ÉTANT DES FONCTIONS ENTIÈRES
Jourual fur die reine uud angewandto Mathematik, herausfçegeben von CreUe, Bd. 1, Berlin 182G.
Si l'on différentie par rapport à x l'expression
(1) z = log ?-' +-^^/^
où j)^ q et M sont des fonctions entières d'une quantité variable x, on obtiendra
^2 ^ 'h> + 4^yjD 'hlir '^k^JÊl ,
p-i-qVk p — qVR
OU
,7^ (p-qy'R) ['¥ + d(qV~R)] -(p + qVR) [dp - d{qVR)] az— ~pi-q*R '
c'est-à-dire,
Or
doue par substitution
dz = >'g dR-\-2 (pdq — q dp)R
ntlx
SUR L'INTEGRATION DE LA FORMULE DIBTÉRENTIELLE T etc. 105
par conséquent, en faisant
(2) ^^ (le ' \^ iLv ^dx ] '
on aura
(3) dz=^^'^'
nVr
oïl, comme on le voit aisément, M et iV sont des fonctions entières de x.
Or, z étant égal à log — ^ - ? on am*a en intégrant
p — qiR
Il s'ensuit que dans la différentielle -- on peut trouver une infinité
de fonnes différentes pour la fonction rationnelle (>, qui rendent cette différentielle intégi'able par des logarithmes, savoir par une expression de la
forme log - - - - • I^a fonction (> contient, comme on le voit par les
p — qyR
équations (2), outi'e li^ encore deux fonctions indéterminées ^p ^t g';
c'est par ces fonctions qu'elle sera déterminée.
On peut renverser la question et demander s'il est possible de supposer
les fonctions p et q telles, ((ue ^ ou ^^ prenne une forme déterminée
donnée. La solution de ce problème conduit à une foule de résultats intéressants, que l'on doit considérer comme autant de propriétés des fonctions de
la forme / -r • Dans ce mémoire ie me bornerai au cas où -^y est une J iR ^ ^
fonction entière de x^ en essayant de résoudre ce problème général:
..Trouver toutes les différentielles de la forme ^-p=-- > où p et if! sont
" iR ^
„des fonctions entières de x^ dont les intégrales puissent s'exprimer
pJ^qiR
„par une fonction de la forme log
qiR
odx
106 nuii L'INTÉGRATION DE LA FORMULE DIFFÉRENTIELLE ; ^ etc.
En différentiaiit réquation
N=p^ — ifU,
on obtient
dN= 2p dp — 2qdq . R — q'dli;
donc en multipliant par />,
/> dNz=L 'ip^dp — 2/>7 dq.R — />(/* dli^
c'est-à-dire, lorsqu'on remet à la place de p^ sa valeur N-\- q^Bj
pdNz=2Ndp-{-2q'dp.R—2pqdq.R—pq^dli,
ou
p dN= 2Ndp — q [2{pdq — qdp)R -\-pqdR],
donc, puisque (2)
2 (j)dq — qdp)R -{-pq dR = Mdx^
on a
p dN= 2Ndp — qMdx,
donc
Maintenant -^- doit être une fonction entière de x; en désignant cette fonc-
tion par (I, on aura
^ dp dN
Il s'ensuit que p v; v doit être une fonction entière de x. En faisant
JV^=(x-{-a)"*(x-f ai)'"' . . . (^-|-a„)'"«, on aura
dN m I //ij . 1^ m„
SUR L'INTÉGRATION DE LA FORMULE DIFFÉRENTIELLE ^ otc. 107
donc Texpression
doit de même être une fonction entière, ce qui ne peut avoir lieu à moins que le produit" (ir -|- a) • • • (x -|- a„) ne soit facteur de p. Il faut donc que
2)i étant une fonction entière. Or
donc
(a; + «)" • • • (a: + a«)"-=pî(x + a)*(a; + a,)* • • • {x-{-a„y-q*R.
Comme R n^a pas de facteur de la forme (a:-|-a)*, et comme on peut toujours supposer que ^ et g n'ont pas de facteur commun, il est clair que
m = mi = • • •= 7?i„ = 1 , et que
i?, étant une fonction entière. On a donc
N={x^a){x-\-a,)" '{x^a,), R = NR,,
c'est-à-dire que N doit être facteur de B. On a de même p = Np^. En substituant ces valeurs de R et de ^ dans les équations (2), on trouvera les deux équations suivantes
plN-q*R, = l,
La première de ces équations détermine la forme des fonctions Pu q^ N et Ri] cellcs-cî étant déterminées, la seconde équation donnera ensuite la fonction (j. On peut aussi trouver cette dernière fonction par l'équation (5).
Maintenant tout dépend de l'équation
(7) plN-q'R, = 1.
Cette équation peut bien être résolue par la luétbodc ordinaire des coefti-
1^^ SUR LMNTÉGUATION 1)K LA FORMULE DIFKKKKNTIELLK ^^~. etc.
cieiLs iiidéteriniiiés, mais rapplication de cette méthode serait ici extrêmement prolixe, et ne conduirait guère à un résultat général. Je vais donc prendre une autre route, semblable à celle qu'on emploie pour la résolution des équations indétenninées du second degré à deux inconnues, La seule diffél'ence est, qu'au lieu de nombres entiers, on aura à traiter des fonctions entières. Comme dans la suite nous aurons souvent besoin de parler du degré d'une fonction, je me servirai de la lettre rî pour désigner ce degré, en sorte que (fP désignera le degré de la fonction T\ par exem])lc,
D'ailleurs, il est clair que les équations suivantes auront lieu:
^PQ) = iW^!iQ,
Ml)=^^^-^^^'
de plus
il{PJ^P^) = dP,
si SP' est moindre que (ÎP. De même je désignerai, pour abréger, la partie entière d'une fonction rationnelle ii par Eu^ en sorte que
oîi Su* est négatif. Il est clair que
donc, lorsque Ss' est négatif.
Relativement à ce signe, on aura le théorème suivant:
„Lorsque les trois fonctions rationnelles î/, r et z ont la propriété que
odx 1Q9
SUR L'INTEGRATION DE LA FORMULE DIFFERENTIELLE " - etc.
„on aiira^ si (iz<^(ir^
Eu '^ ± Kv,
En effet, on a par définition
it =1 Eli -[- u\
?? = Ev -\- v\
(hi^ et (W étant négatifs; donc en substituant (îes valeurs dans l'équation
{EiiY + 2u'Eu -f vf' = {Evf + 21/ Ev -j- r'^ + z. Il s'ensuit
(é;//)^ — [Evy = z^ v'' — tf/' -f 2?/ A> — 27/' Eti = f,
ou bien,
{Eu + &>) (^w — Ev) = t.
On voit aisément que fî'<<;[()V; au contraire ()\Eu -^ Ev) (Eu — Ev) est au moins égal à âv^ si [Eu-\-Ev)iEu — Ev) . n'est pas égal à zéro. 11 faut donc nécessairement que {Eu-\-Ev)[Eu — Ev) soit nul, ce qui donne
En = Hh Ev c. q. f. d.
Il est clair que l'équation (7) ne saurait subsister à moins qu'on n'ait
c'est-à-dire,
d'où
fî {NR,) = 2 {âq — ^Pt-{- ^Rt). .
he plus grand exposant de la fonction R doit donc être un nonibi'e pair. Soit âN= n — m , SR^ = « -|- m .
Cela posé, au lieu de l'équation
p\N-q^R,= \, je vais proposer la suivante (8) i>\N-q*R,^r,
llf) SUR l/INTKOKATJON DE LA FORMULK DIFPÈUENTIELLP: \ etc.
OÙ V est une fonction entière dont le dejçré est moindre que -~ — ^^•
Cette équation, comme on le voit, est plus générale; elle peut être résolue par le même procédé.
Soit t la partie entière de la fonction fractionnaire .3 ? et soit /' le reste; cela posé, on aura
(9) iA =Nt-\- 1\
et il est clair que f doit être du degré 2m ^ lorsque âN=in — m et âR^ = 71 -^^ m. En substituant cette expression de lii dans l'équation (8), on en tirera
(10) ij^\ — ^U)N—qU' = v.
Soit maintenant
(11) t = t\JrU',
on peut toujours déterminer t^ de manière que le degré de // soit moindre que m. A cet effet, faisons
cela posé, l'équation (11) donnera
De cette équation on déduira, en comparant les coefficieiis entre eux,
SIK LINTEORATION UE LA KOUMULE DIFFERENTIELLE " ct<
y^^t = «„, - 2/9, /îo — 2^., /?, -
P'i =«1 — 2/îi/îo,
Les m -[- 1 premières éc][uatioiis donnent toujours, connue il est aisé de le voir, les valeurs des m-^-l quantités /?„, /?^| • • • /?o, et les m dernières équations donnent les valeurs de /o? /n /» • • • /m-i» L'équation supposée
(11) est donc toujours possible.
Substituant dans l'équation (10), au lieu de /, sa valeur tirée de Téquation (11), on aura
(12) (yî^»<î)iS^ç«(,V^/4 r) = z,; d'où l'on tire
En remarquant que
on aura, par ce qui précède,
ou bien, comme on peut prendre i^ avec le signe qu'on voudra^
En substituant cette expression, au lieu de />i dans l'équation (12), elle se changera en
(13) (/i' + 2^Vi)A^-V*.s=:^', où, pour abréger, on a fait
De cette é(juation il est facile de tirer
11^ SUK L'INTÉGRATION DE LA FORMULE DIFFÉRENTIELLE "'i^. ctc
yjt
OU, puisque tlN-{- s = R^ (car R, =. fiV-|- i\ s — Ni/ -\-t\ et i — (l-{~ //),
q t,NY EiX V
Soit maintenant
R^N=:r'^r\ oh (y/<J/-, on aura
(i s j U / ' 5* 8fi^
Or, on voit aisément que
et par suite
donc en faisant
on aura
En substituant cette expression de q dans l'équation (13), on aura
c'est-à-dire,
Faisant pour abréger
on obtient
(15) .,,/9*2r./Vi-.s7^f--'-.
Puisque A* ( -■^^''^ 1 = 2,« ,
ou iV
SUR L'IKTKGRATION DE LA FORMULE DIFFÉRENTIELLE ^-^ etc.
par suite la dernière des équations (14) donnera
7\ =zr — t.
En multipliant l'expression de i»'i par a-, on obtient
.sô-i = Ns + 4//^ iYs — 46--,(t^ = iVi? -f f ïiV* — {2s^u — f,N)\
Or 2s /Lc — fiN= f\ , donc
ss, = Ns^tlN'—rl, et rj + *•*•, = ^(6 + <ïxV);
de plus on a
donc
(16) rl-Jt-ss,=^NB, = Ji.
D'après ce qui précède on a Ii = r^ -\- r\ donc
r* — ?-ï =1= ss^ — /• ', (r -}- rj) (r — rj) = iJ6*i — r '. '
Or puisque âr' <:Ci t)V, il suit de cette équation que
â (ss,) = â {r + )\) (r — ri), c'est-à-dire, puisque /• — r^ = f , oîi ()é -<] âr^
as -|- (îiîi = (^r -j- ât.
Or JAj>cî'é, donc
fTô'i <^ (Jr.
On a de plus s==Nti4-t', oh (y^'< rl^iV et âti'<C<ytiy donc
()f.s<(yiv-j-j^,.
Mais i^ = iV(»-)-<J^, par conséquent,
et puisque Jif = 2(yr = 2(y/'i, on anra
On en conclut ,
114 SLIl L'INTKGKATION DE LA FORMULE DlFFr.KENTIELLE "!^ etc.
yjt L'équation plN — q^K^=.v est donc transformée en celle-ci:
On obtient cette équation, comme on vient de le voir, en faisant (17) ■ ^'■ = '.Ï + A
^1 étant détenniné pai* l'équation
t = i\-[-t^', où (%'<SU, t = E\-^.u
et f.1 par l'équation.
OÙ
De plus on a
r'-\-r' = 1{,N, s = Nt,' -{- li, — Ni.
(18) { «, =N-\- éjut.N— 4»,«%
rl-\-ss, = RyN=Il
Il s'agit maintenant de l'équation (15).
Résolutiofi de l'équation: ifi(i^ — ^^f'ii^iii — tf/^f=:r, oh d«<idri, (î«i<<Ji'i,
En divisant Téquation (19) ,^ii^^2r,lSiS,-«ii'i = v,
par Ai/^ï, on obtient
donc
SUU L'INTÉGRATION DE LA FeRMULE DIFFÉRENTIELLE ^ etc. 115
(S V \ l 7*1 1 Tïï r^^M —
donc
e\Î--'±\=+eI^],
oh Ton doit prendre le signe -|-, car Tautre signe donnerait -^ -^ = 0; donc
par conséquent, en faisant
on aura
Substituant cette valeur de /? dans l'équation proposée, on a
OU bien
(20) s,(il - 2r,(3,(i, - s,(il = -v,
oîi
L'équation El-—\ = Ui donne
ri = ,UiSi-[-fi, où (Tel -<[ <y,Çi .
On obtient pai' là,
donc, comme il est facile de le voir,
L'équation (19) a par conséquent la même forme que l'équation (20); on peut donc appliquer à celle-ci la même opération, c'est-à-dire en faisant
lie.
SUR L'INTÉGRATION DE hA FORMULE DltTÉRENTIELLE ", etc.
