JL2 6^1 3
"5 "'"5.IT' ' 5 "'"5.17 ■ Il suit de là que
», >g5, (fx<-if'
On trouve de la même manière
Maintenant l'équation (97) donne •
/(>». — /C— 1 > (P».-l — P«) [^"«-lO«l + (1 — ^''m-l)<ï»] , /C». —f(fm-l < (P«-l — P™) [^'«-1<^«-1 + (1 — O'm-l) Om] ,
184 MÉMOIRE SUR UNE PROPRIÉTÉ OËNÉRALK ' etc.
oîl 0''„y est la plus petite et B'„y la plus grande valeur de d„i; donc ou trouvera, eu faisant,
/(6)-/(ll)>5.[^|.i + (l-J|).]] (^1 + gf) /(G) -/(11) < 5 . [-A . -1 + (1 - A) . k] 1= 3 + I) /(4)-/(6) >2.h5^.i-(l-,5^).i] (=: -l) /(4)-/(6) <2.[l.^-(l-l).i](=|) /(0)-/(4) >4.[ i .(-t) + (l-J).(-l)] (==-3) /(0)-/(4) <4.[l.(-i) + (l-l).(-l)](--2);
donc on aura pour /(6) — /(11), /(4) — /(6),/(0) — /(4), les valeurs suivantes :
/(6)-/(ll) = 2,3,/(4)-/(6) = 0,/(0)-/(4) = -3, -2;
d'où
/(6)=/(ll) + 2,/(ll) + 3, /(4)=/(ll) + 2,/(ll) + 3;
/(0)=/(ll)-l,/(ll),/(ll) + l;
/(12)=/(ll)-2;/(10)=/(ll)+l;/(9)=/(ll)+l,/(ll) + 2;
/(8)=/(ll) + l,/(ll)H-2;/(7)=/(ll) + l,/(ll) + 2;
/(5)=/(n) + 2,/(ll) + 3;/(3)=/(ll)+l,/(ll) + 2;
/(2)=/(ll) + l,/(ll) + 2;/(l)=/(ll),/(ll) + l.
En exprimant donc toutes ces quantités par /(12), on voit que les fonctions 2i8 î 2iM 2io 7 • • • 2o 7 *50ïi* respectivement des degrés suivants
où ô est le degré de la fonction q^.
De là suit que
UÉHOIUË SUU UNE PROPRIÉTÉ GÉNÉRALE etc. 185
et
= 3(/(ll) + ll.^) + 5.(/(6) + 6.i) + 4(/(4)-4.i)+l.(/(0)-0);
c'est-à-dire,
La valeur de (.l — a deviendra donc
fx — a = 38, connne nous avons trouvé plus haut pour la valeur de y.
Par les équations (92) et (98) établies précédemment, on aura les valeurs de toutes les quantités /(O), /(l), /(2) . . - f{n — 1), exprimées de la manière suivante :
(108) >=/(,! + iC,
OÙ M^ est indépendant de /pj. (Jette dernière quantité est entièrement arbitraire. Le nombre des coefficients dans Çq ? Çi ? 2^ • • ïn-i i ^^^^^ donc égal à
(109) nfi},^M,^M,-^M,-\ ^M„,;
mais «, ou le nombre des quantités indéterminées «, a\ a" . . . , est égal au nombre des coefficients déjà mentiomiés diminué d'un certain nombre. On aura donc
où M est indépendant de /{f^.
De là il suit qu'on peut prendre a aussi grand qu'on voudra, le nombre ^i — a restant toujours le même.
L'équation (74) nous met donc en état d'exprimer une somme d'un nombre quelconque de fonctions données, de la forme t/zx, par une somme d'un nombre détenniné de fonctions. Le dernier nombre peut toujours être supposé égal à y^ qui, en général, sera sa plus petite valeur.
De la formule (74) on peut en déduire une autre qui est plus générale
encore, et dont elle est un cas particulier.
186 MEMOIRE SUK UNE PROPRIETE GENERALE cU«.
En effet, soient
oh 1/;/, tpi\ . . . sont das fonctions semblables à t/Zj, i//,, ... Supposons, ce qui est pennis, que
X a* '*^/iJ ^ a'— 1 -^yu-l î ^ a'— 8 •^/«— 2 7 • * • «^ a'— ^+a + l -^'a + l >
et
^ a'X a' V^fi'^m ^ a*—\'^ u'—i ^fi—iX^__^^ . . . f/^ a'— /x + a + 1*^ a' /i + tr + 1 '/^a + 1 •^'tr + 1 5
les équations précédentes donneront
donc en mettant V au lieu de v — v\ a au lieu de a — /t-|-a,
V^/'j V^s", • • • W au lieu de V^V+i, ^^'«'+2, • • • V'V?
•Cj , .a!/^ î • • • ik <4U 11.CU Uvy •^a' + lî a' + 2) * • • i*'î
et enfin fc au lieu de /*' — a', il viendra
(112) xp^x^ -\- xpix^ -\ 1- V„a;„ — Vi'«,' — rpt'^* — - ■ ■ — ip'^x\.
= F+Vi"a^i" + ^/< + «^3"^3"H hV*'V-
Le nombre fc, qui est égal k fi' — a', est indépendant de a et a', qui sont des nombres quelconques.
Si Ton suppose
(llo) Xi i=z Cl , X^ rzzC,, , » , Xj^ -zi^Cj^^
Cl, Cj, . . . 0^ étant des constantes, alors la formule (112) deviendra
(114) ip.x^ + xp^x^ -j [- V/«x, — i///x/ — !/;, V — ' «/'V^'u' = C^ F,
où un nombre k des quantités Xj, oJj, . . . x„, a:/, x^\ . , . x\» sont fonctions des autres, en vertu des équations (113). Il est clair qu'on peut prendre c^, Cg, . . . C;^ de manière que C deviendra égal à zéro.
Supposons maintenant qu'on ait dans la fornmle précédente
MÉMOIRE SUR UNE PROPRIÉTÉ GÉNÉRALE etc, 187
Xi X2 Xq • • • Xg^ Zi
en sorte que
Supposons les mêmes choses relativement aux quantités x\ ^ x\^ . . . xp\ , xfj\^ ... a', en accentuant les lettres f^, 6g, . . . f^, 2;i, a;^, . . . 2„, tt^, tt^, . . . TT^ et m. Alors la formule (114) deviendra:
où un nombre k des fonctions :^i2i, ^%z^^ . . . tt/^i', . . . dépendent des formes et des valeurs des autres.
En divisant les deux membres de cette équation par un nombre quelconque A et désignant les nombres rationnels
par ^1, Aj,, Aj, . . . A^, et mettant i// au lieu de tt, x au lieu de 25, et v au j/
lieu de -r > il viendra :
oïl il est clair que A^, A^, . . . A« peuvent être des nombres rationnels quelconques, positifs ou négatifs.
En i;emarquant que k des quantités a^j , x^^ . . . cc„ sont déterminées en fonctions des autres, on peut écrire cette fonnule comme il suit:
(118) h, %x, + h^ v^gx, -| \-k„ yj^x^
188 MEMOIRE SUR UNE PROPRIETE GENERALE etc.
étant des nombres rationnels quelconques;
étant des quantités indéterminées en nombre arbitraire;
étant des fonctions de ces quantités, qui peuvent se trouver algébriquement, et fc étant un nombre indépendant de m.
8i Ton prend, par exemple,
on aura la formule
(119) K'^>x^x-\'Kn>t^fA VKn^r.^^
Après avoir ainsi, dans ce qui précède, considéré les fonctions en général, je vais maintenant appliquer la théorie à une classe de fonctions qui méritent ime attenticm particulière, (^e scmt les fonctions de la forme
où y est donné par l'équation
(121) ;fi^=r+i>«--o,
^0 étant une fonction entière de x.
Quelle que soit la fonction entière ^>o, on peut toujours supposer
(122) — ^>^=: rC- ri'' r^^' . . . ?•/'%
oh /11, «55 î . . • /If sont des nombres entiers et positifs, et ?•, , ?*2, . . . r^ des fonctions entières qui n'ont point de facteurs égaux.
En substituant cette expression de — jl>„ dans l'équation (121), on en tirera la valeur de y, savoir:
Si l'on désigne cette valeur de y par 7?, et par 1, (o, to*, . . . ta les 11 racines de l'équation («" — 1=0, les n valeurs de ?/ seront
(124) li, (ali, m*li, toUi, . /. («"'A';
MÉMOIRE SUR UNE PROPRIETE GÉNÉRALE etc. 189
OU aura, par conséquent,
(125) r = ey'.ey".. . e;j<''> = {q, -{- qji + qji' -\ hî»-.^-')
X(2o+ ioqJi-\-a,%Ii'-{ (-«,-'</„, Z?-')
X{qo + oj%Ii-}-io'q,J{'-\ \- co'-\Ji-'-')
X{qo + w'qji-^io%l{'-] \- w^^^^.R"-')
attendu que
/ et/=q„-\- qjt -h qji' -\ {-Qn-rR"-',
(126) / ^?/"=-'lo-\- «"Zi^^ +^\Ii'-\- ■ ■ ■ +w«-\,Ii"-\ ^ ^ I e>/"=q, + <o%Ii^co*qJi'-\ \-œ'''-\,li''-\
^ etc., etc.
Cela posé, soit
et supposons
oîi f2X et f^x sont deux fonctions entières de a?; alors on aura, en vertu de l'équation /?yz=i:?y**-|-2>oy q^^i donne /'?/ = ???/""*,
d'où
Lr
(129) '^'•"=^/t" L'une quelconque des valeurs de y est de la fonne io^li^ donc
' jiJr'i toutes les fonctions j/ZiX, i^f^x . . . x^i^x seront de la- fonne co^'^^yjx. Soient donc
où
Maintenant les écjuations (38) donnent pour cpx et (p^x les expressions suivantes :
190 MÉMOIRE SUR UNE PROPRIÉTÉ GÉNÉRALE eto.
c'est-à-dire
où il est clair que
log % log BR . log fl(«/2) , , ^, („y„ log « {w-'Ui)
log^ J. I log 6R-\- w-" log d {(jiR) -\- co-*" log ô {(uUï)
En faisant donc, pour abréger,
/m9^ .r. ^--^L" ) I0g«7?+t»-"l0gd(u,i?) + «i-*"'l0g<?(«,»i?)
^ ^ ^* ii" I -I + co-f-'J"log d(a> "-'/«•)
on aura
çiiar FiX
(133) f"^=^ hœ' '5Pi^=^M^'5P*^' La formule (41) deviendra donc
(134) £o~''"'i^Xi-|-co"''"V/a;j4- " • • +'""'''"' V^a
Les équations
qui ont lieu entre les quantités a, a', a", . . , x^, x^, . . . x^, y, ,?/,,... y^, peuvent, dans les cas que nous considéi'ons, s'écrire comme il suit:
e{x^, (o''Ry) = 0, 6{xt, (o'-R,) z= 0, e{xs, («''R^) = 0,
. . . e{x^, oi>R^,) = 0, oïl
et i?i, ^2, i?3, . . . i?M désignent les valeurs de R pour x = x^y x^^ x^^^ . , , x^.
Cela posé, supposons d'abord que tous les coefficients dans Ço? Çi? • • • 9«-i soient des quantités indéterminées, en sorte que le nombre des quantités a, a'^ a" ^ ... serait
et cherchons la plus petite valeur de // — a.
MÉMOIRE SUR UNE PROPRIÉTÉ GENERALE etc. 191
Comme toutes les fonctions y\ y'\ }/'\ . . . ?/^"^ sont du même degré,
hy' = hf = hy'" = . . . = Az/« = '"; ;
par conséquent
6 zzz 1 , 7^ 1= n'fjL^ z=. h\
L'équation (92) donne donc
(136) fvi =f(fi + {(fi — m) ~r — AJ,
OÙ 7ri est un nombre entier quelconque depuis zéro jusqu'à n — 1, et AJ une quantité positive moindre que l'unité.
On a de même par (106)
u = hr = n'^i' [fif, + (>i ^V j ,
donc
(137) // = nfi)^ + w'm^i ,
et par l'équation (62) la valeur de y^ qui sera celle de // — a, savoir:
(138) ^ — a = y = nfi ^ ^* ~ 2^+^?
ou bien en remarquant que n=in'fi\ n'm' ^=^nliR\
(139) ^ — a = y='-^n.hE—'^^-^\.
C'est là la moindre valeur de ^ — a lorsque toutes les quantités a, a\ a'\ . . ► sont indéterminées; mais dans le cas qui nous occupe, on peut rendre ce nombre beaucoup plus petit en déterminant convenablement quelquesunes des quantités a, a', a", . . .
Désignons, pour abréger, par EA le plus grand nombre entier contenu dans un nombre quelconque -4, et par 6 À le reste, on aura:
