XY

Journal ftir die reine und angewandte Mathematik, herausgegeben von CreUe, Bd. II, Berlin 1827.

Lorsque une intégrale définie contient une quantité constante indéterminée, on peut souvent en déduire, par différentiation, une équation diflférentielle par laquelle l'intégrale définie peut se déterminer en fonction de la quantité constante. Le plus souvent cette équation différentielle est linéaire ; si elle est en même temps du premier ordre, elle peut, comme on sait, s'intégrer. Quoique cela n'ait pas lieu en général, lorsque l'équation est du second oi'dre ou d'un ordre plus élevé, on peut pourtant quelquefois déduire de ces équations plusieurs relations intéressantes entre les intégrales définies. Montrer cela sera l'objet de ce mémoire.

cL^y dit

Sôit -)Y'\-p-j--\-^y = ^ une équation diflférentielle linéaire du second ordre entre y et a, ^ et ç étant deux fonctions de a. Supposons qu'on connaisse deux intégrales particulières de cette équation, savoir y = yi et y==zy^^ on aura

De ces équations on tire, en éliminant g,

y* ila^ ^ y^ (Ui* ~~ du ~~ P\y* tia y^da

donc en intégrant

e étant la base des logarithmes Népériens.

Supposons que les deux fonctions y^ et y^ soient exprimées en intégrales définies, de sorte que y^ = jvdx^ y^=. I udx^ v et u étant des fonctions de X et de a, cette relation entre yi et y^ donne en substituant,

(1) fndx j-^ dx— fvdx f'^l'-dx = e-f^'\

Cette équation exprime, comme on le voit, une relation entre les quatre intégrales I udxj I vdxj I -T-dXj / , dx. Il s'agit maintenant de trouver

des intégi'ales qui puissent satisfaire à une équation différentielle du second ordre. Il y a plusieurs intégrales qui jouissent de cette propriété, et que nous allons considérer successivement.