RECHERCHES SUR LA SERIE

cos a -|- ^ cos (a — ff)-^ ^^ PT-— cos (a — 2y) -f- • • •

tN(p

= (2 -}- 2 cos y) * cos a — 21 ^^^^^ (depuis ^(p = (f7i — Y jusqu'à i9> = (':^ + -f * Or puisque 2 -|- 2 cos y = 4 (cos ^ y)*, ou aura, en faisant (p=z2xj

cosa + -r-cos(a-2x)H -^ ^ ^cos(«-4;r)+ • • • = (2 cosx)"*cos(a"ma;H-27?i(>:r7)

depuis iç = 2p7r--^- jusqu'à x=^2jQ7i + -^ cos a + Y cos (a- 2x) + ^^S, " ^ cos (a- 4x) H =(-2 cos xY cos [a-ma:+m(2 (j+ 1)71]

depuis x = 2(}7t + -^ jusqu'à x = 2(fn + -^' Si Ton fait ici 1) a = 7nx; 2) a==:mx-|- -^; 3) a = myj x = y

a = my -^ x = y — -^> on obtiendra

2 cosa:)"cos27W(*7r=«coswa: + -T-cos(m-2)xH — ^— ^cos(m-*4)x+ • • • >

2 cos x)* sin 2mp7i =« sin ma? + -y sin (r/i- 2)ic -| — \ ^^ sîu (m-4)a: + • • • >

depuis ic = 2p7r--^ jusqu'à ic==2(*7r + -ô-;

^ . v /ex A\ '^^^ / c\\ r/i(rn-l) , .v

2 sm a:) cos /ai (2 p + -J-) ti = cos mx - ^- cos (m- 2)x H — i~ô cos (m- 4) x -

2 sin x)"* sin m (2 (I + ^) 71 = sin mx - -:j- sin (m- 2)x H — \ <n, ^^^^ (m- 4) a; -

depuis ic = 2 (>7r jusqu'à x == (2 p + 1) tt ; - 2 COS x) cos m\zç-\'\)n=^ cos 7aix + -.- cos (7/^- 2)x H — j- ~ cos (m- 4) x +

-2cosx) sm7Ai(2p+l)7i = smmx+ Ysm(m-2)xH — 1-0 siu (//i-4)x +

depuis iç = (2p-f- J^)7r jusqu'à x = (2p + |)7r; "2 sin x)"* cos w(2(i + 1)71==' cos T^ix - -|-cos(m-2)xH — i-^-^ cos (m- 4) x -

- 2 sin x)"* sin m(2 p + f )7i == sin mx - -'- sin (7/1- 2)x H — ^ ^ ■ sin (7^1-4) x -

depuis x = (2p+l)7r jusqu'à x=-(2p+2)7r.

250 RECHERCHKS SUR LA SÉRIE i 4- -^ as + -- -'" ^ U« -|

Ces formules ont encore lieu pour les valeurs limites de ic, lorsque m est positif. Lorsque m est compris entre — 1 et 0 ces valeurs sont exclues. Comme cas particuliers on peut considérer les deux suivants:

(2 cos x)"* = cos mx -[- -.- cos {m — 2) x -1- ^' ^[ ,^ — - cos (m — 4) x -1- • • • > 0 = sm mx -j- ^ sm (m — 2) a: -| \ <^ sm (7M — 4) x -|- • • • >

depuis X = — ^ jusqu'à x = ^- •