IV

J)êm(mstraiion de Vimpossihilitê de la résolution générale de réquntion du cinquième d^gré.

En vertu des propositions trouvées plus haut on peut énoncer ce théorème:

"n est impossible de résoudre en général les équations du cinquième "degré." ' D'après le § II, toutes les fonctions algébriques dont une expression algébrique des racines est composée, peuvent s'exprimer par des fonctions rationnelles des racines de l'équation proposée.

Comme il est impossible d'exprimer d'une manière générale la racine d'une équation par une fonction rationnelle des coefficiens, on doit avoir

oh m est un nombre premier et R une fonction rationnelle des coefficiens de l'équation proposée, c'est-à-dire une fonction symétrique des racines; v est une fonction rationnelle des racines. On en conclut

En vertu du § II, il est impossible d'abaisser le degré de cette équation; la fonction v doit donc, d'après le dernier théorème du paragraphe précédent, avoir m valeurs différentes. Le nombre m devant être diviseur du produit 1.2.3.4.5, ce nombre peut être égal à 2 ou à 3 ou à 5. Or (§ III) il n'existe pas de fonction de cinq variables qui ait 3 valeurs: il faut donc qu'on ait m = 5, ou m = 2. Soit m^=ib^ on aura, ainsi qu'il résulte du paragraphe précédent

DÉMONSTR. 1)K L'IMPOSS. DE LA KKS. ALOÉBR. DES ÉQUATIONS etc. 85

y/^ = ro 4- n^ + ^2^* + 's^* + ^4^S (l'oh

On en tire (§ II)

où a^ = 1. Cette équation est impossible, attendu que le second membre a 120 valeurs et que pourtant il doit être racine d'une équation du cinquième degré z^ — sll{ = 0. On doit donc avoir m = 2.

On aura donc (§ II)

Yli=p + qs,

oh p (^t q sont des fonctions symétiiques, et

s [Xi X2 ) . • . \X^ X^ j •

On en tire, en échangeant Xi et x^ entre eux,

— fK = p — qs,

d'où Ton déduit ^ = 0 et ^ R = qs . On voit par là, que toute fonction algébrique du premier ordre qui se trouve dans l'expression de la racine,

doit nécessairement avoir la forme «-[-/? y^ =z= a -|- (is^ où a et /? sont des fonctions symétriques. Or il est impossible d'exprimer les racines par une

fonction de la forme a-\-ftyR\ il doit donc y avoir une équation de la fonne

où a et P ne sont pas nuls, m est un nombre premier, a et /? sont des fonctions symétriques, et v est une fonction rationnelle des racines. Cela donne

OÙ ?'i et V2 sont des fonctions rationnelles. On aura en multipliant v^ par v^^

r,Vi = Ya* — (3*s*.

Or a* — (S\i* est \me fonction symétrique. Si . maintenant y a* — /?*«'

■ va«a

8r> DKMONSTR. I)K L'IMPOSS. I)K LA BIOS. ALOEBR. DES ÉQUATIONS oie.

n'est pas une fonction symétrique, le nombre 7/?, d'après ce qui précède, doit

être égal à deux. Mais dans (•e cas v sera égal à r « -[- /? Vs^ ; ?; aura donc quatre valeurs différentes, ce qui est impossible.

Il faut donc que \^ a^ — /?*.s'^ soit une fonction symétrique. Soit y cette fonction, on aura

Soit

Désignons par p^ j}^^ p^ • • • i^ les valeurs différentes de p qui l'ésultent

de la substitution successive de «/?"', a^lV\ a^Iï"^ . . . a'"~^li"' h la place

de i?*", a satisfaisant à l'équation et faisons le produit

On voit sans peine que :4, A^ et(;. sont des fonctions rationnelles des coeffîciens de l'équation proposée et par conséquent des fonctions symétriques das racines. Cette équation est évidemment irréductible. Il faut donc d'après le dernier théorème du paragraphe précédent ((ue jt>, considéré comme fonction des racines, ait vi valeurs différentes. On en ccmclut que m = 5. Mais dans ce cas p sera de la forme (a) du paragi'aphe précédent. Donc <m aura

y' Il d'oh

c'est-à-dire, en mettant 7?" * R R^ à la place de p,

x = t„^f,R' -{-t,ir.-^t,li' -\-tJi'

DÉMONSTR. DE LIMPOSS. DE LxV KES. ALGÉlUt. DES EQUATIONS etc. <S7

oîi /o? ht h ^^« sont des fonctions rationnelles de li et des coetïiciens de réqiiatîon proposée. On en tire (§ II)

De l'équation p=zt^Ji'* on tire p'''=:zi\R. Or /'i/jî étant de la forme a-^a'Y^^ on aura }/''' =iu-\- a'\i^ ^ ce qui donne

Cette équation donne y>' par une équation du dixième degré, dont tou»-les coefBciens sont des fonctions symétriques; mais d'après lé dernier théorème du paragraphe précédent cela est impossible; car puisque

p aurait 120 valeurs différentes, ce qui est une contradiction.

Nous concluons donc (ju'il est impossible de résoudre algébriquement l'équation générale du ciiu^uième degTé.

Il suit immédiatement de ce théorème, ([u'il est de même impossible de résoudre algébriquement les équations générales des degrés supérieurs au cinquiènie. Donc les équations des quatre premiers degi'és sont les seules qui puissent être résolues algébriquement d'une manière générale.