ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES DONNÉES
Annales de Mathématiques pures ot appliquc'es nUligées par M. J, D. Gfrgonne, t. XVII, Paris 1827.
Lorsqu'une quantité satisfait, à la fois, à deux équations . aîg-ébriques données, ces deux équations ont un facteur connnun du premier degré. En supposant quelles n'ont pas d'autre facteur commun que celui-là, on peut toujours, comme l'on sait,, exprimer rationnellement l'inconnue en fonction des coefficiens des deux équations. On y parvient d'ordinaire à l'aide de l'élimination; mais je vais faire voir, dans ce qui va suivre, que, dans tous les cas, on peut calculer immédiatement la valeur de l'inconnue, ou, plus généralement encore, la valeur d'une fonction rationnelle quelconque de cette inconnue.
Soient
(1) v>y=Po+pxy+p^y^^ hi^m-ir"'+r=f^.
(2) v^T/ = îo + q,y + q,y' H h qn-iy""-' + y" = «,
les deux équations proposées, la première du m'^* et l'autre du 7^^*^* degré.
Désignons les n racines de (2) par y, .?/i, y*? • • • ^«-1? ^^ ^^ substituant tour à tour dans (1), on aura les n fonctions'
(3) ^y, (pyij (py2, ... (pyn-i-
Soient
lii = <py • v>i/» 'Vy» — <py«-i • yy»-i »
R^=<py. (py^ .(pya (pij„» . 9>y„, ,
-K«-» =<py'<pyi-<pyi — <py»-a • y »/«-i , V K-i =^<py-(pyi'(py»'" <py»-a • yy«-« •
Cela posé, soit /y la fonction rationnelle de y dont on vent déterniiner la valeur, et désignons par 6y une autre fonction rationnelle quelconque de y. On aura l'équation identique
(5) fy.ey.R=fy.ey.I{.
Maintenant, ayant (py = 0^ on aura
et, par suite,
Œ + t,R, + t,R, + fs^3 H h K-.Iin-2 + ^n-l^«-l = tR ,
oh tj fi, ^j, ... f„.3, f„i sont des quantités quelconques. En faisant donc d'abord
f = 07j, t, = 0y,, h—'Oii^, ...^-i = %„i7 et ensuite
^=fy'^yj U=fyi'^yi, U=fy2^0y^, ... L-i=fyn-.i'0 ;/,__,,
on obtiendra les deux équations
j 6y.R = ey.R^ey,.R,-\-ey,.R,-\ \-ey„,.R„-,,
(«) j fy-Oy.R=fy.ey.R-{-fy,.ey,.R,-j-/y,.ey,.R,-{
par là, l'équation (5) deviendra
fy{ey.R-\-ey,.R,-\-Ôy,.R,-\ \-ey„.,.R,,,)
= 6y -fy ' Ji + Oyi -fyi • ^i + ^y* -fy^-H^-] h Oy„y .fy„, . 74, ;
équation qui, en posatit, pour abréger,
ey.R-[-ey,.R,-{-dy,.R,-\ \-6y„,.R„., = 2 6y .R,
(7) {fy.ey.R^fj/,.ey,.R,-\-fy,.e7j,.R,-\
+/y«- 1 • Oy„i . i2»i = 2fy .Oy.R,
deviendra et de \h
Maintenant il est clair que le numérateur et le dénominateur de cette valeur de fy sont des fonctions ratioimelles et symétriques des racines y,
Vi'i y^f Vz'i • • • Vn-i't ^^ P^^^t donc en vertu des foraiules connues, les exprimer rationnellement par les coefficiens des équations (1) et (2). 11 en est donc de même de la fonction fy.
La fonction rationnelle 6y étant arbitraire, on peut en disposer pour simplifier l'expression de fy. Pour cela, soit
oh Fy et xy ^^^^ deux fonctions entières; on aura, en substituant,
Fy ^ x(y) .
xy — ^ey.R '
si donc on suppose 0y=zxy, on aura
et aloi's le numérateur et le dénominateur de cette fonction seront des fonctions entières des coefficiens des équations proposées.
Si /2/=l, on aura, pour une fonction entière quelconque Fy^
OU bien
Mais on peut encore simplifier beaucoup Texpression de Fy de la manière suivante :
Désignons par ip'y la dérivée de ipy^ par rapport à y, et faisons
Féquation (8) doimera
(11) Fy
Cela posé, on peut d'abord exprimer U par une fonction entière de y. En effet, si Ton fait
on peut transformer i?, qui est une fonction entière et symétrique de ^i , y« ? ys ? • • • Vn-i î ^^1 fonction entière des coefficiens v^ , ï^i , ^^s , ... v^^ . Maintenant, on a
=.2o + 2l2 + 2a2*H hîn-l25"-' + 2" = 2"+K-2 — y)25
donc
d'où il suit que Vq, ^i, v^^ ... v,^^ sont des fonctions entières de ?/; la fonction li Test donc aussi; elle est donc de la fonne
OÙ il est évident que po, pi, pa, ... (f^ seront des fonctions entières des coefficiens des équations (1) et (2).
La fonction B sera d'un degré supérieur à n — 1 ; mais il est clair qu'on peut, en vertu de l'équation (2), en éliminer toutes les puissances de y supérieures à la (/i — 1)**"^, et de cette manière mettre B sous la forme
OÙ poj Ciî (f2j • • • (fn-1 «^lAt toujours des fonctions entières de jjq^ j)^^ p^^
• • • pm—\ ? ÎO 7 ïl 5 Ça 7 • • • în— 1 •
En multipliant B par la fonction entière F y on aura la fonction F y . B^ qui est de même une fonction entière de y. On peut donc la mettre sous la même fonne que B^ c'est-à-dire qu'on peut poser
(13) Fy.li=t,-\-t,y-\-Uy*-^t,y'^ +'„-iy"-S
^0 7 h y Ut • • ^4-1 étant encore des fonctions entières de ^o ? i^M i^a • • i^m-i i Dès que It sera déterminé par Técpiation (12), il est clair qu'on aura
Iin-1= (f0 + (fl!/n~l-{' (f2yl^l-\- if-sUl-l-] \-(fn-~iyl-\'
On aura de même
i^y„i . i4-i = ^0 + ^y»-i + hyl-^^ + ^a^n-i H h K-iyl-\ •
Maintenant je dis qu'on aura
Fy=hzL.
•^ Qn-l
En effet, on a d'abord
?'i^ ~ ¥'y ^ V'Vi "•" 'V^>2 "* ^ ry'n^i '
donc, en substituant les valeurs de M^ i?i, B^^ ... i?«i,
«__ ,(^4.J.+L+...+iJ
^•"j îli Vxi y*i ' • ' Ifn-i > étant les racines de l'équation (2) on a
n>'y ■=(])— Vi) in — y-) [y — Vt) • " (i/— Vn-i), f'yi={yi—y)iî/i—yi)ii/i—yi) • • • (]/i—yn-i),
• f'yi=(j/i—y)ii/i—yi){y»—yi) ■ ■ • 0/s— z/»-i)»
donc, d'après une fonuule connue, les coefficiens de p^, p^, pj,7 • • • (^n-u dans l'expression de -2* — ;- ? s'évanouiront tous, excepté celui de (>„i , qui se réduira à l'unité; on aura donc
On prouvera exactement de la même manière que donc, en vertu de l'équation (11),
OU bien, en écrivant t et p, au lieu de t„i et (»„i,
Soit maintenant F'y une autre fonction entière de ?/; en supposant
t\ t'n-2j ^'n-3 5 • • • ^ 'o étaut dcs fouctious entières des quantités poj ^i, jhj • • • Pf^ii îoî 2u 22 5 • • • î«-i7 01^ aura
(16) , F'y = ^; d'oîi, en comparant (14) à (16),
Ainsi on aura la valeur d'une fonction rationnelle quelconque .;; par le
»/ développement des deux fonctions
Fy.R et F'y.U.
La formule (17) peut facilement être traduite en théorème.
Le cas le plus simple est celui oh l'on cherche uniquement la valeur
de y. Alors on a
où
l{ = (f?j^-'-[-(jY-'^ et Iiy=ty^-'^tY-'J^
On peut exprimer t en p et {f\ Eu effet eu substituant la valeur de R^ il viendra
or, en vertu de récjuation (2), on a
Z/" = — 2«-iy""' — ïn-^y""' ;
donc, en substituant
Dans le développement de Ry^ le coefficient de y""^ est donc
</ — (>?„! = ^; donc
ou bien
De cette manière, on n'a besoin de connaître que les coefïîciens de 7/"~^ et 7/"""* dans le développement de
Paris, le 2 novembre 1826
RECHERCHES SUR LA. SÉRIE 1 + ™ .« + rl^^l^r* + "'^'"-^If"'-^) .r» +
Journal fQr die reine und angewandto Hatliematik, herans(;ef;eben von CreVe, Bd. I, Berlin 1826.
Si Ton fait subir au raisonnement dont on se sert en général quand il s'agit des séries infinies, un examen plus exact, on trouvera qu41 est, à tout prendre, peu satisfaisant, et que jiar conséquent le nombre des théorèmes, concernant les séries infinies, qui peuvent être considérés comme rigoureusement fondés, est très limité. On applique ordinairement les opérations de l'analyse aux séries infinies de la même manière que si les séries étaient finies, ce qui ne me semble pas pennis sans démonstration paiiiculière. Si par exemple on doit nuiltiplier deux séries infinies Tune par Vautre, on pose
(î^o + ^i + ^i + ^^3+ • • ^(^^o + î^i + ^a + ^sH 'O^^o^'o + K^'i+î/i^'o)
Cette équation est très juste lorsque les séries w^ -|- w^ -f- • • • et ^'o ~h ^i H~ • • • sont finies. Mais si elles sont infinies, il est d'abord nécessaire qu'elles convergent, car une série divergente n'a pas de somme; ensuite la série du second membre doit de même converger. C'est seulement avec cette restriction que l'expression ci-dessus est juste; mais, si je ne me trompe, jusqu'à présent on n'y a pas eu égard. C'est ce qu'on se propose de faire dans ce mémoire. Il y a encore plusieurs opérations semblables à justifier p. ex.
20 RECHERCHES SUR LA SERIE 1 + x 4- -—- — x« -f . . .
le procédé ordinaire pour diviser une quantité par une série infinie, celui de Télévation d'une série infinie à une puissance, celui de la déteriflination de son logarithme, de son sinus, de son cosinus, etc. '
Un autre procédé qu'on trouve fréquemment dans l'analyse, et qui assez sauvent conduit à des contradictions, c'est qu'on se sert des séries divergentes pour l'évaluation des valeurs numériques des séries. Une série divergente ne peut jamais être égale à une quantité détemiinée; c'est seulement une expression jouissant de certaines propriétés qui se rapportent aux opérations auxquelles la série est soumise.
Les séries divergentes peuvent quelquefois servir avec succès de symboles pour exprimer telle ou telle proposition d'une manière abrégée; mais on ne saurait jamais les mettre à la place de quantités détenninées. Par un tel procédé on peut démontrer tout ce qu'on veut, l'impossible aussi bien que le possible.
Une des séries les plus remarquables dans l'analyse algébrique est celle-ci :
Lorsque m est un nombre entier positif, on sait que la somme de cette série, qui dans ce cas est finie, peut s'exprimer par (l-j-x)"'. Lorsque m n'est pas un nombre entier, la série ira à l'infini, et elle sera convergente ou divergente, selon les différentes valeurs qu'on attribuera à m et à x. Dans ce cas on pose de même l'équation
/-il ' n. -I I ^* i m(in — 1) « I
nuiis alors l'égalité exprime seulement que les deux expressions
(l+^)« et 1-1- -a: -1-^:^1) ,.+ ...
ont certaines propriétés comnmnes desquelles, pour certaines valeurs de m et de Xj dépend l'égalité numérique des expressions. On suppose que l'égalité immérique aura toujours lieu, lorsque la série est convergente; mais c'est ce qui jusqu'à présent n'est pas encore démontré. On n'a même pas examiné tous les cas où la série est convergente. Lors même
RECHERCHES SUR LA SERIE ï -[ x A ~ x^ A 221
qu'on suppose Texistence de Téquation ci-dessus, il reste encore à chercher la valeur de (l-f-ic)"*, car cette expression a en général une infinité de valeurs différentes, tandis que la série l-\-mx-\- • • • n'en a qu'une seule.
Le but de ce mémoire est d'essayer de remplir une lacune par la solution complète du problème suivant:
"Trouver la somme de la série
"pour toutes les valeurs réelles ou imaginaires de x et de m pour "lesquelles la série est convergente."
Nous allons d'abord établir quelques théorèmes nécessaires sur les séries. L'excellent ouvrage de M. Cauchy "Cours d'analyse de l'école polytechnique", qui doit être lu par tout analyste qui aime la rigueur dans les recherches mathématiques, nous servira de guide.
Définition. Une série quelconque
sera dite convergente, si pour des valeurs toujours croissantes de m, la $omme Vo"|~^i"l~ * ' * ~h^w s'approche indéfiniment d'une certaine limite. Cette limite s'appellera la somme de la série. Dans le cas contraire la série sera dite divergente, et elle n'a pas de somme. D'après cette définition, pour qu'une série soit convergente, il est nécessaire et il sufïit que pour des valeurs toujours croissantes de w, la somme v^-j-ym+i-f- • • • -f-^m+n s'approche indéfiniment de zéro, quelle que soit la valeur de n.
Donc, dans une série convergente quelconque, le terme général v^ s'approchera indéfiniment de zéro*).
Théorème I. Si en désignant par po, pi, p^ . . . une série de quantités positives, le quotient ^^^j pour des valeurs toujours croissantes de w, s'approche indéfiniment d'une limite a plus grande que 1, la série
*) Pour abréger, on représentera dans ce mémoire par lo une quantité qui peut être plus petite que toute quantité donnée. •
Z22 RECHERCHES SUR LA SERIE l + x -\ ! x^ 4- - • •
OÙ f„ est une quantité qui pour des valeurs toujours croissantes de in ne s'approche pas indéfiniment de zéro, sera nécessairement divergente.
Théorème. II. Si dans une série de quantités positives Po ~|~ Pi "h P« ~f" ' • *
-[-p^-|- • . • le quotient ^"^S pour des valeurs toujours croissantes de w,
Qm
s'approche indéfiniment d'une limite a plus petite que 1, la série
«Opo + ^lPi + fîPsH |-^mP«H 5
OÙ fo, fi, fa etc. sont des quantités qui ne surpassent pas l'unité, sera nécessairement convergente.
En effet, d'après la supposition, on peut toujours prendre m assez grand pour que p«+i<«p„, P«+2<«P«+m ••• ?«+»< «P,«+n-i- ^ s^ii^ de là que Pm+*<«*P« et par suite
donc, à plus forte raison
««Pni + ^in + lPmfi+ * * * + «m + nPm+n < j^^^ *
Or, puisque Pw+t < «*(>« et «< 1, il est clair que p„ et par conséquent la somme
^wPm-h^fii + lPfif + l-f- ' • • -|-f«+«P« + «
aura zéro pour limite. La série ci-dessus est donc convergente.
Théorème III. En désignant par ^o? ^î 's? •••'«•• • ^^i^e série de quantités quelconques, si i^w = ^ -|- 'i "f" '« H" ' ' ' "h '« ^^^ toujours moindre qu'ilne quantité détenninée cT, on aura
^=^0^0 + ^1^ + ^2^2 H \-fJm<(f^O^
OÙ fo , f 1 , f a *. . . sont des quantités positives décroissantes. En effet, on a
fo=Po, t^=Pi—Poj h=Pt—lh etc.
donc
^ = hVo + ^1 (Pl —Po) + h {P% —]h) H h^fniPm —Pf.-l),
OU bien
r =Po{fo — fi) +i^i(^i — ^«) H hiV 1 (f«-i — f«) +P».f«. •
RECHERCHES SUR LA SERIE l -i- - - x -\ x^ -\ ZZÔ
Or les , différences f^ — ^i? «i — «2, . . . étant positives, la quantité r sera évidemment moindre que âsQ.
Définition. Une fonction fx sera dite fonction continue de x entre les limites x=^a et x = b^ si pour une valeur quelconque de x comprise entre ces limites, la quantité f{x — /?), pour des valeurs toujours décroissantes de /?, s'approche indéfiniment de la limite fx.
Théorème IV. Si la série
/« = i;o + î;ia + ^2«'^+ • ' • +^««"*H- • • •
est convergente pour une certaine valeur (J de a, elle sera aussi convergente pour toute valeur moindre que (T, et, pour des valeurs toujours décroissantes de /?, la fonction f(a — ft) s'approchera indéfiniment de la limité fa , en supposant que a soit égal ou inférieur à â.
Soit
^m«"' + Vm+i«'"'^'H =ipa,
(ce A** ji ] Pj P désignant la plus grande
des quantités v^â"^^ v«J"* + ^'«+i(^'"'^S ^«J'" + Vm+i^*""^^ + ^>»+2^"'"^* ®*<5. On pourra donc pour toute valeur de a, égale ou inférieure à J, prendre m assez grand pour qu'on ait
ipa = 0).
Or fa=^ipa-\-^pa^ donc ^a — f(a — /î) = (^a — ip{a — /?)-[- to.
De plus, ipa étant une fonction entière de a, on peut prendre /? assez
petit pour que
(pa — (p{a — /?) = «>;
donc on a de même
fa—f{a — li) = œ,
ce qu'il fallait démontrer.
Théorème V. Soit
une série convergente, dans laquelle i?o , v^^ v^ . . . sont des fonctions conti-
224 RECHEKCHKS SUR LA SÉRIE 1 + "* x + - - "^- x^ A
nues d'une même quantité variable x entre les limites x = a et x=^b^ la série
oîi a < â, sera convergente et fonction continue de x entre les mêmes limites.
Il est déjà démontré que la série fx est convergente. On peut démontrer comme il suit, que la fonction fx est continue. Soit
fx = (pX'-\-ipx.
Or
donc en désignant par 0x la plus grande des quantités v^cî"", ^m^"'-f-^^+i^"*"*"S ^m^"* "h ^111+1^^'"^^ + ^«.+2^'"''"* etc., on aura en vertu du théorème III:
ipx < -^- Ox.
Il s'ensuit qu'on peut prendre m a.ssez gi'and pour qu'on ait ipx=-œj et que par conséquent on ait aussi
fx=::(px-\-a)^
oîi Cl) est moindre que toute quantité assignable.
On a de même
f{x-l3) = ip{x-l3)-{-w, donc
fx-^f(x — ft) = (px — (fix — p) -f- œ.
Or d'après la forme de (px il est clair qu'on peut prendre [i assez petit
pour qu'on ait
ipx — ip(x — li) = w^ d'où l'on tire
fx—f{x — li) = a}.
Donc la fonction fx est continue*).
*) Dans Fouvrage cité de M. Cauchy on trouve (p. 131) le théorème suivant: ^'Lors- ^'que les différens tenues de la série, '^o "4" ^i 4" "a + ' ' ' ^^"* ^®® fonctions d'une
RECHERCHES SUR LA SERIE 1 -\ x 4- ^-- ~ ~ x* +
Tkêorhme VI. Lorsqu'on désigne par po , pi , p^ ^*^- {fot Çii 9% 6*^- 1^^ valeurs numériques des membres respectifs des deux séries convergentes
si les séries
sont de même convergentes, la série ^ o -}" ^'i "}- ^'a 4- • • •> dont le terme général est,
sera de même convergente, et aura pour somme
o-o+«',+?'iH — )('';+<+r/+ • • •)•
Démonstration. En faisant,
on voit aisément que Soit
eo+ (>i+ p«+ • • • =?^
il est clair que, sans égard au signe, on aura,
^ < «^ ((*'«« + (^'««.-1 H hp'«+i)
"même variable x, continues par rapport k cette variable dans le voisinage d'une "valeur particulière pour laquelle la série est convergente, la somme s de la série "est aussi; dans le voisinage de cette valeur particulière, fonction continue de xP Mais il me semble que ce théorème admet des exceptions. Par exemple la série
sin X — ^ sin 2.r + ^ sin 3^ — • • •
est discontinue pour toute valeur (2wi + V)7z de ^, m étant un nombre entier. H y a, comme on sait, beaucoup de séries de cette espèce.
226 RECHERCHKS SUR LA SÉRIE 1 + "* x + "* *'" - «« H
Or les séries (>o"f'Pi"hPîs"f" ' * ' ^* Po^hPi'H"?*'"!" * • * étant convergentes, les quantités t et t\ poiu* des valeurs toujours croissantes de m, s'approcheront indétininient de la limite zéro. Donc en faisant dans l'équation (a) m infini, on aura
'•o + ^'i + ^. + '^aH =K + ^*i + ^'2H ) (^'o' + ^V + «^'/ H ).
Soient fQj t^j fjj) • • -î ^0% ^i j ^j{' . . . deux séries de quantités positives ou négatives, dont les tenues généraux s'approchent indéfiniment de zéro, il suit du théorème II que les séries fo-^t^a-^t^a^ -^^ - • • et /o'-|-//a-|-/^'a* -|- • . 5 oîi a désigne une quantité inférieure à l'unité, doivent être convergentes. Il en sera de même en attribuant à chaque terme sa valeur numérique, donc en vertu du théorème précédent:
( +(^.C + ^.-i^' + ^.--.VH \-f,fJ)a--\
Maintenant si l'on suppose que les trois séries,
^0 ^o' + (^ ^o' + ^0 fi) + (^ ^o' + ^ ^' + ^0 f/) H —
soient c<jnvergentes, on ti'ouvera, en vertu du théorème I\', en faisant dans l'équation (b) « converger vers l'unité:
= ^0 to + (^ 'o' 4- '« fi') + (f* to + 'i h' + fo U') H
Examinons maintenant la série proposée,
En la désignant par cfm, et faisant pour abréger, l = wi^^, =/«i,
m(m — 1) ^ ^ y 1 ififtn — 1) . . . (m — /« + !)
\ —^=ni.^ et en général — ^ i o~~ —f^^m ^^i *^ui*î^
KECHERCHES SUR LA SKRIE !+"'« + - ^"' ^^ a;« 4 227
Il s'agit d'abord de trouver les valeurs de 7n et de x pour lesquelles la série est convergente.
Les quantités m et x étant généralement imaginaires, soit*)
où a, &, Àr, /c' sont des quantités réelles. En substituant ces valeurs dans l'équation (1), elle prendra la fonne
(pm =p-\-qî\
où p et q sont des séries dont les tenues ont des valeurs réelles. On peut trouver ces séries de la manière suivante: Soit
[a^J^h')^ = a, -^-=cos</), ~=mi(p,
l'on aura
xz=a (cos (p -|- ?'sin y),
où a et (p sont des quantités réelles, a étant en outre positif. Si l'on fait de plus
m — «4-1 ., / I • • \ k 4- k' i — jM + 1
- '^ = ^/. («os y^, 4- î sui y^ ) = ^- - - ^
011 trouvera
it— M + 1 . A:'
; cos y = ^-r-! — ; sni y =
Si dans l'expression
^^ - - = "^u (cos /^ + 1 sm y^, ) ,
on fait successivement // égal à 1, 2, 3, ... /^, on obtiendra fx équations qui multipliées terme à tenue donneront
^ m {m — 1) (hj— 2) . . . («i-^^ + 1)
On tire de là, en nniltipliant par
*) Pour abréger les formules nous écrivons partout dans ce mémoire i au lieu de Y — 1.
Note de» éd.
228 RECHERCHES SUR LA SÉRIE 14-"** + - - ' ^l x^ + - "
m^x^' = a^â^â^(y,, . . . <î« [cos (/tcf 4-/1-1- /.-f • • • 4-/,,)
