X AV

ri — .v^

.^2 — .ri

COt

on trouve de même:

ry^i^i

donc

1 (a^ — ao) 1 / *^2 7^1 -^i + -^î yi *^'2 — ^ ^'^l '^ • -^'i -^2 V^i '^1 • <jPi A'a

si Ton fait

Cf3.A'l*P2

(;Cl — A'i)

Wi = 1 , coa = + 1 î

réquation (205) deviendra donc (206) ipx, ± ipx^ = ± ipz -)- C

// ( ..__i^ , log ir^x 1 J^2v^^, [ ---% - log Fft

où

XfJX

fx , cLv

(X^ ^(fXi ± ,t'i VcfX^ y «0 (^'i »^2) ^

r: , (pX = aQ-\- a^X -j- «jX* -[- «giC*,

a3.fi.f2f(ci-i — .r^)^

Fx = -

ou bien

Vr^i

Vff.

}/yâ

(«1 — x){x^ — aîj) — (Xg — x){x^ — se,) ix — x^){x — x^)

Vfx^

VffX^

Yfpi

(a;, —x) {x^ —x^) — (Xj — X) (x^ — Xj) (x — Xj) (x— x^)

208 MËMOIUË SUR UNE PROPRIÉTÉ 0£N£RALE etc.

Pour f^x = x — /î, fx^=.\^ on a et pour /jX = 1 , /;i: = 1 ,

Vfrœ

Soit encore m = 3, on aura 0 = 2, et k{(pQX.(p^x) = b ou 6. Dans ce cas donc on a

(la;

r fx .

où i^ est un polynôme du cinquième ou sixième degré, et

io^\ffx^-\-œ^\^x^-\- ' • • -{-œ„\fjx^,=:v — TTiyjZi. — Ji^ipz^.

Ces fonctions z^, z^ sont les deux racines d'une équation du second degré, dont les coefficients sont des fonctions rationnelles de x^^ x^^ ^s • • •

et ^lii , yîi^ , y i^3 . . . , en désignant par M^ , i^ , li^ . . .^ les valeurs de B correspondant à x^ , Xg , Xg . . . .

Gomme cas particuliers je citerai seulement les suivants:

V Lorsque fx = AQ-\-AiXyf^x=:l. Alors on aura

/(Ao'\- Aix)iU y «0 + «1*1^ + • • • + «5»^'

+ CteX^

i v^-^i i V^-^â db V'^s i • • • i V^a = di v^^i i v^^;^ -|- C.

2® Lorsque ^0^== 1^ 9^i'^==^o-|-«i^4~«2^*-h"3^^"l~^4^'^"f""5^^=^9^^7 VqX = Uq -\- a^x -^^ a^x^ j i\x=l.

Alors on trouvera facilement et

/fx.da:

ftx.ywa;

MEMOIKK suit UNE PKOPRIETE GENERALE etc. 209

±y?^i 1 i/y-ii , __ .±vV^s. . , Vyx

■^0*^ {x^'X)(x^'X^)(x^'X^) "^ (x^-x)(x^-x^){x^-x^) ■" ix^'X){x^-x^)(XJ^-x^) ' (x-x^) (x-x^) {x-x^) ^

lx^'xj(x^-x^)(x^-x^) ' {x^'X){x^'X^){x^'XJ^) ' (a;3-x)(x3-Xi)(a;3-Xa) (a;-a;i)(a;-a2)(a:-a:8)

2Ji et Zg sont les racines de réquatioii

(z — ^i) (z Xi) (z — x^)

Eu faisant dans la fonnule générale (202) ^1=1, on aura

VqX

(çT — dNj) — (.^— ^„) v/(£i^ (.'g— ;ci)(>g— A'a) ■ ■ ■ (/g— .r«) l/fi-'^

et d'après cela oà

y jo^i I L.î'-o^ 1- • • •

(Xx x){Xi X^ • • • {X\ A'a) "^ (x^ — x)(Xi X^ • • • (x^ Xa) "•

I I ^ yo^« ! V 9o'

\ ' {Xa x) (Xa .Ti) . . . (Xa — ^a l) ' (x .ri) (x X^) • • • (.C Xa)

I .r yofa I

(xi — x){xi — ^2) • • • (xi — Xu) "•" {x^ — x) (x2 — .ri) . . . (.ra — .r») '

I 1 Ljyj^'. Ïj:«' .

Zi, Zjj? - ' ' ^e s^^^t ï^^ racines de Téquation

t?o^.yo^ — yi^ Q

(r — 0:1) (2: — Xi) • • • (z — Xaj

En faisant dans la même fonnule générale f^x = 1 , on aura

^ I ^ ^Irrl /*«'' 1 ViiX^ WqX -{- VlX^ W^X

^ioi/jx-\-:s7npz = C—n\ ;-. '-=^r. log -^ ^/-""^-î--^— y- .

\ y yo A' • 9*1 »ï? ^'o ^^ y yo»^ — ^l 'ï^ y y 1^

210 MEMOIRE SUR UNE PROPRIETE GENERALE etc.

Otl

/fx . dx yifçiX,(f)^x

Si /x est du {in — 2)" degré, on aura

Si Ton fait f^x=^x — /?, /x=l, ou aura

JSioWx-\-2:jTipz = U-\ ,. - --r^- loff — --/-'.— - ,— -

C) Soit en troisième lieu ?i = 3, I{=r^r^^ «1 = 0, «2 = 0. Alors on aura

la 8 1

Sq — J- j ^1 — ^'i ^ï j ^'a ■ — ^1 ^3 7 -^^ — t'>'o î -^^ ■ — ''*'i j -^^ — ^a j

dX^,0) = yo+ ^i^i'^'a" + î^8n'^8%

e\x, 1) = ^0 + wt;iri' ri -f w'i^jjri* r/ ,

d'(x, 2) = ^0 + co^y^r/ r/ -f- a>z;,/\^ r/ , (px = log ^X-ï^, 0) + co" log ô'(^î 1) + ^^'" ^«g ^'(-^7 2), e'{:x, 0) ^X^-, 1) «X^. 2) = ?;« + yj r, rj + vl rf /•, — Si^o^i^^a^i/'a •

En faisant donc 7/1=1, 7\= (p^x^ r^=zip^x^ Vq=^ Oq{x)^ v^=-v^(x)j V2 = V2(x)j la formule (179) deviendra

^COlpX'\-27T ipz

= C-n -V- * [log(i'» + a>log(F,x) + («Mog(^>-)]

/jj«.((jro^)'(7'j-c)*

MEMOIRE SUR UNE PROPRIÉTÉ GENERALE etc. 211

F,,x=v^,{x)-^ v^{x)((f,xY((p^xy + v^{x){cp^xy{(p^xy ,

t\x = Vo(x) -[- ioi\ {x) {(pox) ^ {(p^x) * -f- w^v^{x) {(foX) ^ {(f^x) ^ ,

F^x = Vo{x) -|- io\\ (x) (^0^) '^ {(fix) ^ + f^M^) (9^0^) ^ (^1^) ^ •

Pour les mêmes valem\s de x, , iTg, Xj, . . . 2, , z^? • • • ^o^? ^1^? ^2^7 ou aura aussi

(7-77 ^1 ^[log(i?;a;) + c«Mog(iï;x) + «,log(i^,x)l

+ ^»' M 1 ^^i: — r Liog (i^«/?) + «>' log (i*;/?) + «> log {FM \ •

Les fonctions z,, Zg, . . . z^, sont les racines de l'équation

K(g)]''+K(g)]>og(yig)'+K(^)]''(yo^)'(yi^)~^^o(^)-^i(^)-^»(^)-yo^-yi^o

(z — «i) (z — Vi) (z — Xg) • . • (z — at„i) (z — x„)

D'après l'équation (172), la plus petite valeur sera

<9 = Ar, + Ar,+ l-^^;

en remarquant que 7ci = 1 , Zi^ = 1 , n' est le plus grand comnum diviseur de 3 et hi\-\'2hr^.

Soit d'abord Ari-|-2Ar2= 3?7i, on aura w' = 3 et d = h{q)QX.(pix) — 2.

Si Arj -|- 2Arg = 3m — 1 ou 3m — 2, on aura n' = 1 , et par suite 0 = h((pQX,(p^x) — 1.

Ainsi, par exemple, on aura pour

h{(pQX . (p^x) = 1,2, 3, 4, 5,6...

d = 0, 1, 2, 3, 4, 5 . . . lorsque h(pQX -\- 2h(pj^x = Sm + 1 et 0= 0, 1, 2, 3, 4 . . . lorsque h(pQX-\-2h(piX = S7n.