ÉTENDUE DE FONCTIONS TRANSCENDANTES
Prô'sonté à T Académie des sciences à Paris le 30 Octobre 1826. Mémoires présentés par divers savants
t. VII, Paris 1841.
Les fonctions transcendantes considérées jusqu'à présent par les géomètres sont en très-petit nombre. Presque toute la théorie des fonctions transcendantes se réduit à celle des fonctions logarithmiques, exponentielles et circulaires, fonctions qui, dans le fond, ne forment qu'une seule espèce. Ce n'est que dans les derniers temps qu'on a aussi commencé à considérer quelques auti'es fonctions. Parmi celles-ci, les transcendantes elliptiques, dont !M. Legendre a développé tant de propriétés remarquables et élégantes, tiennent le premier rang. L'axiteur a considéré, dans le mémoire qu'il a l'honneur de présenter à l'Académie, vme classe très-étendue de fonctions, savoir: toutes celles dont les dérivées peuvent être exprimées au moyen d'équations algébriques, dont tous les coefficients sont des fonctions rationnelles d'une même variable, et il a trouvé pour ces fonctions des propriétés analogues à celles des fonctions logarithmiques et elliptiques.
Une fonction dont la dérivée est rationnelle a, comme on le sait, la propriété qu'on peut exprimer la somme d'un nombre quelconque de semblables fonctions par une fonction algébrique et logarithmique, quelles que soient d'ailleurs les variables de ces fonctions. De même une fonction elliptique quelconque, c'est-à-dire une fonction dont la dérivée ne contient d'auti'es iiTationnalités qu'un radical du second degré, sous lequel la variable ne passe
pas le quatrième degré, aura encore la propriété qu'on peut exprimer une
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somme quelconque de semblables fonctions par une fonction algébrique et logarithmique, pourvu qu'on établisse entre les variables de ces fonctions une certaine relation algébrique. Cette analogie entre les propriétés de ces fonctions a conduit l'auteur à chercher s'il ne serait pas possible de trouver des propriétés analogues de fonctions plus générales, et il est parvenu au théorème suivant:
„Si l'on a plusieurs fonctions dont les dérivées peuvent être racines „d'une même équation algébrique^ dont tous les coefficients sont des fonctions ^^raiionneUes d'une même variable, on peut toujours exprimer la somme d'un „nombre quelconque de semblables fonctions par une fonction algébrique et ^^logariihmique^ poui-vu qu'on établisse entre les variables des fonctions en „question un certain nombre de relations algébriques}'
Le nombre de ces relations ne dépend nullement du nombre des fonctions, mais seulement de la nature des fonctions particulières qu'on considère. Ainsi, par exemple, pour une fonction elliptique ce nombre est 1; pour une fonction dont la dérivée ne contient d'autres irrationnalités qu'un radical du second degré, sous lequel la variable ne passe pas le cinquième ou sixième degré, le nombre des relations nécessaires est 2, et ainsi de suite.
Le même théorème subsiste encore lorsqu'on suppose les fonctions multipliées par des nombres rationnels quelconques positifs ou négatifs.
On en déduit encore le théorème suivant:
„0n peut toujours exprimer la somme d'un nombre donné de fonctions, „qui sont multipliées chacune par un nombre rationnel, et dont les variables „sont arbitraires, par une somme semblable en nombre déterminé de fonctions, „dont les variables sont des fonctions algébriques des variables des fonctions „données."
A la fin du mémoire on donne l'application de la théorie à une classe particulière de fonctions, savoir, à celles qui sont exprimées comme intégrales de fonnules différentielles, qui ne contiennent d'autres in'ationnalités qu'un radical quelconque.
Soit
(1) ^=p^'\'Piy+Piy^A hPn-iy""'+y"=xi/
une équation algébrique quelconque, dont tous les coefficients sont des fonc-
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tions rationnelles et entières d'une même quantité variable x. Cette équation, supposée irréductible, donne pour la fonction y un nombre n de formas différentes; nous les désignerons par y\ y" ... y^''\ en conservant la lettre y pour indiquer Tune quelconque d'entre elles.
Soit de même
(2) Oy=qo-]- qiv + q.y^ 4 + qn-iy""'
une fonction rationnelle entière de y et ic, en sorte que les coefficients q^^ ?i 7 32 • • • ?«-i 1 soient des fonctions entières de x. Un certain nombre des coefficients des diverses puissances de x dans ces fonctions seront supposés indéterminés; nous les désignerons par a, a', a", etc.
Cela posé, si Ton met dans la fonction dy^ au lieu de y, successivement y\ y'^ . . . y^''\ et si Ton désigne par r le produit de toutes les fonctions ainsi fonnées, c'est-à-dire si l'on fait
(3) T^Oy'.ey" ....Oy<'\
la quantité r sera, comme on sait par la théorie des équations algébriques, une fonction rationnelle et entière de x et des quantités a, a\ a'\ etc.
Supposons que l'on ait
(4) r = F^x.Fx,
F^x et Fx étant deux fonctions entières de ce, dont la première, F^x^ est indépendante des qxiantités a^ a', a", etc.; et soit
(5) Fx = 0.
Cette équation, dont les coefficients sont des fonctions rationnelles des quantités a, a\ a'\ etc., donnera x en fonction de ces quantités, et on aura, pour cette fonction, autant de formes que l'équation Fx = 0 a de racines. Désignons ces racines par x^^ ^a • • • a:^^? et par x^ l'une quelconque d'entre elles.
L'équation Fx :zi=: 0, que nous venons de fonner, entraîne nécessairement la suivante ?' = 0, et celle-ci en amène une autre de la fonne
(6) dy = 0.
En mettant dans cette dernière, au lieu de x, successivement x.i, x^ . . . x^,,
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et désignant les valeurs coiTespondantes de y par //, , y* . . . y^t , on aura les fv équations suivantes:
(7) ey, --- 0, êy, = 0 . . . . Oy^ .-. 0.
Cela posé, je dis que si l'on désigne par f{x^ y) une fonction quelconque rationnelle de x et ?/, et si Ton fait
(8) dv =/(;r, , y,)Jx, +/(x, j»y,)dx, -\ \-J{x^, , //J^^, j
la différentielle dv sera une fonction raiionnelle des quantités a, a\ a" y etc.
En effet/ en combinant les équations ûy = 0 et ;f?/=:0, on en peut tirer la valeur de ?/, exprimée en fonction rationnelle de x et des quantités fij etc.; en désignant cette fonction par p, on aura donc
(9) y = (f et f{x, y) =f{x, p) .
Mais en différentiant l'équation Fxt=i()^ on aura
F'x.dx-\~âFx^O^
en désignant, pour abréger, par F'x la dérivée de Fx par rapport à x seul, et par SFx la différentielle de la même fonction par ra])port aux quantités a, r//, a^\ etc. De là cm tire
, ÔF.r
(10) dx:= — j,r^',
et par conséq'uent
(11) /(x, y)dx =r: - .-^^^;)- ,îi.^x = Cp.X,
OÙ il est clair que (p^x est une fonction rationnelle de ar, a, a\ a/\ etc. Au moyen de cette expression de la différentielle /(.r, y)dxj la valeur de dv deviendra
dv ^= (f^Xi -\- (f^x^ -^ • • • • -\-(piX^,. Or, le second membre de cette équaticm est une fonction rationnelle des
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quantités a, a', a/ . . . a^j, iCg . . . x^, et en outre symétrique par rapport à cci, a?a . . . a?^; donc dv peut s'exprimer par une fonction rationnelle de a, a\ a" . . . et des coefficients de Téquation jPx- = 0; mais ces coefficients sont eux-mêmes des fonctions raiionnelles de a, a\ etc.; donc dv le sera de même, comme on vient de le dire.
Si maintenant dv est une fonction différentielle rationnelle des quantités a, a' a" . . . son intégrale ou la quantité v sera une fonction algébrique et logarithmique de a, a\ a^ . . . , L'équation (8) donnera donc, en intégrant entre certaines limites des quantités a, a\ a" . . .
(12) ff{x, , y,)dx, -{-ff{x, , y,)dx, -| {-ffi^-^ . y,.)dx^ = 'S
ou bien, en faisant
(13) //C^i » yO^^i = «/^i^i ; //(^2 7 y«)^^« = v^a^^î? • . • //(^^. .y^)^^// = f^^,* 7
(14) y/ia:, -|- i//,ir, -[- 1/^3X3 -| 1- ip^x^ = V.
Voilà la propriété générale des fonctions ^iXj, ^^x^y etc., que nous avons énoncée au commencement de ce mémoire.
Les fonnes des fonctions ipiX^^ y^^x^j etc., dépendent, en vertu des équations (13)^ de celles des fonctions î/j, y^ . . . y^. Ces dernières ne peuvent être choisies arbitrairement pamii celles qui satisfont à l'équation /y=0; elles doivent en outre satisfaire aux équations (7); mais comme on a plusieurs variables indépendantes, a, a\ a" ... il est clair qu'on peut établir entre les formes des fonctions ?yi , ^j, . . . 7/^. , un nombre de relations égal à celui de ces variables. On peut donc choisir aAitrairement les formes d'un certain nombre de fonctions y^ , y^ . . . y^\ mais alors celles des autres fonctions dépendront, en vertu des équations (7), de celles-ci et de la grandeur des quantités a, a', ... . Il se peut donc que la quantité constante d'intégration contenue dans la fonction v change de valeur pour des valeurs différentes des quantités a, a\ a'' ... ; mais par la nature de cette quantité, elle doit rester la même pour des valeurs de a, a', a" . . . contenues entre certaines limites.
Les fonctions x^^ x^ . . , x^,j sont détenninées par l'équation Fx = 0'^
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cette équation dépend de la forme de la fonction Oy\ mais comme on peut varier celle-ci d'une infinité de manières, il s'ensuit que l'équation (14) est susceptible d'une infinité de formes différentes pour la même espèce de fonctions. Les fonctions x^^ ^^ • • • ^^ , ont encore cela de très-remarquable que les mêmes valeurs répondent à une infinité de fonctions différentes. En effet la forme de la fonction f(x^ y)j de laquelle ces quantités sont entièrement indépendantes, est assujettie à la seule condition d'être une fonction rationnelle de X et y.
Nous avons montré dans ce qui précède conmient on peut toujours former la différentielle ratioimelle dv^ mais comme la méthode indiquée sera en général très-longue, et pour des fonctions un peu composées, presque impraticable, je vais en donner une autre, par laquelle on obtiendra immédiatement l'expression de la fonction r dans tous les cas possibles.
On a par l'équation (3)
r = ey\ey" . . . dy^''^
donc, en dîfférentiant par rapport aux quantités a, a\ a'\ etc., on obtiendra
^^ = k '^^v'+ ~. ^ey + • • • + «>7 ^^y""' ;
or, on a Oy=^Oy donc le second membre de l'éciuation précédente se réduira à ^- ^^^y^ et l'on aura par conséquent
On •'
Maintenant on a
r=^FQX.Fx^
où FqX est indépendante de a, a', a", etc.; donc, en dîfférentiant, on obtiendra
MÉMOIRE SITK UNE PROPRIÉTÉ GÉNÉRALE etc. 151
et, par conséquent, en substituant et divisant par FqX^ on trouvera
t\x . By
Par là, la valeur de
, ôFx
deviendra
^""^-T^hF-Ay^^y^
et en multipliant par f(x^ y)
f{x, y)dx=- y^^ f{x, y) -r- dey.
En remarquant maintenant que -^: s'évanouît, car autrement on au-
rait ^^*^ = y, il est clair que l'expression de f(jc^y)dx peut s'écrire comme il suit:
/(ic, y) dx = -^.- \fi-^y')wô6y' J^fi:x,yyf^„-Sey^Jr ' ' ' +/(-,/"%;i.<^%^"^| •
Pour abréger, nous désignerons dans la suite par ^F^y toute fonction de la forme
Fy-}-F,y"+Fy"-i- . . . +Fy->; et par là la valeur précédente de f{x^y)dx deviendra
(15) f{x, y)dx = - -^r^-^ J:f(x, y) -^. ^yOy.
Cela posé, soit xy 1^ dérivée de XV prise par rapport à y seul, le produit fi^'i'lDx'y s^r^ ^^^ fonction rationnelle de x et y. On peut donc faire
où P et Pi sont deux fonctions entières de ic et y. IVIais si l'on désigne par T le produit Py'.Py'' . . . P^^"^ on aura
152 MKMOIRK SUll UN£ PROPRIÉTÉ OÉNÉRALË otc.
Py ~ T ^^'J Fy '
or
p. peut toujours s'exprimer par une fonction entière de x et ^, et T par une fonction entière de x^ donc on aura
-Py — f
où T", est une fonctioiK entière de x et y ; mais toute fonction entière de X Qt y peut se mettre sous la fonne
OÙ ^0 7 ^1 . . . tn-ij sont des fonctions entières de x seul. On peut donc supposer
f^x étant une fonction entière de x sans y. De là on tire
En substituant maintenant cette valeur de ^(i^, ij) dans l'expression de y(x, \j) dx trouvée plus haut, il viendra
^ ^ M -Xi/ box.h'ji.ttJ-.- xy % ''
Dans le second membre de cette équation la quantité f^ {x^ y) - est une fonction entière par rapport à a; et y; on peut donc supposer
/i(^, y)'^âey^-.E<^>yJrIi-c-r~\
oh R^^^y est une fonction entière de x et y^ dans laquelle les puissances de y ne montent qu'au {n — 2)' degré; Rx étant une fonction entière de X sans y. On aura donc
