ryeyr^^^-'-i-jRx
ty ^y "^ xy ' xy
MEMOIRE SUR UNE PROPRIETE GÉNÉRALE etc. 153
Or, on a
xY={y"-y'){y''-y"') • • • (z/"-/"0, etc.;
donc, d'après des formules connues,
Par conséquent
(19) 2:-^'^A'^^^-âey = Bx.
^ ^ xy ^y "^
La fonction 2 --^— -^-dOy peut donc s'exprimer par une fonction entière
de X seul sans y. Les quantités a, a', a" etc. d'ailleurs y entrent rationnellement.
Par là l'équation (18) donnera
En mettant dans cette équation au lieu de x successivement x^^ x^ . . . x^^ on obtiendra fx équations qui, ajoutées ensemble, donneront la suivante:
f^xi, FqXy, F'xx ffXi. Fqx^, F'x2 fi^^iA* F^Q^fi^ F'x^
Si donc on désigne par ^F^x une somme de la forme .
l'expression de dv pouiTa s'écrire comme il suit:
(22) dv=-:S:. #%--•
Cela posé, soient
(23) { Ax = (x-(i,Y'(x-p,)" . . . (a;-/9„)-«^,
Rx={x — ft,)"' {x—Zi,)"' ... (a; — (i^y-B^x,
154 MÉMOIRE SUR UNE PROPRIÉTÉ GÉNÉRALE etc.
/?!, 1^2 • ' ' l^aj étant des quantités indépendantes de a, a\ a'' etc.; ^1 , fi^ , . . m^^ 1712 ... Jcij fcjj , etc. , étant des nombres entiers, zéro y compris; et R^^x étant une fonction entière de x.
En substituant ces valeurs de FqX^ f^x^ lix dans l'expression de dv^ elle deviendra
dv = — 2 '
OU bien en faisant, poui' abréger,
(24) ,«1 -|- Wi — fci = »'n fii-\-mi — ki=^yi,... fi„ -f" ^"-a — K = »'« »
(25) A{x — (i,)"' {x — /?,)"• ... (x -/?„)"« = d,a; : Maintenant on peut toujours supposer
où i?2^ ®* ^3^ sont deux fonctions entières de x^ le degré de la dernière étant plus petit que celui de la fonction O^x'^ en substituant, il viendra donc
(27) dv =
F'x SiX.Tx
R2X La fonction — -2" -71/- peut se trouver de la manière suivante.
Puisque Xi, x^ . . . x^ sont les racines de Téquation Fx = Oj on aura, en désignant par a une quantité indéterminée quelconque,
c'est-à-dire
^ ^ ra a — x r x
d'où l'on tire, en développant - — suivant les puissances descendantes de a,
MÉMOIRE SUR UNE PROPRIKTlf: GÉNÉlt^LË etc. 155
d'oii il suit que ^-r^y- est égal au coefficient de -~-^^ dans le développe-
ment de la fonction »-? ou, ce qui revient au même, à celui de — dans
a" Fa
sances descendantes de x^ on aura
le développement de ^— • En désignant donc par TTF^x le coefficient de dans le développement d'une fonction quelconque F^x^ suivant les puis-
F'x Fx
De là il suit que
Fiœ j- Fix
en désignant par F^x ime fonction quelconque entière de x. On aura donc, en mettant R^x^
F'x Fx
mais ayant
R^x R^*v I R<iX
r êxx\ Fx ^^ T^x. Fx ' Fx
on aura aussi
8iX,Fx SiX.Fx ' Fx
Or, le degré de R^x étant moindre que celui de OiX^ il est clair qu'on aura
8ix . Fx '
^ R^jc j^j Rix^
^ F'x ~^ 6,x .Fx'
156 MÉMOIRE SUR UNE PROPRIÉTÉ GENERALE etc.
Le second terme du second membre de l'équation (27), savoir la quantîté JS ,i7-''f se trouve comme il suit:
Soit
\ r.7^—RA^\ ' ' ' ~T f^r-
. .A^!^ J..___^^^^ -i- . . . 4— ^l' - 4- etc •
ou bien, pour abréger,
on aura
où
(x—(iyRiX
pour x = (3] c'est-à-dire
r(H- i)iÏ3i^
en désignant par d/*'^a; la v* dérivée de la fonction O^x par rapport à x^ et par /"(r-f-l) le produit 1. 2. 3 ... (v — l).r.
En substituant ces valeurs des quantités A^^ A^ . . . Ay^ il viendra
Maintenant on a, en désignant par q^ ♦
1 dq 1 1 <^^î 1 1 ^''~^^ .
donc l'expression de -^ - peut s'écrire comme il suit:
MÉMOIRE SUR UNE PROPRIÉTÉ GÉNÉRALE etc. 157
( d^-^p .v—ld'--^pdq
/2s.r^, 1 ) dfy-i^-^ r"djy-^ dif
