A = EA^^A

où il est clair que h A est positif et plus petit que l'unité. Cela posé, soient

192 MEMOIRE SUR UNE PROPRIETE GENERALE etc.

OÙ m est run quelconque des nombres 1, 2, 3, . . . t, rr un des nombres 0, 1, 2, . . . 7i — 1, et «A, «j,, ... «^ des nombres entiers positifs.

Supposons (143) V.. = <^..'-A-''-/''" •••'•/'' %

v^ étant luie fonction entière de x.

De là on tire

or

mais en vertu de l'équation (140),

\ n n ] Il n \ n

donc en substituant:

en faisant donc, pour abréger,

(145) .i^^'^7"- = fc„.,„ on aura

(146) qji^=v,^r, " r, " . . . r, " Xr'^-V>'^ . . . //-\ OH bien eu faisant

(147) /•*'- ^ rf*' ' z-^' ^ . . . rf^'" = W'^ :

(148) qji^ = v,r, " r, " . . . r, "id^^^ Par là il est évident qu'on aura

(149) { = {v.a^"^ -\- i\Ii''^ -{- vji<^> J^ ^oJ{<-'>-\-.-.-{-v„Ji<"-'^)

et en général (126)

MklMOIKË SUR UNE PROPRIÉTÉ GÉNÉRALE etc. 193

Soit, pour abréger,

(151) VoR^'^ + co'v,R('> 4- œ''v,R('> -| \-œ <''-'>' v^,R('^'> = e\x, e),

il est clair que

(152) r = ey\ey" . . . é^z/^"^

donc en supposant que tous les coefficients dans Vq, v^^ ... t?„i soient des quantités indéterminées, on aura

ri53^ '' ' '

^ ^ Fx=:e'(a:,0)é>'(a:,l)é>'(a:,2) . . . e\x,n—l).

Maintenant l'équation (19) donne, en substituant les valeurs de f^{x^y) = nf^x. y ''-''-'' et de xV = ^3/''~S

or, par l'équation (150),

~ëy('y ~ S" (a;, e) '

donc, en substituant et mettant au lieu de r sa valeur,

r = FqX . Fx :

(154) Ex = Kx^j^':-^^^.

où

y = y<'^; or, on a par (123)

donc

en faisant donc pour abréger

mu. mut ^*

194 MEMOIRE SUR UNE PROPRIETE OENERALË otc.

et posant ensuite

(157) /siC— /x.ri " r2 " ...7-, ",

E'^.fs J^'^^î £-^±

OU aura

doue

^"* Sfn '

et par conséquent la valeur de lix deviendra

(168) i;. = '^-%^a,-^'jjM'(..e)

Maiuteuaut il est clair que qui est égal à (153)

0'{x,i)e'{x,2) . . . e'(:x,n—i)âe\x,o)

et par couséqueut une fonction entière de x et de Ii^^\ R^^\ . . . li^'''^\ peut être mise sous la forme

oïl M^^ J/i, ... i/„i sont des fonctions entières de x.

De là il suit que la fonction Rx^ qui doit être entière, sera égale à

uFqX./x.M^.

La fonction i^o^ ^^t donc un facteur de i?x, et par conséquent

(159) Mx = FoX.R,x.

Par là il est clair, en vertu des équations (23), (25) et (35), qu'on aura

fx Gela posé, la valeur (132) de if^x deviendra, en mettant '^— au lieu

MÉMOIRE SUR UNE PROPRIÉTÉ OÉNÉRâLë etc. 195

de ■„-, substituant les valeurs de 0{K)j 6{wli), etc., doiuiées par l'équation (150), en remarquant que