rf//'-» rf/^* ' ' -''rf/ï
#..r Tv \ Çy l) {v - 2) d--y d^q d'-^q
Or la quantité entre les accolades est égale à jA-i ' donc
d'où l'on tirera, en substituant les valeurs de p et qj et renianjuant que
En substituant cette expression au lieu de ^^^- dans la fonction JS*- -^-^-j il viendra
^ > 'e^x . F'x ~~ F'.T d^ "-1 ) diC^li . (x—li) ( '
^ ' e.x.F'x dii^'-^ I d/>')/!^ ^ lx—p)F'x
Or, comme nous avons vu plus haut (28),
donc
(x — jî)F'x~ F fi '
R^x , d^-^ S R^ft
e^x . F'x dfi >'-i f 8^(^)1^ .Ffir
mais l'équation
Rix j^ I Rzx
uix ' wi.r
donne, si l'on multiplie les deux membres par (x — (iy, et qu'on fasse ensuite ir = /î,
158 MÉMOIRE SUR UNE PROPRIÉTÉ GENERALE etc.
donc, en substitnant,
Ayant ainsi trouvé les valeurs de ^ ~Jr- Gt -2*71 — ^^77? Téquation (27) donnera, pour la différentielle dv^ l'expression suivante,
(33) dv = -n -^l- + V',, .fp' j . f •^^,^^ ! ,
ou bien
Maintenant on a (19)
xy Oy ^ ■ t'y %
et (23)
R,x = Rx.{x- (S,)-"' {x - /9,)-*' ... (a- — /?„)-*« ;
donc en faisant, pour abréger,
= (x — p^Y'-"' {x — /îj,)"'-*' . . .{x — /?„)''•'-*« == -F;a- :
K,x = F,x.Fx.:S-f'^'^'-'^^p-,
xy %
et en substituant cette valeur de li^x dans l'expression précédente de r//;, on obtiendra
(36) dv=-n^^'-^f^i':É.'ly.j^^'r f^AJ^-J^^^^'p^
Sous cette forme la valeur de dv est immédiatement intégrable, car F^x^ ûiX^ fi{Xj y) et /'y sont toutes indépendantes des quantités a, a/, a'' . . ., auxquelles la différentiation se rapporte. On aura donc, en intégrant, pour V rexpression suivante:
MÉMOIRE SUR UNE PROP'RIÉïÉ GÉNÉRALE etc. ' - 159
(37) v = C- /zl^-^-^/i^-^'-^hog <9y+^V-f7, L^:r :^^^'^v'-^-^ log ey
OU bien en faisant, pour abréger,
et remarquant que d'après (23), (24), (25) et (85),
(39) v = C-n<px^2'v ^Ç^ ;
voilà l'expression de la fonction v dans tous les cas possibles. Elle contient, comme on le voit, en général, des fonctions logarithmiques; mais dans des cas particuliers elle peut aussi devenir seulement algébrique et même constante.
En substituant cette valeur au lieu de v dans la formule (14), il viendra
(40) xp,x, + ipix, H 1- xp^x^ =G— riipx + ^ V -{^Jl- ^
ou bien pour abréger:
(41) 2:^px = C~rj<px-\- 2 y '^'^lorsqu'on fait
(42) V^i^i + '/'^^aH ['ip,,x^, = 2:ipx et -2" = -T.
Nous avons supposé dans ce qui précède que la fonction r aurait pour facteur la fonction
F,x = {x-(i,Y^(:x-ft,Y^ . . . (x-/g^«.
Sinon tous les exposants ^aj, //^ . . . ,"« ^^^^ égaux à zéro, il en résultera
160 MEMOIRE SUR UNE PROPRIETE GENERALE otc.
nécessairement certaines relations entre les coefficients des fonctions g^o? îm î« • • • în^i 1 relations qui peuvent toujours s'exprimer par des équations linéaires entre ces coefficients; car si r = 0 pour x=:(3^ il faut aussi qu'on ait une équation de la forme 0y = O pour la même valeur de ic; mais cette équation est linéaire. En général donc la fonction r n'aura pas de facteur comme FqXj c'est-à-dire indépendant des quantités a, a\ a" . . . . Ce cas mérite d'être remarqué:
Ayant (19)
on aura en général, si Fç^x =1, fc^ = fcg = fcj = • • • = fc^ = 0 (on peut faire la même supposition dans tous les cas); on aura donc en vertu de (35) et (25)
Jp^xzzrl, e^Xz=F^X.fiXz=f^X^
la valeur (38) de ip^x deviendra donc (en remarquant que v^:=^'in^^ y^z=im^^ etc., et désignant v par m)
(p,x= . 4-- 2: i^^^ log ey,
et par conséquent la fommle (41) (en désignant par B la valeur de y pour
Pour le cas particulier où f^x=^(x — /?)*", on aura //""^/î^z 1 .2 . . . ?/i, donc en substituant
