BINOME EST UN CAS PARTICULIER

Journal flir die reine und angewandte Mathematik, heransgegeben von CrfUe, Bd. 1, Berlin 1826.

Cette expression est la suivante:

4 ^„(„ („ i)y9)-* (x + (« - 1) /?) + «(« - npy-' ;

x^ a et (3 sont des quantités quelconques, n est un nombre entier positif. Lorsque w = 0, l'expression donne

(;r + af = x\

qu'il fallait. Or on peut, comme îl suit, démontrer que si l'expression subsiste pour n = m^ elle doit aussi subsister pour n =■ vi -\- 1 , c'est-à-dire qu'elle est vraie en général.

Soit

{x + af z=z a:*" + y «(x + ftf-' -f- ^j -~--) a{a — 2/î) {x + 2(3)-' -\

' ^'^a{a — {m— \)(if-' {x -|- (m — l)/9) + « (a — mftf-K En multipliant par {m-\-\)(lx et intégrant, on trouve

DEMONSTRATION D'UNE EXPRESSION DE LAQUELLE LA FORMULE BINOME etc. 103

G étant la constante arbitraire. Pour trouver sa valeur posons x= — (m-|-l)/î,

les deux dernières équations donneront

- (a — {m'{' l)(3y = (— ly (m + l)™/?" — inTaft''-^

+ ~ {m — l)"-^« (« — 2/î)/î— ^— ^^^^|-J^^ (m — 2Y-^a{a — S/Syft^^ + • • •

(a (^ j l)yî)«+i = ( i)«+i [(^ | i)«+i^«+i (^ j- l)m"*a/5"*

+ (!:îdll>* (m i)-ia (a — 2/î)/5'"-^ —

Multipliant la première de ces équations par (m -j- l)/9 et ajoutant le produit à la seconde, on trouve

ou bien

Il s'ensuit que Téquation proposée subsiste de même pour w = m-|-l. Or elle a lieu pour 7^ = 0; donc elle aura lieu pour n = 0, 1, 2, 3 etc. c'est-à-dire pour toute valeur entière et positive de n.

Si Ton fait /? = 0, on obtient la fommle binôme. Si Ton fait a = — x, on trouve

O^x"^—"^ x(x + py-' + -^pP x(x + 2/9)»-^

ou en divisant par x,

ce qui est d'ailleurs connu; car le second membre de cette équation n'est autre chose que

en faisant la différence constante égale à /î.

SUR L'INTÉGRATION DE LA FORMULE DIFFÉRENTIELLE ^'^^, R ET o

VR