies. Si Ton désigne une telle . substitution par le nom de iransposiiton, on peut conclure qu'une valeur quelconque de v ne sera pas changée par un nombre pair de ti'anspositions, et que par conséquent toutes les valeurs de V qui résultent d'un nombre impair de transpositions sont égales. Tout échange des élémens d'une fonction peut s'opérer à l'aide d'un certain nombre de transpositions; donc la fonction v ne peut avoir plus de deux valeurs dîiférentes. De là on tire le théorème suivant:
Le nombre des valeurs différentes que peut obtenir une fonction de n quantités, ne peut être abaissé au dessous du plus grand nombre premier qui ne surpasse pas n, à moins qu'il ne se réduise à 2 ou à 1. Il est donc impossible de trouver une fonction de 5 quantités qui ait 3 ou 4 valeurs différentes.
La démonstration de ce théorème est prise d'un . mémoire de M. Cauchy inséré dans le 17**^ cahier du Journal de l'école polytechnique p. 1.
Soient v et v' deux fonctions dont chacune ait deux valeurs différentes, il suit de ce qui précède qu'en désignant par v^^ v^ et v^\ v/ ces doubles valeurs, les deux expressions
v^-\-v^ et t'i^Z + t^îV
seront des fonctions symétriques. Soit
on en tire
Soit maintenant le nombre des quantités x^^ x^ . . . x„ égal à cinq, le produit
sera évideniment une fonction qui a deux valeurs différentes; la seconde valeur étant la même fonction avec le signe opposé. Donc en posant t?/ = p, on aura t?,' = — p . L'expression de yj sera donc
où ^t est une fonction symétrique; (> a deux valeurs qui ne différent que par le signe, de sorte que ^\ est également une fonction symétrique.
mmsaiakt
MH
am
•«Bk*.
DKMONSTK. DE L'1MP0S8. DE LA KES. ALGKHK. DES ÉQUATIONS etc.
Donc, en posant \i=^p et \z=iq^ il s'ensuit que
toute fonction de cinq quantités qui a deux valeurs différentes pourra
être mise sous la forme i>-f-^(>, oîi p et q sont deux fonctions
symétriques et p = {j\ — x^ (xy — x^ . , . {x^ — x-^ .
Pour atteindre notre but nous avons encore besoin de la fonne générale
des fonctions de cinq quantités qui ont cinq valeurs différentes. On peut
la trouver comme il suit:
Soit V une fonction rationnelle des quantités x^^ Xj,, x^^ x^^ x^^ qui ait la propriété d'être invariable lorsqu'on échange entre elles quatre des cinq quantités, par exemple x^^ Xg, x^^ x^^, Dans cette condition v sera évidemment symétrique par rapport à x^^ x^^ x^^ x^. On peut donc exprimer v par une fonction rationnelle de x^ et par des fonctions symétriques de a*2, '^'3, ^4, iCj. JVIais toute fonction symétrique de ces quantités peut s'exprimer par une fonction rationnelle des coefficiens d'une équation du quatrième degré, dont les racines sont x^^ x^^ x^^ x^. Donc en posant
{x — X2){x — x^){x — x^){x — x^) = x* — 2^'^^~\~Q^^ — rx-j-À',
la fonction v peut s'exprimer rationnellement en X\^ p^ q^ r, s. Mais si l'on pose
(x — Xy) [x — x^) {x — Xg) [x — ^4) (x — X5) = x^ — ax^ -\- bx^ — cx^ -j- dx — e,
on aura
{x — Xj) {x^ — px^-^-qx^ — rx-\-s) = x^ — ax^-\-bx^ — cx^-\-dx — e = x^—(^+Xi)x* + (2+^X1) x' — (r+gxi)x*4-(s+rxi)x — sxi,
d'où l'on tire
p=^a — Xi ,
q = b — o.^i-\-'^'if '
r=:c — bxy -\- axl — xl ,
,s =zd — GXi -|- bxl — axl -\- x^ ;
la fonction v peut donc s'exprimer rationnellement en Xj, a, 6, c, d. 11 suit de là que la fonction v peut être niise sous la fonne
où t et (pXi sont deux fonctions entières de Xi, «, 6, c, d. En nmltipliant
DÉMONSTlt. DE LIMPOSS. DE LA RÉS. ALGÉBR. DES ÉQUATIONS etc. 81
le iiuiiiérateur et le dénominatem- de cette fonction par tpx^.ipx^.ipx^.ipx^^ on aura
Or (px^ . (px^ . <px^ . (px^ est, comme on le voit, mie fonction entière et symétrique de x^j X3, a:^, x^. On peut donc exprimer ce produit en fonction entière de i?, Î5 ^5 5 et par suite en fonction entière de Xi, a, i, c, c?. Le immérateur de la fraction ci-dessus est donc une fonction entière des mêmes quantités; le dénominateur est une fonction symétrique de x^, X2^ Xg, x^j x^ et par conséquent il peut s'exprimer en fonction rationnelle de a, i, c, rf, e. On peut donc poser
En multipliant l'équation
xl = ax\ — hx\ -}- cx\ — dxi -}- e
successivement par x^^ icî . . . x7~*, il est clair qu'on obtiendra m — 4 équations, desquelles on tirera pour x\^ x\ . . . x\ des expressions de la forme
a -f- /ÎXi -|- yx\ -\- dx\ -}- bx\ ,
où a, /î, /, (î, é sont des fonctions rationnelles de a, 6, c, c?, e. On peut donc réduire i; à la forme
(a) v = r^-{- r^x, + r^xl -|- rgxj -^ r^ajj ,
où ro, ri, 7*2 etc. sont des fonctions rationnelles de a, è, c, c/, e, c'est-à-dire des fonctions symétriques de iCj, x^, Xg, X4, X5.
Voilà la forme générale des fonctions qui ne sont pas altérées lorsqu'on y échange entre elles les quantités Xa, Xg, x^^ Xr^. Ou elles ont cinq valeurs différentes, ou elles sont symétiiques.
Soit maintenant v une fonction rationnelle de Xj, Xj, Xg, X4, Xg, qui ait les cinq valeurs suivantes z?i, Vg, i^g, ^^4, i?5. Considérons la fonction x'^v. En y échangeant entre elles de toutes Jes manières possibles les quatre quantités Xg, Xg, 0:4, Xg, la fonction x'^v aura toujours une des valeurs suivantes
iCjî?!, X1V2J x^iJg, XiV^^ iCi^ô-
Or je dis, que le nombre des valeurs distinctes de x'^v résultant de ces changements sera moindre que cinq. En effet, si toutes les cinq valeurs
82 DÉMONSTK. DE LIMPOSS. DE LA UÊS, ALGÊBK* DES ÉQUATIONS ott-,
avaient lieu, on tirerait de ces valeurs en écliangeant x^ successivement avec jc^j ^3, x^j Xr,^ 20 valeurs nouvelles, qui seraient nécessairement différentes entre elles et des précédentes. La fonction aurait donc en tout 25 valeurs différentes, ce qui est impossible, car 25 n'est pas diviseur du produit 1.2.3,4.5. En désignant donc par fi le nombre des valeurs que peut prendre r lorsqu'on y échange entre elles les quantités u%, x^^ x^^ x-^ de toutes les manières possibles, fi doit avoir Tune des quatre valeurs suivantes 1, 2, 3, 4.
1. Soit /t = l, d'après ce qui précède v sera de la forme (a).
2. Soit fi=i4j la somme ''i -f- '*» -f- '-s -[~ ^ ^ ^^^'^ ^^^^^ fonction de la forme (a). Or on a t% = {i\ -|- '^\ + '3 + '^4 H" ^'5) ~ (^'1 + '^'2 + ^'3 + ^'4) = ^"'^ fonction symétrique moins {i''i-\-v^'\-v^-\-i\)] donc i'5 est de la fomie (a).
3. Soit fi=2^ ^'i-j-'^'s ^^^*^ ^^^^ fonction de la fonne (a). Soit donc
En échangeant successivement x^ avec x^^ X3, x.^^ j'5, on aura
OÙ /yi est un des nombres 2, 3, 4, 5. Pour 1/1 = 2^ on aura (fXi = (fj\^^ ce qui est impossible, car le nombre des valeurs de (px^ doit être cinq. Pour /a = 3 on aura
d'oïl l'on tire
2(\ 111= ^x'i — cf rjî -\- (fx^ .
Mais le second membre de cette équation a plus de 5 valeurs, car il en a 30. On pi\)uvera de la même manière que m ne peut être égal à 4 ni à 5. Il suit de là que u n'est pas égal à 2.
4. Soit 1/1=3. Dans ce cas v^-^v^-^-v^ et par conséquent V4-|-i?5 = (^1 -|- <^2 -|- ^3 -^ Vj^ -|- ^s) — (^1 -}- ^?2 -|- V3) aura cinq valeurs. Mais on vient de voir que cette supposition est inadmissible. Donc ^ ne peut non plus être égal à 3.
DKMONSTK. DE I/IMP08S. DE LA RKS. ALGEBR. DES EQUATIONS etc.
De tout cela on déduit ce théorème:
Toute fonction rationnelle de cinq quantités, qui a cinq valeurs différentes, aura nécessairement la fomie
û^ ^01 ^*i? ^2 ^te« '^ont des fonctions symétriques, et x Tune quelconque des cinq quantités.
Dé l'équation
on déduira aisément, en faisant usage de l'équation proposée, pour la valeur de a:, une expression de la forme suivante
où .Çq, .ç,, .% etc., de même que Tq, i*!, r^ etc., sont des fonctions symétriques.
Soit V une fonction rationnelle qui ait m valeurs différentes ?'i, ?'v, ^'3 . . . r„ . En posant
on sait que Ço> ^/u ?« • • • '*^^^^* ^^^^ fonctions symétriques, et que les m racines de l'équation sont v^^ v^^ v^ . . . t)^. Or je dis, qu'il est impossible d'exprimer la valeur de ?• comme racine d'une équation de la même forme, mais d'un deoré moins élevé. En effet soit
' ^ + ^^' + ûv' H h t.^ivr-' +v^ = o
une telle équation, ^07 '1 ^*c. étant des fonctions symétriques, et soit v^ une valeur de r qui satisfasse à cette équation, on aura
En échangeant enti*e eux les élémens de la fonction, on tvonvera la série suivante d'équations:
»"' + t^-iV"-' H ={v-v,)P„
'■" + /„,'•"'-+ =:i^r — r„)li.
84 DÉMONSTR. DE L'IMPOSS. DE LA RKS. ALGÉBR.. UKS ÉQUATIONS et»-.
On en conclut que ?; — v^^ v — v^^ v — v^ . . . v — v^ seront des facteurs de v^-\'t^iV^~^-^ • • • et que par conséquent jti doit nécessairement être éffal à m. On en tire le théorème suivant:
Lorsqu'une fonction de plusieurs quantités a m valeurs différentes, on peut toujours trouver une équation du degré tw, dont les coefficiens soient des fonctions symétriques, et qui ait ces valeurs pour racines; mais il est impossible de trouver une équation de la même forme d'un degré moins élevé qui ait une ou plusieurs de ces valeurs pour racines.
