Q > JA-^L ^ ^ = B
QS — QS-^1 ' (Çiî — ÇrUi)(^fT — ^^+i)
Maintenant ô^ est compris entre 0 et 1; par conséquent il faut que 7^^ ne surpasse pas l'unité, et que (7^ soit positif. Or c'est ce qui a toujours lieu. En effet on trouve
l£ ^s — çs+i I ^/^^ .
^ Qd — Ç(î+i ' (W — Ç^+i) (^^ — <^^+i) '
donc 1 — B^ est toujours positif en remarquant que.a^>p^+i; par conséquent Pj ne peut surpasser l'unité. De même p^>«^+i; donc Cj est toujours positif.
La condition
Pi*>0
180 MtMOIRt: SUR VUE PROPRIÉTÉ GÉNÉRALE etc.
est donc satisfîaite pour toute valeur de J et m; d'où résulte l'équation
On aura donc, comme on vient de le dire,
(104) fi—a = y — A^ qui est la moindre valeur que peut avoir fi — a.
Si l'on suppose que tous les coefficients dans les fonctions q^, (/,,... ç„i , soient des quantités indétenninées, alors FoX^l, et par suite ^4^=0; donc dans ce cas
(105) fi — a = y.
C'est ce qui a lieu généralement, car c'est seulement pour des fon<!tions d'une forme particulière que le nombre A a une valeur pliLs grande que zéro.
Dans ce qui précède nous avons supposé que tous les coefficients dans Ço) ?n • ■ • î,-!) étaient indétenninés, excepté ceux qui sont déterminés par la condition que r ait pour diviseur la fonction F^x. Dans ce cas on a toujours, comme nous l'avons suppcsé plus haut (87),
,f(t'— '+ l) = ,p(k<-'> + 2)= ■ ■ ■ =»(i'-') =/(.. + P.O., et par suite '
C'est la valeur de hr en général. Supposons maintenant que les quantités a, a\ a", ... ne soient pas toutes indéterminées, mais qu'un certain nombre d'elles soient déterminées par la condition que la valeur de hr soit de A' unités moindre que la valeur précédente. P^n général, nn nombre A' des quantités a, a', a", . . . sera déterminé par cette condition, et alors /* — o ne change pas de valeur; mais il est possible que, pour les fonctions d'une forme particulière, la condition dont il s'agit n'entraîne qu'un nombre moindre d'équations différentes entre a, a', a", . . . Soit donc ce nombre A' — jS, la valeur de fi — a deviendra
UEMOISE SUR UNK PROPKIKTÉ GENERALE etc. 181
Pour donner un exemple de Tapplication de la théorie précédente^ supposons que w=:13, en sorte que 7j soit déterminé par l'équation
f +Psy'-\rP9y'+Pioy''+Piy-\-2h2y''-\-y'\
et
Supposons que les degrés des fonctions entières
Po, Pi, P^> Pz, Px, P5, Pe, Pi,P%, P^, Pm Pn^Pii,
soient respectivement
D'abord, il faut chercher les valeurs de %', hif\ . . . hy^^^K Or, pour cela, il suffit de faire dans l'équation proposée,
et de déterminer ensuite A et w de manière que l'équation soit satisfaite pour On obtiendra l'équation
Pour y satisfaire il faut qu'un certain nombre des exposants soient égaux et en même temps plus gi'ands que les autres, et que la somme des termes correspondants soit égale à zéro.
Or on trouve qu'en faisant
1^ 13m == 10m -j- 4, d'oÙ7w=: ., ? les deux exposants 13 w, 10m-l~4,
seront les plus grands;
2*^ 10m-{-4 = 5m-{-5, d'oùm= y, 10^4-4, 5m-|-5;
3^ 5w + 5= m -{-3, d'oùm = — g-, 5tw-[--'5, m-|-3,
4^ 7w 4- 3 = 2, d'où w = — 1, m-|-3, 2.
On a donc
182 MÉMOIRE SUR UNE PROPRIÉTÉ GÉNÉRALE e(r.
donc
A = — yji\„ et fuj' = fn/" =hy"' = '"', =^ , «'=^1;
(!onc
^^ — j//^" et /, ij<*> = hf> = h/"' = ktj"> = h ?/''>—"'" = 1^-, b"=1;
jf^Ax~'% n^A^-\-Ji,A = 0, donc
ij=Ax-\ A^+A=o,
donc
A=-^ et hf'> = '^ = ~\, n""=\.
Ayant ainsi ti"ouvé les valeurs dea nombres m\ u', n', m", ju", n", m"\ /i'", n"\ m"", ,(*"", w""» on aui*a
fc' = n'(t':^3, fc":^n.'^('-j-M''^''^8, k'" = n'/i' -^-n" fi" -\- n"'fi"' = 12, fc"" ;=^ m'/i' -j- n"fi" -\- n"'fÂ."' -\- n""ii"" 7=1 13 -^z n.
Maintenant le nombre p, doit être compris entre n — 1 et n — k', p, entre n — k' — 1 et n — fc", etc.; donc on trouvera pour ces quantités, les valeurs suivantes :
Connaissant p,, p^, pj, p^, on aura A/, A/, A/", A/'" par l'équation (92"); ensuite tf , , ^j, tfj, Ô4 par les équations (103); /(»», /Ca, /d par l'équation (98); et enfin /(O), /(l), /(2), . . ./(12) par l'équation (92).
Ija valeur de y, qui est toujours la même, deviendra par l'équation (88) et la relation y^y' — « -|- 1 1
MÉMOIRE SUR UNE PROPRIÉTÉ GÉNÉRALE etc. 183
c'est-à-dire, en réduisant,
Pour pouvoir déterminer numériquement les valeurs de a et de //, supposons, par exemple,
Pi=ll, ^8 = 6, P3 = 4, p.i = 0.
Alors réquation (92) donnera les suivantes:
/(12)=/(11)-|- A', donc ^o' =|,'/(12)=./(ll)-2
/(lO) =f{\\) + 1 - A^, donc A^ =\, /(lO) =/(l 1) + 1
/(9) =/(6) -I- ^3", donc A," ==|, /(9) = /(6) -1
/(8) =/(6) -I- A", donc a: =|, /(8) = /(6) -1
•/(7) =/(6) -i- ^5", donc 4/ =4, /(7) = /(6) -1
/(5) =/(6) +i- A^ donc A{ =^, /(5) = /(6)
/(3) = /(4) - i - ^"', donc A^ = i , /(3) = /(4) - 1
/(2) = /(4) - 1 - A,r, donc ^,."' = 0 , /(2) = /(4) - 1 /(l) =/(4) -f-Ai'", donc^,"' = i, /(l) =/(4) -2.
Pour trouver maintenant ^(0), y (4), /(6), /(11), il faut chercher les limites de ^1, 6^, ô,, ^4.
Or les équations (103), qui déterminent ces limites, donnent
<9x>— 5-'- if ' d'où (?,>.— ^^-, 0, 5— y^-;
<?.<— 5 h- 17-' doù é>, < . -f- 5~-j^- , 5+5.17. .
