A '^'"'l- 1 ^ l^iP' ^J loff 0B
Si m = 1 , il vient
^ ' J (•»•— (^)zy (^—(i)xy ^ -f^ xB ^
et si m=0,
M£M0IKE SUR UNE PROPRIETE GÉNÉRALE etc. 161
(46) V f.M'hj/y^. = C- ^rr-f'^V ^) log dy.
Dans la formule (43), le second membre est en général une fonction des quantités a, a\ a'\ etc. Si on le suppose égal à une constante, il en résultera donc en général certaines relations enti'e ces quantités; mais il y a aussi certains cas pour lesquels le second membre se réduit à une constante, quelles que soient d'ailleurs les valeurs des quantités a, a a", etc. Cherchons ces cas:
D'abord il est évident que Wi fonction f^x doit être constante, car dans le cas contraire le second membre contiendrait nécessairement les quantités a, a', a" . . ., vu les valeurs arbitraires de ces quantités.
En faisant donc f^x=:^\^ il viendra
^ [M^'Â dx = c- :sn^,^ log ey.
J xy xy ^ ''
Or, en observant que ces quantités a, a\ a", . . . sont toutes arbîtraii'es, il est clair qtie la fonction ^^^\L£2 log dy^ développée suivant les puissances descendantes de x^ am*a la forme suivante:
li étant une fonction de x indépendante de a^ a\ a'\ etc., /.Cq un nombre entier, et Aq^ A^^ ... -4^^, ^^,+17 etc., des fonctions de a, a', a'', etc.; donc pour que la fonction dont il s'agit soit constante, il faut que Uq soit moindre que — 1 ; et par conséquent la plus grande valeur de ce nombre est — 2.
Cela posé, en désignant par le symbole kR le plus haut exposant de X dans le développement d'une fonction quelconque E de cette quantité, suivant les puissances descendantes, il est clair que /Hq sera égal au nombre entier le plus grand contenu dans les nombres:
fl ,—, > fl 7—77 j • • ' fl . . . ,
xY xY xY""^ '
il faut donc que tous ces nombres soient inférieurs à l'unité prise négativement.
Or, si -jy est une fonction de a:, on aura, comme il est aisé de le
Ml
Voir,
162 MEMOIRK- SUR UNE PROPRIETE GENERALE etc.
Kl
par conséquent
(47) hf,{x,y')<hx'i}'-\, hf,{x,y")<hy:f -\,
De ces inégalités on déduira facileniei\t dans chaque cas particulier la fonne la plus générale de la fonction fi(x^ y).
Comme on a
x'y' = {y' -y"){y' -y"') - ■ - {>/ -y'") x'y" = {y"-y'){y"-y"') • • • {y''-y'% etc.,
il s'ensuit que
^ r hxY = h(y"-y')-\-h{y"-y"')-^"-+Hy''-y<"%et^. Supposons, ce qui est permis, que Ton ait
(49) ky'^hy", ky" :^ky"', hy"'-^ky"", . . . %^-"^%^-^
de sorte que les quantités hy\ hy'\ ^y"\ • . . suivent l'ordre de leurs grandeurs en commençant par la plus grande. Alors on aura, en général, excepté quelques cas particuliers que je me dispense de considérer:
h{y'-y")=hy', h{y' -y"') = hy' , h{y' ~y"") = hy'
. ..k{y' — y<''>) = ky\
Hy''-y')=h\ Ky"-y"')=h% Ky'-y'n^h"
(50) { ...h{y"-y<'>) = ky'',
Hy"'-y')=h\ Hy"'-y")=h% Hy"'-y"")=h"'
...Hy"'-y<''>) = ky"\ Si ces équations ont lieu, on se convaincra sans peine, en supposant
(51) M-»=,y) = to-\-t,y-]-t,y*-\ \-tn-iy'-\
que les inégalités (47) entraînent nécessairement les suivantes: (52) hit„y"')<hx'y'~h k{t^y"'')<:hxy-l,
hM"n<H'y"'-y. •••
la étant l'un quelconque des nombres 0, 1, 2, . . . /^ — 1.
HKHOIRE 8UB UNE PR0PRI{;TË GÉNÉRALE etc. 163
. D'oh l'on tire, en remarqnant que
les inégalités
àf„<hxy - inhy' — 1, ht„<:kxY — mhy" - 1,
. . . A<„< /i;c',yf"^ — m%f"J — 1 .
Or, au moyen des équations (48) et (50), on aura
hx'y' — mhy' — 1=(tc — m — 1)%' — 1,
hxY — mhy" — l=(n w — 2)%"+%' — 1,
hx'y'"— mhy'" —\=i{n — m — 2i)hy"'^hy'-\-hj" — \, etc.,
hx'y^'-"' — mkyf'-'i — l=hy' -^-hy" -\ {-hy'"-"-'' — 1, ■
hx'y^"-"*^^ — mhy<'-''*'> — 1 = — Aî/^"-"+" + hy' + hy" -\ 1- A^^"— >— 1 ,
etc.,
En remarquant donc que les quantités hy', hy" ^ . . . suivent l'ordre de leurs grandeurs, il est clair que le plus petit des nombres
hx'y' — mhy' —l, hx'y" — mhy" —\, etc., hx'y^"^ — mht/"^ —\ est ésral à
'ft'
Donc la plus grande valeur de ht^ est égale au nombre entier immédiatement inférieur à cette quantité, et on aura
(53) ht^ = hrj' -{-hy" -\ ^ /^^ f--y 2 + «
OÙ ^n-«-i 6st le nombre positif moindre que l'unité qui rend possible cette équation.
Cela posé, soit hy' =^ , i m' et /t' étant deux nombres entiers et la
fraction --y- réduite à sa plus simple expression, alors il faudra que Ton ait
hy' = hy" = hy"'= • • • =%^"> = ^,
164 MÉMOIRE SUR UNE PROPRIÉTÉ GÉNÉRALE etc.
Car si une équation de la fonne /?/ = 0 est satisfaite par une fonction de la forme
y=zAx^'-^ etc., cette même équation est aussi satisfaite par les /te' valeurs de y qu'on obtiendra en mettant au lieu de x^',
1 , «1 , «j , ... a^,i étant les /tt' racines de Téquation a^*' — 1 = 0.
Parmi les quantités hy\ Jiy'\ . . . hy^''^ il y en a donc /// qui sont égales entre elles. De même le nombre total des exposants qui sont égaux à une fraction réduite doit être un multiple du dénominateur.
On peut donc supposer
hy = hy" =...z=v*'^=-^;,
hy ('■+'> = ht/'-'» = . • • =hy<'->="Ç,
où
les fractions y ? -^ > ... - ~- sont réduites à leur plus simple expression ,
f.1 fX (X^^^ ^ JT JT 7
et n\ n" ^ n''\ . . . n^'^ sont des nombres entiers.
Supposons maintenant dans l'expression de ht^^ que vi=n — k^^^ — /'? — 1, /î étant un nombre moindre que fc^"^^^ — fc^"^, c'est-à-ilire moindre que ^^r«+i;,^/«+i;^ il viendra alors
MÉMOIRE SUR UNE PROPRIÉTÉ GÉNÉRALE etc. ICÔ
htj' -f hf -\ {-hl/"'^
-f-etc.
or, les équations (54) et (55) donnent
^2/' + %"+ ■ • • -{-h,/''> = k'^ = n'vi\
etc.,
donc, en substituant
1 n'm'-{-n''m''-\-n"W'^ [- nC^ m<''^
(56) ht =} i 3!^A..^ 2.
Quant à la valeur de f,(«; , ^, U ^st clair qu'en faisant
cette quantité -4^'"^'^ sera le plus petit nombre entier positif, qui rend le nombre /îw^""*"'^-!--^?^^^ divisible par a^'"'*'*^; on aura donc
En faisant dans cette équation a = 0, il viendra
ht — g I ^^' + ^V.
donc si -^ — 4--— <C2, ^^n-/?-i ®st négatif, et par conséquent il faut faire f^^j = 0; car, pour toute fonction entière f, A< est nécessairement positif, zéro y compris. Or, en faisant /? = 0 , on a toujours — — —- — ^ <[ 2 ; donc
106 MÉMOIRE SUR UNE PROPRIETE GÉNÉRALE etc.
tn-i est toujours égal à zéro, c'est-à-dire que la fonction /^{x, y) doit être de la forme
(58) Mx, y) = f,-^t,y-^f,y»-^ . . . + /„.^,^ y »-/»'-!,
OÙ /?', étant plus grand que zéro, est déterminé par l'équation
d'où il suit que /?' est égal au plus grand nombre entier contenu dans la fraction -, +1.
Une fonction telle que fi{x^ y) existe donc toujoui^s à moins que (3' ne surpasse n — 1. Pour que cela puisse avoir lieu, il faut que
oîi € est une quantité positive, zéro y compris; de là il suit
Or, la plus grande valeur de fi^ est n, donc cette équation donne
ou
fl' M
Or, je dis que dans ces deux cas l'intégrale (/{x^ y) dx peut s'exprimer au moyen de fonctions algébriques et logarithmiques. En effet, pour que
— ,-î qui est le plus grand des exposants hy\ hy'\ ... A?/^"^ ait une des
deux valeurs =-? — ? il faut que l'équation /?/ = 0, qui donne la fonction y, ne contienne la variable x que sous une forme linéaire. On aura donc
OÙ P et Ç sont des fonctions entières de y; de là il suit
P , PdQ—QdP
et
/(.,,)<fc^/(-|.„)-^^«-«''^=i^</,,
MËMOIRË SUR UNE PKOPKll^TK GENERALE etc. 167
oh il e^-t clair que li est une fonction rationnelle de y; par conséquent
l'intégrale 1 lidy^ et par suite I f(x^y)dx\ peut être exprimée au moyen
de fonctions logarithmiques et algébriques.
Excepté ce cas donc, la fonction f^{x^y) existe toujours; en la substituant dans l'équation (46), elle deviendi'a
(to + hy-\ h <,^.i y("-/»'-i)) dx
Un cas pailiculier de cette équation est le suivant:
oh h et m sont deux nombres entiers et positifs, tels que
et il est clair que cette formule peut remplacer la formule (59) dans toute sa généralité.
Puisque le degré de la fonction entière t„ est égal à A^„, cette même fonction contiendra un nombre de constantes arbitraires égal à Af„-(-.l. La fonction fi{x, y) en contiendra donc un nombre exprimé par
ou bien, comme il est aisé de le voir.
En désignant ce nombre par y^ on trouvera aisément, en vertu de l'équation qui donne la valeur générale de ht^j
y— \ A^'" , ur + Ay,'" ■ 2m"'+J/" ■ (m"V"— l)7n"' + ^'"n->--i
168 MÉMOIRE SUR UNE PROPRIÉTÉ GÉNÉRALE etc.
or, en remarquant que vi et ^i sont premiers entre eux, on sait par la théorie des nombres que la suite ^/, ^/, A^ ^ A^ . . . A\.^^.^^ contiendra n fois la suite des nombres naturels 0, 1, 2, 3, . . . fi — 1, donc
de même
etc.
En substituant ces valeufs et réduisant, la valeur de y deviendra
/ — «4-1 + f/ftV(ny—l) + -J «'(,«'— l)-l-4m''«" («>"—!)
i -1- n'm'n"}L" + (7i'/»'+ «"m" ) ra"'/i '"4- (n'm' + n"m" + «'"-/«'")«"",«.""
ou bien en remarquant que
n = n'fi' -|- n",»" -| \- n ''>fi('> ,
«' (m' -f- 1) n" (m " + 1) «'" (m'" -|- 1) »W(mW+l) .
Connue cas particuliers on doit remarquer les deux suivants 1. Lorsque
Dans ce cas é = 1 , et par conséquent
(63) v = nfi 2" — 2"'
Si en outre u^ = 7ij on aura ^'=1, et ((54) y = {H—l) = .
MEMOliiK SUR UNE PROPRIETE GENERALE etc. 169
2. Lorsque toutes les quantités 1i]j\ A?/", • • • A?/^"^ sont des nombres entiers. Alors on aura
et si Ton fait de plus
on aura é = /i, et par conséquent en substituant,
(65) ;^=(7l— l)7/l' + (7l — 2)'/Al" + (w— 3)7//"-|
c'est-à-dire, en remarquant que vi^ =:hy\ m" = hi/\ etc.
(66) Y = ('* — 1)%' + (^ — 2)A?/" +(n — S)hy''' -|
Dans le cas où tous les nombres /*?/', hy'\ ... ky^''~^^ sont égaux entre eux, la valeur de y devieiidra
La fonnule (59) a généralement lieu pour des valeurs quelconques des quantités a, a', a", . . . toutes les fois que la fonction r n'a pas un facteur de la fonne FqX] mais dans ce cas elle a encore lieu, sinon FqX et
-jT-p-^^ s'évanouissent pour une même valeur de x. Aloi-s la formule dont-
il s'agit cesse d'avoir lieu, et on aura au lieu d'elle la formule (40), qui deviendra, en faisant f^x=:l^
c'est-à-dire, en remarquant que
m ^fI>teêii^a+^.J^^^^^f,^,B].
Maintenant on a (19)
170 MEMOIRE SUR UNE PROPRIETE GENERALE etc.
d'où il suit que si -—^^^ conserve une valeur finie pour x = i'ii^ la fonction entière Mx aura (x — /?i)^' pour facteur, donc
ki=jj,^ et yi = f^i — ^1 = 0.
Par là on voit que, dans le second membre de Téquation précédente, tous les tenues relatifs à des valeurs de /9, qui ne rendent point infinie la valeur de —-fk — y s'évanouiront; par conséquent ledit nombre se réduit à
une constante, si FqX n'a pas de facteur connnun avec ^— t •
Reprenons maintenant la fonnule générale (14), et considérons les /onctions Xi, iCa, iCj, . . . x^. Ces quantités sont données, par l'équation Fx = 0^ en fonctions des quantités indépendantes o, a\ a", etc.; soient
Xi =ij^\a^ a ^ a ,...); x^ =j^(a^ a ^ a ,.,.); . , . x^ =j^\^a^ a , a ,...).
Si maintenant on désigne par a le nombre des quantités a, a\ a", , . . on peut en général tirer de ces équations les valeurs de o, à', a'', . . . en fonctions d'un nombre a des quantités Xj , x^ . . . x^] par exemple, en fonctions de Xij x^^ . , . x^. En substituant les valeurs de or, a', a", . . . ainsi détenninées, dans les expressions de a^«+i, a^a+a? • • • ^^o ^^^ dernières quantités deviendront des fonctions de x^^ x^^ . . . x^\ et alors celles-ci seront indétenninées. La fonimle (14) deviendra donc
oh iCi, ifg, ... x^ sont des quantités quelconques, ic„+i, ic„+g, . . . x^ des fonctions algébriques de x^, x^, . . , x„, et o une fonction algébrique et logarithmique des mêmes quantités.
Les quantités a, a\ a", . . . et x^^^^ ^^«+8? • • • ^^u ^^ trouvent de la manière suivante. Les équations (7) donnent les suivantes:
(71) %i = o, ey,=o, ...etj^ = o,
qui toutes sont linéaires par rapport aux quantités a, a', a", .... Elles donneront donc ces quantités en fonctions rationnelles de x^^y^'j ^2? y»; •^sj^sî
MEMOIRE SUR UNE PROPRIÉTÉ GÉNÉRALE etc. 171
• • • ^«î^/a- Maintenant si l'on substitue ces fonctions au lieu de a^ a\ a" ^ . , , dans réquation Fx-=.Q^ la fonction Fx deviendra divisible par le produit
(x — .Tj) {x — a^g) . . . (ic — x^ ; car on a
Fx-=iB{x — x^){x—x^ . . . {x — x^{x — x^^^ . . . {x — x^.
En désignant donc le quotient -7-. \i S T. — T^ P^^' F^^^x^ Fé-
quation
sera du degré ,u — a, et aura pour racines les quantités x„+i, ...x^. Quant aux coefficients de cette équation, il est aisé de voir qu'ils seront des fonctions rationnelles des quantités
De cette manière donc les // — a quantités a;^^i , • • • ^^^ sont détenninées en fonctions de^ x^^ x^^ . . . x^ par une même équation du (/t — a)* degré.
Les équations (71) sont en général en nombre suffisant pour détenïiiner les a quantités a, a\ a", . . ., mais il y a un cas où plusieurs d'entre elles deviendront identiques. C'est ce qui arrive lorsqu'on a à la fois
^1=^2= ••• =«;,.; y^=y^= ... =1/,'^ car alors
Oy, = 0!h= • • • =%.
Or dans ce cas on aura, d'après les principes du calcul différentiel, au lieu des k équations identiques,
les suivantes
qui, jointes aux équations
Oyu+i = 0 , ... 6y„ = 0,
détennineront les valeurs de a^ a'^ . . . a^'^'^K
La formule (70) montre qu'on peut exprimer une sonnne quelconque de la forme
172 MÉMOIRE SUR UNE PROPRIETE GENERALE etc.
par une fonction connue v et une sonnne semblable d'autres fonctions; en effet elle donnera
Dans cette formule le nombre des fonctions i/^«+i^a+i7 V^a+2^a+2 5 • • • V'/*^/* est très-remarquable. Plus il est petit, plus la formule est simple. Nous allons, dans ce qui suit, chercher la moindre valeur dont ce nombre, qui est exprimé par /i — a , est susceptible.
Si la fonction F^x se réduit à Funité, tous les coefficients dans les fonctions g^o? (Zi? ?«? • • • ?n-i seront arbitraires; dans ce cas donc on aura (en remarquant que, d'après la forme des équations (71), un des coefficients dans les fonctions q^^ q^^ ... peut être pris à volonté sans nuire à la généralité),
Si FqX n'est pas égal à l'unité, il faut en général un nombre hF^x de conditions différentes pour que l'équation
FqX . Fx = r
soit satisfaite; mais la forme paiiîculière de la fonction y pourrait rendre moindre ce nombre de conditions nécessaires. Supposons donc qu'il soit égal à
(75) hF^x — A,
le nombre des quantités indétenninées a, a\ a", . . . deviendra
(7G) a = /^îo + '^îl + A?2^ \-hq,,-[^n—\—hF^x^ A]
maintenant on a
hr = ÎiFqX -j- hFx = hFffX -f- tt , donc
(77) ft = hr — hFoX^ et par conséquent
(78) ft—a = kr — {hq,-^hq,-\-hq,^ ^/,^J r/ -f 1 — 4.
MÉMOIRE SUR UNE PROPRIÉTÉ GÉNÉRALE etc. 178
Mais comme on a (3)
il est clair que
(79) hr = hey'-{-hey' -^ h^^^//^'^
donc
(80) ,i. — a = hey'^hey' -\ f-Ad?y^"^
Ayant maintenant (2)
on aura nécessairement, pour toutes les valeurs de ;;?,
où le signe > n'exclut pas Fégalité.
Donc en faisant
et remarquant que
on aura aussi
(81) k0y'>hq„-{'mky'] hOy'' >hq^-{-mky% . . . hey^''^>hq^-\'mhy^''K
Cela posé, désignons par n\ m\ j.i\ fc'; n'\ m'\ /t", fc"; etc. les mêmes choses que plus haut dans le numéro (5), et supposons que h[q^jj'^') soit la plus grande des n'fi' quantités
en sorte que
(82) hq^,-\-(f,ht/>hq„f,,-\-{n-ft-l)hy'.
En désignant, pour abréger, kq„ par /?w, et mettant — au lieu de hy\ il est clair que cette fonnule donne
(depuis /? = 0 , jusqu'à /9 = &' — 1) ,
oh A/ est un nombre positif moindre que l'unité, et é'^ un nombre entier positif, zéro y compris.
Soient de même
174 MEMOIRE SUR UNE PROPRIETE GENERALE etc.
(depuis ft = k', jusqu'à /? = fc " — 1 ) ,
(depuis ft = k'\ jusqu'à /? = fc"'— 1), etc.,
(depuis l3 = k<'"-'\ jusqu.'à /î = fc^"^— 1), etc.,
(depuis (i = k^^~^^^ jusqu'à I3 = n — 1).
A^'\ A^'\ , . . A^^^^ étaut des uombres positifs et moindres que l'unité, et f^'', €p'\ etc. des nombres entiers positifs, en y comprenant zéro.
Considérons Tune quelconque de ces équations, par exemple la (w — 1)'; en donnant à ft les it^""^ — /r/"'"'^ valeurs,
(m obtiendra un nombre A*/"*^ — /r/"*-'^ d'équations semblables; et en les ajoutant il viendra
I (2 w. k(''> — y^'-'^ — 1) {h<^^—hS^"'^) -^Ç^- + A,^-^ + A<-> + • • • + ^l:l)^,r.-i)^,
|/(„,l.fcf— •^)|/(„,2 jfcf--«) -|- . . .
Or
donc en substituant,
I (2??. — k^"^ — fc'^"-" — 1) n^-hn^"^
MÉMOIRE SUR UNE PKOPBIÉTÉ GÉNÉRALE etc. 175
Or, en remarquant que A^}""^ est le nombre, moindre que l'unité, qui, ajouté à [71 — ft — 1 — P«)— 7„;» rend cette quantité égale à un nombre entier, on voit sans peine que la suite
qui est composée de w^^'^/t^'"^ termes, contiendra tz^'"^ fois la suite des nombres
donc
En substituant cette valeur, et faisant pour abréger,
il viendra
i|(2 /i — fc^""^ — fc^"»-'^ — 1) /i^'-^m^"^
Maintenant on a, en désignant hOy^"^^ par ym,
(87) y (fc^'«-^^ + 1) = (p{k("'''^ + 2) = (/^Cfc^"*-^^ + 3) = . . . =(p{k<^>) ;
en remarquant que Ay^"'^ conserve la même valeur pour toutes les valeurs de m, de fc^™"^^-]-! à k^'^K Les inégalités (81) donneront donc
donc on aura, en vertu de l'équation précédente,
> i |/(rt A;f— y l)|/(„^(«'-»^2)-| p/(„A;f-)).
En faisant dans cette formule successivement /» = 1 , 2 , 3 , . , . , et puis ajoutant les équations qu'on obtiendra, il viendra
1 76 MÉMOIRE 8UK UNK PROPRIÉTÉ GÉNÉRALE etc.
<^(l) + (/>(2) + 9)(3)-| \-ip{n)
^ ^ i|.rt"W'(2w— fc'"— fc"— i)+i«"'(At"'— 1)+<^;
+ \ n''^m('^{2n — k<'> — y'-'>— 1) -{- ^ n"> {ft<'> — 1) -f C, .
En substituant les valeui-s des quantités k\ k", k'", . . . savoir, k' = n'^i'', Jk" = 7/.a' -!-<»"; k" ' = n' ^i' -\- n" ft." -\- n" ' fi" ' , etc., et pour n sa valeur (55)
on obtiendra
où l'on a fait pour abréger
De cette formule combinée avec Téquation (80), on déduira
(89) . ^,, a > J, ' ri -f 1 ^ ^ C\ + C; -I [- C,.
Or, je remarque que le nombre y^ — 7i-f-l est précisément égal à celui que nous avons désigné précédemment par y^ équation (62), donc
(90) fi — a>y — A-^C,-^C,-\ |-C;.
Cette Ibnnule nous montre que fi — a ne peut être moindre que y — -4, or je dis qu'il peut être précisément égal à ce nombre.
En effet c'est ce qui arrive lorsqu'on a
MÉH01K1-: SUK UNK PROPRIÉTÉ OÉMÉRALË etc. 177
yA;W=/p___|p,
et C, + C, + C3H hG, = 0;
or on peut démontrer de la manière suivante que ces équations pourront avoir lieu.
En se rappelant la valeur de C„j il est clair que l'équation (91) entraîne la suivante:
a<^> = 0 (depuis (i=*¥''-'^\ jusqu'à ft = ¥^^ — l)] donc en vertu des équations (83) et (84)
(92) /(„^i)=/^,„(„/î i pj.'^;;4w,
(depuis /î = fc("-'\ jusqu'à ^ = ¥"^—1).
Il s'agit maintenant de trouver la valeur de /(>„• Or l'équation (91) donne
fn 0*) ffi ("0
pour toutes les valeurs de m et de a.
De là on tire, en désignant pour abréger
(94) - -f„y par a, ,
(95) /?„ — /<»„ > (pa — e«) Om •
En faisant m^a — 1, et changeant ensuite a en m, de même que « en m — 1 , on obtiendra les deux formules
/ggN j /e« — /C»-l < (P™-! — Cm) <^«1 ,
Par là on voit que la différence entre la plus grande et la plus petite valeur de /(>»,— /c„i ne peut surpasser ((>,»i — (>«)((T„i — (T„). Par conséquent on doit avoir
oh 6^i est une quantité positive qui ne peut surpasser l'unité. Cette équation peut s'écrire comme il suit:
178 HEHOIUK 8UK UNE PKOPUIËTK GENKUALE etc.
De là on tire sans peine
Si /(>„ a cette valeur, il n'est pas difficile de voir que la coiiditiou
est satisfaite pour toute valeur de a et m, quelle que soit la valeur de /pi et celles des quantités ôj, ô^, • • • é?«i, pourvu qu'elles ne surpassent pas Tunité.
Connaissant ainsi la valeur de /p„, on aura celle de f(ii — /? — 1) par l'équation (92).
Après avoir de cette manière déteiminé les valeurs de toutes les quantités /(O), /(l), /(2), . . . f{n — 1), voyons à présent si elles satisfont en effet à l'équation (91)
Pour que cette équation ait lieu, il est nécessaire et il suffit que Péquation
(99) /Pm+P«^«>/« + «^«
soit satisfaite pour toutes les valeurs de a et m, 11 faut donc que
(100) p(^)=f^^-fa,J^{ff^-a,)a„>Q.
Soit a,) = 71 — (3 — 1, où (3 a une valeur quelconque comprise entre k^^"^^ et k^^^ — 1 inclusivement, l'équation (92) donnera
f^s=f(f3 — {(^ô — (fi)<ys — Af] et par conséquent
(101) p<J>=fff^-fygJ^(^ç^-a,)a„-\-{as-(f3)as-{-Af. En mettant 7/i -[- 1 au lieu de m, il viendra
On a par l'équation (97)
/Pm+l— /Pm= (P«— Pm+l) [^m^« + (1 " ^m)^«+l] ?
donc, en substituant et réduisant,
(102) p(f;,Pj''; = (a,,-[p„(l-<?„) + (,„^i(9„]j(0,-(T.^O;
MÉMOIRE SUR ONE PROPRIÉTÉ GÉNÉRALE etc. 179
or, en remarquant que a^ est compris entre n — 1 — k^^"^^ et n — k^^\ que p«(l — dm)-|-p«,+i^w l'^s* entre p„ et p„+i, c'est-à-dire entre n — k^"^"^^ — 1 et n — k^'^V^ il est clair que le second membre de cette équation sera toujours positif si m^ d-^1^ et toujours négatif si m ^ (^ — 2 .
De là il suit: V que P„+i+^>0 si P^+i>0; 2' que P,î^i«>0 si P,î i>0. Donc pour que Pj^^ soit positif pour toutes les valeurs de rw, il suffit qu'il le soit pour m = (y-|-l, â^ â — 1.
Or, en faisant dans l'équation (102) 77i = rJ', m^rT — 1, il viendra
Mais l'équation (101) donne pour m=-d^
donc Pjf^^ est toujours positif, et en substituant cette valeur, les deux équations précédentes donneront, en mettant (J -|- 1 au lieu de â dans la dernière,
Pt^> = [ff, - «,„, - e,{(}s-n^.)] (<T3-a,,0 + ^^''-
De ces équations on tire (en remarquant qu'on doit avoir pour P(%^.i et P^H^^^ des valeurs positives),
