IM I
En général les quantités ft^ u^^ //j, u^ . . . sont différentes entre elles. Mais lorsqu'une des (j^uantités »v, a*i , s^ . . , est indépendante de x^ la fraction continue devient périodique. On peut le démontrer comme il suit.
On a
donc, lorsque s^=za^
Or (yr„^j^ = ()V, (y5<;](yr, ()''Sm+i<C](yr, donc cette équation ne peut subsister à moins qu'on n'ait en même temps,
Or, puisque fi.^^j^ = E l '"^^- on a de même
mais E l — \=fi^ donc On a de plus
donc ayant s^=in^ r^^^z=:r^ fi^^^ = afij on en conclut
or ,s, = 14-4 iir — 4u^s^ d(mc
On a de même dcmc, puisque r^ = 2^11.9 — r,
' Bi + a — ' 1 j
SUR L'INTÉGRATION DE LA FORMULE DIFFÉRENTIELLE ^, etc. 1«^3
d'où Ton tire
donc
Il ' ^
En continuant ce procédé on voit sans peine qu'on aura eu général
I ^*ia + n ' n— 1 7 '^m + M '^ '^n—\ f
Le signe supérieur doit être pris lorsque n est pair et le signe inférieur dans le cas contraire.
Mettant dans Téq nation a à la place de .s„, on aura Il s'ensuit que
Or on a ft„=z E \ *" 1 ? donc
On a de plus
c'est-à-dire, puisque r« := r, .s„i =
Mais ;• -\- j\ = 2su , donc
^•,«-1 — ''i = ^^ (."«-1 — (fff ) .
l'^4 SUR L'INTÉGRATION DE LA FORMULE DIFFÉRENTIELLE ^^ etc.
Ou a
c'est-à-dire, puisque s„y = ■ ?
(r,i + ri) (r^i — r,)= ^ {as, — s„^).
Or nouK avons vu (|ue
doue eu substituant,
2 (r^i + )\) (//„, i — au ) = r7.s, — ,«?^3 .
Cette équation donne, en remarquant que fî (r^-i -f" ^i ) ]> '^ (^-^i — '^m-2)')
ffm-^l = (if 7 '*?».2 = «^1 7
et ])ar conséquent
' OT-l ^1 •
Par un procédé semblable on trouvera aisément,
et en général
^*m—n r« 7 •^'îii— n ^ •'^»— 1 7
A. Soit VI un nombre ])air, 2k.
Dans ce cas on voit aisément, en vertu des équations (41) et (42), que
les quantités r, r, , r^ . . . .s, ,s'i , s^ . . , //, //^ , /i^ . . . fomieut les séries suivantes:
0 1 .,2/i:— 2 2k— 1 2k 2k-\-l 2fc-f 2 ..4^— 1 4k 4k-\-l 4k-{-2 4k-\-'À etc.
r r, . . ?% ?*, r r i\ , . t\ 7\ r ■ r i\ etc.
s S. . . a^s. a. as. . . ,s\ s 1 .s .v, etc.
// i/i . . ■ </// r/// ^ .. 1/. // r /( (/, etc.
^VR L'INTÉGRATION DE LA FORMULE DIFFÉRENTIELLE '- etc. 1«^5
nebe
B. Soit m un nombre impair, 2k — 1.
Dans ce cas réquation
•^1, « — «■^^•'^'n^i ou
i^ik—n-l ^ •***»«— 1
donne, pour n /c.
••^A.-l (t Sf^__i ,
donc a 1 .
Les quantités r, i\ etc. .s, .Sj etc. //, //, etc. forment les séries suivantes: . 0 1 ..k — 2 k—1 k k-\-1..2k — 2 2k— 1 2k 2k^l etc.
fl .
etc.
'fi
etc.
etc.
On voit par là que, lorsqu'une des quantités s, s^^ s^ ... est indépendante de it', la fraction continue résultant de ^R est toujours périodique et de la forme suivante, lorsque s^=ia:
Ijorsque m est impair, on a de plus re=l, et par suite
La réciproque a également lieu; c'est-à-dire que, lorsque la fraction
continue résultant de ^li a la fonne ci-dessus, s^ sera indépendant de x. En eft'et, soit
•^^ SUK L'INTEGRATION DE LA FORMULE DIFFERENTIELLE ' etc
on tire de l'équation r,,=z.s,,i/„.4-f„,
Or, puisque r^^=zr^ ^ — 2f^i, où ()V,„ i-^l^î^'S il ^"^^ clair que
On en tire
et par conséquent .s'^ = r/, ce qu'il fallait démontrer. î^n conibiuaiit cela avec ce qui précède, on trouve la proposition suivante:
"Lorsqu'il est possible de trouver pour (f une fonction entière telle, que
"la fi'actioii continue rësiiltant de fit est périodique, et a la f'onne suivante:
^" + 2„. + otc.
"et réciproquement, lorsque la fraction continue résultant de YB a cette "forme, il est toujours possible de trouver pour p une fonction entière qui "satisfasse à l'équation,
iR ^ y—Vk
"La fonction y est donnée par l'expression suivante:
SUR L'INTÉGRATION DE LA FORMULE DIFFÉRENTIELLE ^'!? etc. 137
Dans cette proposition est contenue la solution complète du problème proposé au commencement de ce mémoire.
Nous venons de voir que, lorsque ^s^^i est indépendant de x^ on aura toujours .Sjt = .s^__2 , et lorsque «Sg^^ ^st indépendant de x, on aura Sf.^=cSf^^j oh c est constant. La réciproque a également lieu, ce qu'on peut démontrer conmie il suit.
