REMARQUE SUR LE MÉMOIRE N« 4 DU PREMIER CAHIER DU JOURNAL
DE M. CRELLE.
Journal fur die reine und angewandto Mathematik, hernusgegebeu von CrcUe, Bd. I, Berlin 1826.
L'objet du mémoire est de trouver Teftet d'une force sur trois points donnés. Les résultats de l'auteur sont très justes, quand les trois points ne sont pas placés sur une même ligne droite; mais dans ce cas ils ne le sont pas. Les trois équations, par lesquelles les trois incoimues Ç, Q\ Q" se déterminent, sont les suivantes
(1) { Q'bm\a= ,/'csin/^,
Qa sin a z= — Ç " c sin (a -j- /?).
Celles-ci ont lieu pour des valeurs quelconques de P, a, i, c, a et /?. Elles donnent en général, connue l'auteur l'a trouvé,
n —. ^?MfL+^) p
(2) lQ'=^-f^P,
OÙ
r=^ab sin a-\-ac sin ft — bc sin (a -[" Z^)* Or les équations (2) cessent d'être détemiinées lorsque l'une ou l'autre des
9(> KEMAKQrK SUR UN MKMOIKK DU JOUUNAL DE CKELLK.
quantités Q^ Q'^ Q" prend la tonne ^^ » ce qui a lieu, connue ou le voit aisément pour
Dans ce cas il faut recourir aux équations fondamentales (1), qui donnent alors
Q'b sin ISO*» =Q"c siii 180", Qa sin 180» = — Ç"o sinSeO».
Or les deiix dernières équations sont identiques puisque
sin 180" = sin 360» = 0.
Donc dans le cas où
il n'existe qu'une seule équation, savoir
et, par suite, les valeurs de Q, Q\ Q" ne peuvent alors se tirer des équations établies par l'auteur.
Journal fUr die reine und angewandte Mathematik, herausgegeben von CrtïU^ Bd. I, Berlin 1826.
Soit BDMA une courbe quelconque. Soit BC une ^ droite horizontale et CA une droite verticale. Supposons d" qu'un point sollicite par la pesanteur se meuve sur la courbe, un point quelconque 1) étant son point de départ. Soit T le temps qui s'est écoulé quand le mobile est parvenu à un point donné A^ et soit a la hauteur EA. La quantité r sera une certaine fonction de a, qui dépendra de la forme de la courbe. Réciproquement la forme de la courbe dépendra de cette fonction. Nous allons examiner comment, à Taide d'une intégrale définie, on peut trouver l'équation de la courbe pour laquelle r est une fonction continue donnée de a.
Soit AM=Sj AP=x^ et soit t le temps que le mobile emploie à
parcourir l'arc DM. D'après les règles de la mécanique on a — -j-=^a — x,
ds
donc dt = —
Va — X
Il s'ensuit, lorsqu'on prend l'intégrale depuis x = a
jusqu'à x = Oj
JaVa — œ JoVa — u
I désignant que les limites de l'intégrale sont x = a et x = ft. Soit main-
tenant
T = (pa
la fonction donnée, on aura
(pa= -7=---»
J 0 va — ^
équation de laquelle on doit tirer s en fonction de x. Au lieu de cette équation, nous allons considérer cette autre plus générale
de laquelle nous chercherons à déduire l'expression de s en x. Désignons par /'a la fonction
on a comme on sait
ra = l dxllog —
où a et /? doivent êti'e supérieurs à zéro. Soit ft=l — n, on trouvera
^ y"-^ dy ra.r(l — w)
d'où l'on tire, en faisant z = ay^
(a — zy — T(Dr+û^n)^ •
En multipliant par . r^^ et prenant l'intégrale depuis a = 0 jusqu'à
a = £C, on trouve
f— ^ Ç's'-^dz Ta.T{l—n) f a'-'dt
-"tfcl
En faisant a = xy, on aura
rw-'da .r y-^dy T(a-n+V)rn Jo(*-«)^-''~' Jo(l-y)'-"~ r(a+l)
donc
Or d'après une propriété connue de la fonction F, on a
r{a-\-\) = ara'^ on aura donc en substituant:
En multipliant par aipa.da^ et intégrant par rapport à a, on trouve
Soit
I (pa.x''da=fx^
on en tire en diflférentiant,
I (pa,ax''~^da=:f'Xj donc
I (pa . az''''^da =zf'z'^ par conséquent
TV
OU, puisque Fn . fil — n) = y
,^. j, sin7//r r* da C^ f'z,dz
A Taide de cette équation, il sera facile de tirer la valeur de s de Féquatîon
(pa
p ds
Qu'on multiplie cette équation par . v^^? et qu'on prenne l'intégrale depuis a = 0 jusqu'à a = x, on aura
8in TlTt
r (pa.da HintiTt C' da C^ ds
n jo(«-«)'^'~ ^ io(''--«)*""Jo(«^^"'
donc en vertu de l'équation (1)
100 liÉSOLUTlON D'UN PROBLEME I)K MÉ(!ANIQUE.
sin s =
in7i7t r* q)a.da
Soit maintenant 7i=z^^ on obtient
et
Jo y a — .r
1 r* (pa .da
^Jo ix — a
Cette équation donne Tare s par l'abscisse x^ et par suite la courbe est entièrement déterminée.
Nous allons appliquer l'expression trouvée à quelques exemples.
L Soit
la valeur de s sera
1 r* da 1 I r"" af^da
^JoVx — a ^''^ [Joyx — a
Si l'on fait a=^xy^ on aura
donc
ou, puisque r(-J^) = y^j
Si l'on suppose p. ex. que m = 0^ Uq=^0^ c'est-à-dire que la courbe cherchée soit isochrone, on trouve
or 5 = — - y X est l'équation connue de la cycloide.
IL Soit
(pa depuis a = 0 jusqu'à a = «07 ^g^l ^ Vq^
(pa depuis a = ûr^ jusqu'à a=za^^ égal à cp^a
* (pa depuis « = «1 jusqu'à a=^a^j égal à (p^a
(pa depuis a = a„i jusqu'à a = a^^ égal à (p^Uj on aura
7rs= 1 ^r^- ? depuis x = 0 jusqu'à or = «o 7
7Ts=i -^f :--]- / ^ir= -j depuis x=:ao jusqua a:=:rti,
Jo V« — ^ Ja^ci — a TTS = / - - 1- / y^ : — - -|- / ■^= ^- j depuis r = «1 jusqu à a: = a^ ,
Jo ya — x Jn.\a — x Ja,V(i-~'i'
Jo Va — ^ Ja.Va—x «^««-2 Va — 'î? J <hn-\^^ — ^
depuis x=:a„i jusqu'à x=za^^
oh il faut remarquer que les fonctions y^^? 9^i^> 9^2^ • • • ^^nfl doivent êti"e telles que
car la fonction (pa doit nécessairement être continue.
