II. Hoit en second lieu .s-^^^^^a-m

''* ^^ ,*^A *A "l" *A 7 ''a— 1 ^^^ /^A— 1 *'a— 1 "r~ ^fe—1 7

SUR L'INTÉGRATION DE LA FORMULE DIFFÉRENTIELLE ^^ etc. 139

donc

n — n-i = f^k-i (^/'it — !^k--i ) + ** — ^*-i •

Or r,. — r^i = — 2f,.i , donc

Cette é(|uation donne

fh ^ /'*— 1 J ^k ^k—l •

Donc des équations

on déduit en ajoutant On a de plus

et, puisque r;fc^i = r^i et Sj^ = cSf^^j on en conclut

En continuant de cette manière, on aura,

c'est-à-dire que % ^^^ indépendant de x.

Cette propriété des quantités 5, s^, «g etc. fait voir que Téquation .92j^ = aest identique avec Téquation Sf^::=a-^.\i et que l'équation s^j^i = l est identique avec l'équation s^ = Sf^^. Il s'ensuit que, lorsqu'on cherche la fonne de li qui convient à l'équation 5,4 = a, on peut au lieu de cette» équation poser 5^ = a-^.9;b i, et que, lorsqu'on cherche la fomie de li qui convient à l'équation s^j^,i = 1 7 il suffit de faire Sf^ = s,,__^ , ce qui abrège beaucoup le calcul.

En vertu des équations (41) et (42) on peut donner à l'expression (40)

une forme plus simple.

140 SUR I/INTÉGRATION DE LA FORMULE DIFFERENTIELLE ^'''' etc.

a) Lorsque m est pair et égal à 2/i;, on a

/ Vit ^^^ "1" ^'"* "^ f" '''*-• ^~ ^ '^' * ~ '" '^^ "" '" » '^'^ ■"*-» ^•''* - 1 )

' 1 »*4-V'ii , 1 r.-\-ilt . , , n, + Viî , ,, n + Vif

= log r I log - '-^ -H h% ■ -v«+il«g: Vff'

r — y il 7* j — y iî ri.__i — y R i\ — y n

b) Lorsque m est impair et égal à 2/c — 1 , on a

^^^^ ^ = log 1- +^^ + log ivLV^. + . . . + log '•--* + ^;^ .

Pour appliquer ce qui précède à un exemple, prenons l'intégrale

y.V-1 + ax^ + /^•^•^" + y^^ + <J

On a ici (^7^ = 4, donc les fonctions tS, .Si, .v^j, .Sj . . . sont du premier degré, et par suite Téquation s^ = const. ne donne qu'une seule équation de- condition entre les quantités, a, /?, ^, J, f.

Faisant

on aura

r = x^-^ ax -j- ^5 A' = c -f- ex.

Pour abréorer le calcul, nous ferons e = 0. Dans ce cas on a s =2 ex,, et par conséquent,

c'est-à-dire

De plus

Ti = K — 2e = x^-\- ax -{-A — 2h = x^-\-ax — ft,

SUR L'INTKORATION DE LA FORMULE DIFFÉRENTIELLE ^'^ etc. 141

.s,= H-4f.(/ = l + 4ft ^ =.^-x^ ^^ +1,

ae , e-

■»""'"'•''■» — 4A + lG/>='~"^'

4 />*" + IG//^ ) ^ — 4/;^" ( 4 /> + lG/>^ — 't Soit maintenant en premier lieu s^ constant. Alors Tecpiatîon

donne

ft = 0,

par conséquent,

jYj^i<i>--iuds) = ]

r-{-VH

Off - ' - - -

OU, puisque // = ? .s- = ^^7!

(3.^ + a) (Lr , .c- + aa* A-'V É

Cette intégrale se trouve aussi facilement en divisant le numérateur et le dénominateur de la différentielle par ^x.

Soit en deuxième lieu .s\, constant. Dans ce cas la fonnule (43) donne, k étant égal à l'unité,

T,—in

Or l'équation ,<f2 = const. donne s^=-cs^ donc

4^ , 4aA , -

142 SUR L'INTÉGRATION DE LA FORMULE DIFFÉRENTIELLE ^'^^ etc.

\'lt

L'équation de condition sera donc -|- 1 = 0, c'est-à-dire

e'=z — 4ûr7>, donc

li=[x^ J^ax^hy — Aahx.

%f I Cl

De plus, ayant ki^=^' ^-t v=^x^-\-ax-\-h^ )\^^x!^ -\-ax — />, on aura la formule,

Ç (Ax + a) ilr , .r « + a.r -Lh-A-iR , , , .r ^ + a.r—h + YR

J y(j-« + a.r+/.)^ — 4aAr "^ .r^^ a.v + h — y R ' - ^ .r^+ «.r— A— V /i

Soit en troisième lieu s^ constant. Cette équation donne s = s^^ c>'est-àdire

CW , fî-

4/7 I IGA* — i = 0.

On en tire

La foiTimle (44) donne par conséquent, puisque k = 2j

1 .c* + a.7? + /; + l/^ , . .r^ + a.r — /> + Vie = l02: - -' - ^- +loff - ' -

*^ ,r^^ax + h — yR ' ^ .r5J-|-a.r — /> — y/^

Si par exemple a = 0, A=l, on aura cette intégrale:

jy(.r2 + i)2 4.r ^ ,,.2|-1 — y(.r=i4-l)s — 4.r ~^ "^ .r^l y(;,.=î + l)2

Soit en quatrième liexi «v constant. Cela donne .s^rrzrî.s'j, c'est-à-dire

ae 47;

r,2 -t- i(3/,ap 4/>M4/> + l()/>^ ^'j— e ^'^\ e ^ ^ y"

On en tire, en comparant les coefficîens et éliminant ensuite r.

e . , , 7 V « e i ae . e^

IG/y

uA' + '^''^'y = -T\u+ ii^ir^-^'h

SUR L'INTÉGRATION DE LA FORMULE DIFFÉRENTIELLE -*^- etc.

e^J^eiabe^U^ — ^a^b\ e= — 2^abi;-^U^^^^b^ = — b(;6a±'^ a'^'^M).

En vertu de cette expression la fonnule (43) donne,

(G.r + f a — J Va* + Sh)iL' , ^ .v^ -^^uc + h + VR

y (.c ^+iue-j- h) ^ — /> (3a + Va ^ + 8^ ) .c

Si Ton fait par exemple a = 0, 7>=:^, on obtiendra

•»^'' + J + Vx* + *»"+ ;l-Vi

On peut continuer de cette manière et trouver un plus grand nombre d'intégi'ales. Ainsi par exemple l'intégrale

«"+''°r')'+(ys-i)'.'

peut s'exprimer par des logarithmes.

qui peuvent

s'exprimer par une fonction logarithmique de la fonne log' ^ ' ^ . (Jn

p — qy R

pourrait rendre le pn^blème encore phis général, et cherclier en général toutes les intégrales de la forme ci-dessus (jui pourraient s'exprimer d'une ma-

144 SUR L'INTÉGUATION DE LA FORMULE DIFFÉRENTIELLE ^'''^ etc.

iiière quelconque par des logarithmes; mais ou ne trouverait pas d'intégrales nouvelles. On a en effet ce théorème remarquable:

— - ? où () et B sont des

^fonctions entières de x^ est exprimable par des logarithmes, on peut ^toujours Texprimer de la manière suivante:

„oii A est constant, et p et q des fonctions entières de x." Je démontrerai ce théorème dans une autre occasion.