u)-" -f- co-»" -f • • • -\- fo^c
Hfin ,. .—ff- \ log<?'(^,0) + t«-logé>'(^,l) + «,-'"logr(x,2) et les valeurs (133) de ipx et (piXi
et par suite la formule (134) donnera
(162) cy"'''"i//a-i-|-w-'«"'i//a^j-}- • • • -[-«^ '^ V'^^
on a
Il nous reste à trouver la valeur de u et le nombre des quantités indéterminées; or, on a par l'équation (153)
(163) hFoX = {ne,-\-a,)hr,-{'{ne^-{-a,)hr^-\ \-{n0,-i-a,)hr,]
mais
hr = nf(f, 4- nW(fi , donc
or
n'm' = n.hli = n ( ^*^r, + ^V/?-,-| h Ç ^^1
donc en substituant,
Maintenant l'équation (143) donne
(165) hq:, =/7r = t^,,^ . Ar» + 1^,,, . Ar, -| 1- (î,,„ . hr, -\- Aw,,.,
donc, en écrivant (t au lieu de pi,
a = «Awj + («(T,.j — «^1 + (ffh — aM'Ti + («<^«,.-, — «^ï + p,«« — aï)Arg-| ;
196 MÉMOIRE SUR UNE PROPRIETE GENERALE etc.
mais en vertii de (144) on aura
donc
(166) f,=nkv^-\-n.B^-^^^hr,-\-n.é^-^*~"nr,^ ^n.e^~'-hr,.
Cherchons maintenant la valem* de a on le nombre des indéterminées. On a
a = kvo-\-hvi-\-hVi-\- • • • -\-hv„.t-{-n — l,
donc en vertu de (165)
% +*?! + %+••• +%-x + « — 1 -(f^,,o + '^i,x + 'n,.H \-Kn-i)hr,
(167) « = / -(«yM + <^M + <^».»H h'^M-i)*»-»
On a d'après (136) et (85)
(168) hq,-{-hq,-\ \-hq,.,
et d'après (142)
(169) (î„,o -i-Ki-ï h Kn-i = ne„
En désignant le second membre par
on aura
— «m I jUm — «m . 2^^ — O^ . ^ ^ ^ ■ (n— 1)^^ — g,
or, la suite
— «« , f^m — Ctm I I (n— 1)|U« — a« r+- é h- • • • —j— € -
MKMOIBE SUR UNE PROPRIÉTÉ GÉNÉRALE etc. 197
contiendra k^ fois la suivante
^'i» ^'»i '^hn *'to
si l'on suppose
^^^^ " ex» y?' ■ i^m7^'m
et
(170) «« = f.fc.,
f„ étant un nombre entier.
La somme dont il s'agît sera donc et par conséquent
En faisant a« = 0, on aura d'après (141) P„ = d„, donc
de là il suit:
<^«,oH-<^«,iH- • • • +^«.,«-i = ««+(^— i)^™;
la valeur de a deviendra donc
nhv^ + [^^i,Q— «1 — (^ — l)^i] *n « = ( + ['^Ko — «8 — (/^ — 1)^2] A^'2 +
or
et
'^- = hR=--{iii,k7\-^fi^hr^-\ h/'^^^Jî
fÀ n
donc en substituant
198 MÉMOIRE SUR UNE PROPRIÉTÉ GÉNÉRALE etc.
mais nous avons vu que
^ n — 1 Wfl, — J. » !* — 1 !* ~ ^>
donc
(171) «=<[ }L.f?^«--:^».-"-*«-JAr,+
+ /„.,?Jli-:«^''-*fJAr,-l + '^^
Ayant ainsi trouvé les valeurs de jj et a on aura celle de /i — a, savoir :
(172) ^« = !L-*i/,^,j!L-AAr, + ^--^»/.r,+ ...
/* — a est donc, comme on le voit, indépendant de (> et a, , a, , a, , . . . a, . En vertu des équations (145) et (147), il est clair qu'on aura aussi
(173) fi = n.hv^^n.hR(^>j
(174) a = n.hv^-\-n.hR('!> — d.
Les quantités Av,, Avj, . . . Aw„i peuvent s'exprimer en kv au moyen des équations (136) et (165).
On a »
et
fm =/(,-{-{(, — w) y — A,' ; donc en éliminant fm et ^p,
hv = j H + (P-»») "r + (<y,,-<y..,)*r, + (J,,- J,..)Ar,+ • • • Or,
et par (142)
MEMOIRE SUR UNE PROPRIETE GÉNÉRALE oie. 199
donc en substituant et réduisant
c'est-à-dire en remarquant que AJ est positif et plus petit que l'unité,
(175) ho. = ho, + E\ iK-K.)hr. + {K-K.)nr.-^ • • •
D'après l'équation (147), qui donne la valeur de R^''\ on peut aussi écrire
(176) hv^^hv„^Eh-^'^- ■ . .
Cela posé, soient
(177) 5 . et pour abréger
(178) CW— A'^itO^, to-'/'=:7r^.
La formule (134) deviendra, en mettant s^{x) au lieu de s„, et • ■ \\ lieu de (p^x^
(179) <v^Xi + c«Ji//x,-^ |-^'^«'/^^« + ^r'/^2i + '^?V^22H \-^ê^pZ0
Dans cette fonuule on a
(180) r^=l/--rv
où fx est une fonction entière quelconque, et
Les quantités x^', x^^ . . . ic„, sont des variables indépendantes; coi, co,, . . . a>„, des racines quelconques de l'équation
au
200 Mt::H01RË SUR UNE PROPKIETt: GENERALE etc.
Les fonction» z^, z^, . . . Zg, sont les 6 racines de l'équation
»•(■-, (i)ff(--, i)y(-,2) ■ ■ ■ y(--,«-i) „n
Les quantités ff, a', a", . . . sont détenuinées par les a équations
(182) Ô'{x„e,) = 0, $'{x„e,) = 0, $'{x„e,) = 0, . . . e'(x^,e„) = 0; et les nombres *i, fg, ■■.(», par les 6 équations
(183) e'{z„f,) = 0, e'{z^,f,) = 0, e'(3„fs) = 0, . . .e'{zf,,fe) = 0. La fonction 6'{x,e) est donnée par l'équation
(184) Ô'{x,e) = vjr'~\-w'v,R<'>-\-<o*'v,H<'>-\ |-<«"-'^'y„.ii'-'\
et la fonction <px par
(185) (p{x) = log e'{x, 0) -|- w-" log Ô'(x, 1) -|- w-'- log 0'(Xi 2) H
-\-w-^—"''loge'{x,n— 1).
Si leH- fonction» v,,, y,, ...«„, sont détenninées d'après l'équation (175), les quantités 0, fi et a auront les valeurs que leur donnent les équations (172), (173), (174), et dans le même cas la valeur de ,it — a ou le nombre des fonctions dépendantes est le plus petit possible. Mais si les fonctions Uo ) Wi ï ■ • ■ "n-i ont des fonnes quelconques, alors on a toujours
a ou le nombre des indéterminées a,, a' a", ... est arbitraire, mais sa valeur ne peut pas surpasser le nombre
hVf,-\-kvi-\-hVi-\- • • • -\-hv„i-\~n — 1, ou celui des coefficients dans v^, «i, ... »'„! moins un.
Comme cas particuliers on doit remarquer les suivants:
1" Lorsque f^x^ix — /?)^
Alors la formule (179) deviendra, en faisant pour abréger,
tu'mix^-\- (u^ipx^-\- • ■ ■ -\-a)^ifiXg = ^io''tpXf (187, ^„.,. + ^..^ = C-,7^(^^^,+ i..pj:^-^j,
MÉMOIRE SUR UNE PROPRIÉTÉ GÉNÉRALE otc. 201
2® Lorsque f^x=^x — /5, (188) 2œ-xpx + ^n-ipz ^G-II —/^^-^ + -^^^
^ ^ ^ ' ^ Sni{x).(x — ii) • S«(//)
OU
/fx ndx
3^ Lorsque f^x=:^\.
Alors on aura la fonuule
(189) 2:iD''ilJX^27i''ipz=C—n'^'^-'
Si le degré de la fonction -J^L'^t^ est moindre que — 1 , alors fï — ^
s'évanouira, et on aura
(190) :Sa)'"ipx~]-^7i"'ipz = C.
D'après la valeur de (px^ il est clair que le degré de la fonction
• ' \\ OU le nombre h~ ^[ est toujours un nombre entier: or wx est du
««.(a-) Smix) ^ ' ^
degré zéro en général, et ne peut pas être d'un degré plus élevé, donc h ' — -.Jy ne peut pas surpasser le plus grand nombre entier contenu dans
fx , .
h — . Y î c'est-à-dire que, d'après la notation adoptée, on aura en général
k =^J^ ^ Eh^^- ^Eihfx)-\-E[-hs„{x)] ^ hfx-^E[-k.„(:x)].
Si donc
(191) kfx ^ - El-hs^ix)] - 2,
le nombre h'--^-~ sera toujours moindre que — 1, et par conséquent la
formule (190) aura lieu.
La détermination de la fonction (fx^ qui dépend de celle des quantités a, a', a^', etc., est en général assez longue; mais il y a un cas dans lequel on peut détenniner cette fonction d'une manière assez simple; c'est celui où l'on suppose
En effet, en faisant
(193) v,=^ex, -^ = -e,x,
202 MEMOIRE SUK UNE PKOPKIETE GENERALE etc.
les équations
peuvent s'écrire comme il suit:
(194) dXi=zœ['~^OiX^j dx^^=wl'~^O^x^^ . , . dx^,=:^a)[;~^d^x^.
En supposant maintenant ((ue tous les coefficients dans Ox soient des quantités indéterminées, la fonction Ox sera du degré a ^^ 1 ; il s'agit donc de trouver une fonction entière de x du degré a — 1 , qui, pour les a valeurs particulières de x: x^ ^ x^ ^ . . . x^ ^ auront les a valeurs correspondantes
Or, comme on sait, la fonction dx aura alors la valeur suivante : •
En désignant cette fonction par 6'x, la fonction la plus générale qui peut satisfaire aux équations (194) sera
( 1 9()) ex = e'x-\- {x — X,) [x — x^)-'-{x — x^)d"x,
0"x étant une fonction entière quelconque.
Ayant ainsi déterminé 6x^ on aura 0\x^m) d'après l'équation
(197) e(x,ni) = o}'"'exW'^ ~^^ur'^R^'^\
et la fonction tpx par l'équation (185).
Dans ce qui précède nous avons exposé ce qui concerne les fonctions
*-^- en général, quelle que soit la forme de la fonction 6*^.
Considérons maintenant quelques cas particuliers:
A) soit d'abord 7i=l.
Dans ce cas, le nombre des fonctions, Sq , s^ , s^^ ... s^^ se réduit à l'unité, c'est-à-dire qu'on aura la seule fonction .Sq, qui, d'après l'équation (156), se réduit à l'imité.
MEMOIRE SUR UNE PROPRIÉTÉ GENERALE etc. 203
On aura donc
- C fie , d;V
L'équation (147) donne ij!^»^=l, et l'équation (184)
on aura ensuite la fonction (px par (185), savoir:
(px = log Vo{x) .
Les équations (182) qui détermineront
^i j ^'ij • • • 3'« 5
seront
(198) Vo{x,) = 0, v,{:x,) = 0, ... r„(^„) = 0,
et celle qui donne ^j , z^^ . . . z^^
Cela posé, la fonnule générale (179) deviendra, en remarquant que
(200) V'.ri 4- v^oTjj 4- . . . + V^iz^c. + V'^i + V^^2 + • hV^^^
= 6'- rTjUogv,{x) + :^r^^ [^^^^ \ogv,ii3)].
Les équations (198) et (199) donnent
Vo{:'^l) = ci{x — Xi){x — x^){x—x^) . . . {x — x,,).{;x — Zi){x — z^) . . . (.r — 2;^^).
D'après l'équation (172) il est clair qu'on peut faire d = 0. Alors on aura, en faisant en uïênie temps y = 1 ,
C— n ..■-[logfl-[-log(x — a-,)-|-log(r — a:,)-| !-%(•''— ^«)]
+ ^ ^^ []og« + log(/î-a:.) + log-(/?-:r,)+ • • .+ log (/?-«:„)]. En faisant « = 1 , il viendra
(201) |/-V^> = C-/7^'^log (.-.,) + ^.',^7-. (^4l«g(,^— .)).
formule qu'il est aisé de vérifier. Elle donne, connue on le voit, l'intégrale de toute différentielle rationnelle.
204 MliMOIRE SUR UNE PROPRIETE GENERALE etc.
B) soit en second lieu w = 2, i? = r/?'/, «^ = 1, «j — 0. Dans ce cas on aura
La fonction (px sera, en faisant m = 1 ,
<px = log <?'(x, 0) - log e\x, i)=\og |[;;;^j ,
Cela posé, en mettant ?'o(x) et v^ix) au lieu de Vq et i^i, et faisant
r^=(poXj r^ = (p,Xj la formule (179) deviendra, en faisant 77i=l,
(202) ^co v^o: + ^;r V'^ - C- /7 - - -^-^ - log ( EMy^^^f^où
Les fonctions v^[x) et ^'l(x) sont déteniûnées par les équations:
"o(^«)Vyo^'«+<»i!^'i(^'s)yy'i^"a = 0» etc. et Zi, Zj, . . . Z(,, par l'équation (181), qui deviendra
(z—xj (s—e^) • • • (2— .r„)
Les quantités («i , to^, . . . io„ sont toutes égales à -}- 1 ou à — 1 , et TTj , TTg , . . , noi qui sont aussi de la même forme, sont détemiinées par
MÉMOIRE SUR UNE PROPRIÉTÉ GÉNÉRALE etc. 205
La plus petite valeur de d se trouve par Tëquation (172), en remarquant que
on aura
e = \hi\-[-\hr^ — Y = i[*(^i^2) — w'],
où n' est le plus grand commun diviseur de 2 et hr^ -|- hr^ ; si donc
h [(PqX . (fix) = 2m — I , ou
h{(pQX . ifix) = 2m^
on aura pour 6 la même valeur, savoir:
quant aux valeurs de Vq et v^^ on aura l'équation (176), savoii-, si p=l,
hvo = hv^ -)- E h j^^ =: ?ii\ -\~E^{k(p^x--h cp^ x). ;
donc dans le cas où k[(pQX.(pix) = 27n — 1,
hî^Q =z hvi -\- ^(h(piX — h(pç^x) — -J- , et dans le cas où h{(pQX.(p^x)=.2m^
hvQ^=.hv^-\-\{h{pyX — hif^x).
Pour les valeurs de // et a on aura, d'après les équations (173) et (174),
fi = 2ht\ -\- hcp^Xj a = 2hvy -|- hif^x — m-\-\.
Si m=\^ on a d^zzO, donc alors:
2ii}^x=^v.
Dans ce cas:
/fx . dx
VÊ où R est du premier ou du second degré.
Cette intégrale peut donc s'exprimer par des fonctions algébriques et logarithmiques, comme on le voit, en faisant
(p^x=zfç,X'-\-âoj (p,x = e^x-{-â^, f^x = {x — fty,
^i(^)=l, vj^x) = a',
206 MEMOIRE SUR UNE PROPRIÉTÉ GÉNÉRALE etc.
on aura
a=— '-/-=- -=vj(x),
donc en substituant et faisant a>i = 1 ,
J (.fi — S)
(.'•i— /ï)»" y(«ovri + do) (ci*i + ^i)
, ^. / -^-* 1 V(£oJ;+^o)(«j^i + <ïi) + V(«oJ^»-j-4)(«i*+^i)
•" \ (.r-,^j". l/(£o.'-'+"<Jo) («^'•+<î.) ^^y(v+ (ïa)(cr^r, + d.) - y(eoX, + do) («i^H^^i) 1 rf»-i /
//i ^ j^^ V(«u,V+ do) (£,.»•. + J.) + y(£^:f + ô,) (£o.ri + «Jo) j .
Jo) (e,,^ + (Ji) " VCeo/^ + <J«) («,.r. + d,) - V (c.> + J,} (£,vr. + <îi) / '
/V .<^ "-' \ y(£^ + rf<
soit, par exemple, |/ = 0, yx, = ], on aura, eu mettant z au lieu de ar, ,
' ' y(co.i^+ <îo) («i.»' + Ji) " y(«o.'- + ào) («1^ + <Ji) —i{fi^ + (Ji) (e,vc + ^o)
6'+ /7 j ( -^-. -^-- 4- . . . 1 locr ( >"*« "^"^'1+ ''•+>' ^^-^-^-^ ^^ + . . . 1 j .
donc
dz
Qx 1 1 o- >^^o >^^i^ + ^1 + Vci Vco- -l^do ^
y (co^ + <Jo) (fii2 + rfi) v«o€i '^ y co y €i- + ^i — y^i y^o^ + «Jo
Sî VI = 2 , on aura d = 1 ,
Dans ce cas on aura donc (205) ^a)\ffx = v — Tj^^fz^ = (o^tffXi -\- w^ifx^ ~h ' ' " ~|~ ^^«V^-^'a ?
et la fonction tffx sera une fonction elliptique.
On aura immédiatement la valeur de z^ par l'équation (203). En eifet, en faisant
{vozYifoZ — {v^zYif.z = A-\- . . . +/i2;"+*, on aura
donc
MEMOIRE SUR UNE PROPRIETE GENERALE etc.
il est clair que ,, est une fonction rationnelle de x^, .Cg, . . . x^, Vv^o^m
Soit, par exemple, on trouvera les équations:
^o(i^j)=— "^ly^i-^^ij t'o-^2=— «>2yy^i->P2 7
Vç,(x) = — (Oj -'
