Y II
fit = E r * I , î-j = Sj,//, -\- f , , (i, = 2,Ut(3t -f- /î» ,
on aura
où
En continuant ce procédé, on obtiendra, après n — 1 transfonnations, cette équation:
(21) .s„/9L, - 2r„/5„./5„ - s,,pi = (- iy-»r,
où <î/9„<<y/9,..
Les quantités .s„, r„, /3„, sont détemiinées par les équations suivantes:
^n -«/'n—i'^Jn— 1 ^w-n
A ces équations on peut ajouter celles-ci:
Or, les nombres fî/?, fJ/^i, (T/Ja . . . fî/?„, etc. fonnant une série décroissante, on doit nécessairement, après un certain nombre de transformations, trouver un /?„ égal à zéro. Soit donc
l'équation (21) donnera, en posant 7/=w, (22) s„(il, = {-\Y-'v.
Voilà l'équation générale de condition pour la résolubilité de l'équation (19); .s„, dépend des fonctions ,v, .Sj, i\^ et /?,^i doit être pris de manier» à satisfaire à la condition
Pdx 117
SUR I/INTKGRATION DE LA FORMULE DIFFERENTIELLE ^ etc.
L'équation (22) fait voir, que pour tous les .s*, s^ et r^, ou peut trouver une infinité de valeurs de ?', qui satisfont à Uéquation (19).
En substituant dans l'équation proposée, au lieu de v^ sa valeur ( — l)*""^-?™/?^-!, on obtiendra
équation toujours résoluble. On voit aisément que /? et fti ont le facteur commun /î«i. Donc, si Ton suppose que /? et jS^ n'ont pas de facteur commim, /î„i sera indépendant de x. On peut donc faire /?„,.. i = 1, d'où résulte cette équation,
Les fonctions /9, /3i, (3^ • • • ^^^^ détenninées par Téquation
en posant successivement w = 1, 2, 3 ... m — 1 et en remarquant que /3^ = 0. On obtient par là
/5„3 = *-/'»,2 /^f»— 2 "T" Pw- 1 7 Pni-4 = 2//,„3 p^3 -j~ Kw— «î
Ces équations donnent
'**i:J'lZS^ ?r;3^'^«i-^Jg*f=«»*--:i*Bç?.HiM.:i--^^
118 SI:r L'INTÉGRATION DE LA FORMULE DIFFÉRENTIELLE "l' etc.
Pm-1
On en tire par des substitutions successives:
^.Ww— 1
On aura donc les valeurs de (3 et de (3^ en transfonnant cette fraction continue en fraction ordinaire.
En substituant dans Téquation
plN—q^R,=v pour V sa valeur ( — l)**~\ç„, on aura
où
donc
or
par conséquent,
q=2,uft-\-ft„
L'équation
p\N — q^If^ = v
SUR L'INTÉGRATION DE LA FORMULE DIFFÉRENTIELLE ^,''" etc. 119
donne
PJ
Pi
donc
eu
supposant
infini
q Vn''
donc
^^* + 2iti3' + etc.
On trouve donc les valeurs de p^ et de q par la transfonnation de la
fonction y -J en fraction continue.*)
Soit maintenant v = aj Ton aura
Donc si l'équation
est résoluble, il faut qu'au moins une des quantités,
"7 ^17 '^i • • • *^mj etc., soit indépendante de x.
D'autre part, lorsqu'une de ces quantité>s est indépendante de x, il est toujours possible de trouver deux fonctions entières p^ et q qui satisfassent à cette équation. En effet, lorsque 6\, = «, on aura les valeurs de j)^ et de q en transfonnant la fraction continue
*) L'équation ci-dessus n'exprime pas une égalité absolue. Elle indique seulement d'une manière abrégée, comment on peut trouver les quantités ti, jw, fii; jm^ • • • 8i toutefois la fraction continue a une valeur, celle-ci sera toujours égale k
120 SUR LINTÉGKATION UE LA FORMULE DUTÉRENÏIELLE "' etc.
en traction ordinaire. Les fonctions .s, .v^, .s^, etc., sont en général, connne il est aisé de le voir, du degré n — 1, lorsque XJi^ est du degré 2n. L'équation de condition
doiniera donc n — 1 équations entre les coefticiens des fonctions N et 7i\ ; il n'y a donc que n -|- 1 de ces coefiiciens qu'on puisse prendre arbitrairement, les autres sont déterminés par les équations de condition.
De ce qui précède, il s'ensuit qu'on trouve toutes les valeurs de li^ et de iV, qui rendent la diftérentielle . - > intégrable par une expression de la forme
en faisant successivement les quantités s, .Sj, s^ . . . .s„, indépendantes de r. Puisque p=piN, on a de même,
OU
^ 'if^U-l
en supposant s^ égal à une constante.
Les quantités jKj, iV, p^ et r/ étant ainsi déterminées, on trouve p
SUR L'INTÉGRATION DE LA FORMULE DIFFÉRENTIELLE ^'f* etc. 121
yii
par réquatioii (5). Cette équation donne, en mettant jy^N au lieu de p,
et p au lieu de -^^ ?
Il s'ensuit que
â(f = (yp,^ âN — 1 — (yq = i)2J — âq— 1.
Or on a vu que âp — dq = n^ donc
Donc si la fonction li ou R^N est du degré 2n^ la fonction p sera nécessairement du degré n — 1.
Nous avons vu plus haut que
mais on peut toujours supposer que la fonction N est constante. En effet on a
JVR.K ^ p^VA-qVlî,'
et par conséquent,
ou, en faisant plN-\-q*I{i=j)' et '^J>i(l = q^\
Il est clair que p' et 5' n'ont pas de facteur commun; on peut donc
toujoui's poser
Au lieu de l'équation plN — g^i^, = 1, on a aloi-s celle-ci,
122 SUR L'INTÉGUATION DE LA FORMULE DIFFÉRENTIELLE ^*^ etc.
dont ou obtient la solution eu faisant N= 1 et mettant li au lieu de Ry Ayant ^=1, on voit aisément que
r„=ri — 2f,, .Sj = s-|-4f,//i,
Ayant déterminé les quantités 7i, r, /t, //^ . . . it^__i par ces équations, on aura
(25) { où
ce qui résulte de l'équation (5) eu y posant N= 1.
SUR L'INTÉGRATION DE LA FORMULE DIFFÉRENTIELLE '','*' etc. 123
yj<
On peut donner à l'expression log - ' .^ ; . ' une fonne plus simple,
savoir,
loc P»^^' + 9^^» = loff ''>'^^'+V^.
" piV^'-qVRi ^ t,VN-VR,
ri — y M ri — y if r„ — yR
ce qu'on peut démontrer comme il suit. Soit on a par la tliéorie des fractions continues,
De ces éfjuations on tire, en éliminant //„i,
donc
ce qui est connu.
Les deux écpiations (a) et (b) donnent encore
PI = i3l, + 4/9, /?„, //, +• 4// i, ftl, . Il s'ensuit que
Or on a
124 SUR L'INTÉGRATION DE LA FORMULE DIFFÉRENTIELLE ^'^ etc.
Vu donc, en substituant,
s« = '^^m-î + 4(— l)'"-' ,a«i («;„i a«,iV^— /i„i li^^R,) — 4//î,, .s«i. Mais, d'après ce qui précède, on a
Soit
on aura en multipliant,
mais on vient de voir qu'on a on tire de là
et de la même manière, on en tire en divisant.
»•« — Viî'
OU, en multipliant par -^- ?
zm r^ + VU
En faisant successivement m = 1, 2, 3 . . . w, on aura.
n + yiï
zo
»-»+yiî
ri -VA
SLR L'INTÉGRATION DE LA FORMULE DIFFÉRENTIELLE V et<^ ^^^
d'où l'on tire,
«« ^0 n + Viî r^ + iR n + iii vr^ + ili
Zyn' z^ n — -^R T^ — iR rs — VR r^ — VR
Or on a
z,' = a,fN- (i^pi, = t,yN- y II ,
et donc
et en prenant les logarithmes
a„VN + ,i„Vlti
(26) log
««VA'— /ï»V-Bi
= •"« 7,yr- ys; + '°« ;:r yï + ''«, y5 +■•• + ''« ;. y/,
ce qu'il fallait démontrer.
En différentiant l'expression z = log - "--- ^ ^"' "7~^? ^^^ aura, après les réductions convenables,
dz
2(a« dti^ — ^mda^) NRi — a^fin, (R, dN— NdR,)
(ai,N-^lR,)V^Ri Or on a
donc en faisant
(27^ (-l)-V. = 2(«.*-^..^)^iî,-„./î.(-A<'A'-^'«.
126 SUR L'INTÉGRATION 1)K LA FORMULE DIFFËRKNTIELLK ^^^ etc.
on aura
dz =
«m VAT?!
et
donc
ou bien
(28 / i - = loff -, - , 4- loff —r- h • ■ • + loff
Dans cette expression «„ est tout au plus du degré (« — 1 ) et p„ est nécessairement du degré {n — l-|-()f.s„), ce dont on peut se cctnvaincre de la inanièi'e suivante. En différentiant l'équation
(29) a:,N-,3lli, = {-ir-\,„,
on trouvera la suivante
OU, en multipliant par a^N^
alN{2 Nda^ + «„ dN) - 2a. /^„ di%Nli, - ,3:,a^Ndh\ = (- l)'"" ' a„Xd^„.
Mettant ici à la place de a^N^ sa valeur tirée de Técpiation (29), on aura
(- ir-Ks„{2Nda„ H- «„ dN) -\- /?„ [2NB,/3^ da„ + ajSJi, dX- 2«„ d,i„NIi,
— /?„«„ AV/^J .= ( D- " a„Nd.«„ , c'est-à-dii'e,
/?„ [2(«„ d(3„ - ft„ da„) NB, - a„,3„ {E, dN- Ndli,)]
= (- 1)"-' [.s. {2Nda„ + «. </ AO - «„AV.s-„] .
En vertu de l'équation (27) le premier membre de c^ettc équation est égal à /?„( — !)""'(>„ rfj*; donc on aura
2Nda„ , a^dN \ N<h^
SUR L'INTÉGRATION DE LA FORMULE DIFFÉRENTIELLE ^'' etc. 127
Puisque (h^<Cn^ le second membre de cette équatiou sera nécessairement du degré {(h„ -\- âN -\- âa^ — 1), comme il est facile de le voir; donc
Or de l'équation (29) il suit que
[lonc
ou, puisque cîA^-j- (îi/j = 2w,
^^P« — ^k. + '^— I7 c'est-à-dire que p^ est nécessairement du degré {ifs^ -\-n — 1). Il suit de là que la fonction - est du degré (;^ — 1).
Faisant dans la fonnule (28) N= 1, on aura f^ = r, et par conséquent
oïl, suivant l'équation (30),
L'équation (28) donne, en faisant s^^^a,,
et lorsque iV= 1,
(83) /' ^'^ = log -'1+4^ + log II + >;-^ + . . . 4- log
r« - Vif 2 </«„
D'après ce qui précède, cette formule a la même généralité que la for-
128 SUR L'INTÉGRATION DK LA FORMULE DIFFÉRENTIELLE ^^ etc.
mule (32), et donne tontes les intégrales de la fonne / > où p et li
sont des fonctions entières, qui sont exprimables par une fonction logarithmique de la fonne log , •
Lu»
Dans réquation (28) la fonction ^"^ est donnée par l'équation (30).
Mais on peut exprimer cette fonction d'une manière plus conmiode à l'aide des quantités /i, )\^ r^, etc. i«, //i, i/^, etc. En effet, soit v
^, = log '"^- ,^'
on aura en différentiant,
j . ^ dR j . dR
OU en réduisant,
Or nous avons trouvé plus haut
donc en nmltiplîant par cs„i,
Mais on a
donc en substituant cette quantité, d'où l'on déduit par transposition.
SUK L'INTÉGRATION DE LA FORMULE DIFFÉRENTIELLE ^'l etc. 129
Il suit (le cette équation que /'^ -j- *',« 'V-i *^ 1^ même valeur pour tous les m et par conséquent que
or nous avons vu j)lus haut que rjf-f-ôAj =if, et par suite,
(34) Ji = ri-{-s^s„,.
Substituant cette expression pour li dans Téquation (33'), on aura après les réductions convenables
"~ iR '^m iR s^-i Yr' mais puisque /',„=: 26*w i/<m-i — 'm-17 ^^ tenue *^ -^ se transfonne
en — 2i/„ 1 -""V -L. 'J^ri "*-^ . Qji obtient donc
' Vie ' ««-1 iR
et eu intégrant
(35) f'^" '*;"= — 3„+/'(2(/r, — 2«, c/.s-„ ,) / -f /'!^J?rl l!^-' .
Cette expression est, comme on le voit, une fbnnule de réduction pour
-f • Car elle donne l'intégrale / — -;'" ^m y R J ^tn y R
par une autre intégrale de la même forme et par une intégrale de la fonne
ttLv, y où if est une fonction entière. Mettant dans cette fonmile à la place
iR ^
de m successivement ?/i, m — 1, m — 2 . . . 3, 2, 1, on obtiendra m équations semblables, dont la somme donnera la formule suivante (en remarquant que ^0 = 2^/1 — /"i = U^ en vertu de l'équation )\ -j- t^N=: 2s^t)
-\- J2{dri-\-dr^-\- ■ ■ ■ -f- rfr. — ,« rf.s — /<, tfo, — • • • — /*«i<fo«i):^-
VB
On peut encore réduire l'intégrale / — '».-. En différentiant l'expression
130 SUR L'INTÉGRATION DE LA FORMULE DIFFÉRENTIELLE ^," etc.
^ t^VN-VR, on aura après quelques réductions,
—2dt^NR^—t^{R^dN—NdR^) ^~ " {t\N-R;)iR Or ou a
substituant donc cette valeui* de 11^ dans l'équation ci-dessus, on trouve
dz = (2Ndt, 4- 1, dN) ^-—- '> ^'
donc en intégrant
/(Is V se transforme par là en celle-cî, ^m y R
ou, en mettant à la place des quantités 2, z^^ 2jj . . . leiu*s valeurs,
^ ' J "m VR
~l VR ^'^^*' "'" ^'' ^^^~^ ^'' ' "^ *" ^'' '" ~ '" ''* ~'"'^^' '"•» -' '^*'— > )
Cette fbnnule est entièrement la même que la fbnnule (28); elle donne
(37) ?'^dx = — ~
du, + 2(iVVf,-f l^t/iV+c/z-i-l \-dr„-iiids ."„-i<As.-i)
Mais l'expression ci-dessus dispense du calcul des fonctions «„ et /?„.
SUU LINTKGRATION DE LA FORMULE DIFFKRENTIELLE ^- etc. 131
dispa-
raît et Ton obtient la foniiiile suivante:
(38) j^^^ ^y^dN-{-Ndt,J^dr,^ \.dr„-f,ds ,«„,^-V.i)
= loff i'v.. , „ - + log - - + log -«- - :;/7- H h l"g V p
<,VA— y^, r, — yii j'j — ylt »•„ — y^
Si dans l'expi'ession (36) on fait N:=: 1 , on a /, = r, et par suite
(39) y-^^- Ç'j^ =Jy^ i'^'' + ^'-i H h <^''n, - ," ^''' ."-1 ^-''-i)
, r-\-Vli , r,+V'R , »•« + />«
r — yR >•, — y /; r^-
r^ — VR
et si l'on fait .s' = flr:
(40) / ^ ^^ {dr + rfr, -| [- t/r„ — //. ds — //, </.?,... ^,^j f/,9„j )
En vertu de ce qui précède, cette formule a la même généralité que
/tdaî oh
f est une fonction entière, qui peuvent être exprimées par une fonction de
la fonne log: - - -i —
^ P-qVR
Xous avons vu ci-dessus (][ue
donc, lorsque N= 1 ,
132 SUR L'INTÉGRATION I)K LA FORMULE DIFKKRENTIKLLK " etc.
