I. Soit ^^ = ^l.(l^,)^-/^ et y=J^^^-^ÇiL:ry

(la

le signe / dénotant que l'intégrale est prise depuis x=-0 jusqu'à xz=l.

En différentiant la quantité {x-\-ayx''{}'—xY = r par rapport à ce, on obtient

dr = dx.x"-^{l—xy-^{x-\-ay-^[Yx{\—x)'-{-a{x-\-a){l — x)—(i{x-\-a)x].

yx (1 — x) -\-a{x-\- a) (1 — x) — [i{x-\-a)x

= -rK+«) + [«(/5+y)+(«+i)(«+/)](^+«)-(«+/î+?')(a^+«)%

donc en intégrant entre les limites a; = 0, x=l, on obtient

+[(/»+ r) "+(« +r) (" + i)\£.^êlw->-('+l>+r)fi'^§'"f

(Lt

De cette équation on tire, en divisant par — ^i et substituant à la place des intégrales leurs valeurs en y,

m "^"y /«+y \^+Yy^y \ (y+i)(«+/^+y),,o

Si Ton met à la place de a, /î, ;^ respectivement 1 — /î, 1 — a, a-|-/î-|-j^ — ^7 ^^ aura la même équation, donc

sont deux intégrales particulières de cette équation.

Or p = — '^^- — ^^^j et par conséquent c"/'^" = (7a^+y (1 + a)^+y, donc l'équation (0) donne

(4) y. -t - y^ t; = Ca''^y(l-^ ay^r.

Pour déterminer la quantité constante C, soit o, = 00, on trouvera facilement

G= — {a-{-ft — l)(dx.x''-'{\~xy-\(dx.x-P{\—x)-',

c'est-à-dire

Ç=7r [cot (cfTf) 4- cot (/î.t) ] .

Par suite l'équation (4) donne

[ = — 7T [cot («tt) -|- cot {(in)] a^'+y (1 -j- a)^+y.

Le cas oîi y= — a — /î mérite d'être remarqué. On a alors, comme on le voit aisément,

r dx 1 r dx

J^ :ri-«(l— ^i-P?(;p+a)«+/' ~ a/^(l + (i)«J^ ^i-a(l.r)î^^ * Or

r' tir ra.Tfl

Fm étant égal à / x'^~} e""" dx ^ donc

dœ Ta . T(i

Soit p. ex. 13=1 — aj on aura

r^ dx^ ra^r(l--a) 1

J^ (l a?)«.î;i-«"(7r+a) r(l) ~" âï^ (ï"+ a)«

or r(l)=l, ra.r(l — a) = -^^^j donc

dx 7t

^ (.r+a).r^-«(l — xY sina/r ai-«(l-|-a)« r^ x-'^dx

IL Soit ?/= / /i \ \H( jT^rr' ^^ diflférentiant on obtient

dy C^^ x-^dx

Lorsqu'on difiFérentie la fonction x^~''{l-^xy~^{x~\-a)^'^~^ = r^ on obtient

x~^dx

donc, puisque

On tire de là en intégrant

En mettant respectivement 1 — /î, 1 — a, /~f~^"|~/^ — ^ ^ ^^ place de «,/?,/, il en résulte la même équation, donc

SUK QUELQUES INTÉGRALES DÉFINIES. 2ÔÔ

r°° a;-" <lx __ f j;^-^ cLc

sont deux intégrales particulières de cette équation.

Or, puisque p = '^-^±l et par suite e"-^'*' = ;^+y-(ï^;ip+y

on a en vertu de l'équation (0)

di/^ dy^ C

^* "(la y^ 'd^ "" â»+y{l—a)f+v '

En faisant a=l, on trouve 0=0, et par conséquent

y^ da y^ da — "'

c'est-à-dire y^ = Cy^ , G étant une constante. Pour la trouver on fera a = 1 ; on aura

donc

Jo 'Ô^fW^^~ Jo i^ + ^y^r'

°° .g-°tia! r(l — a)r(g-|-/?-|-y— 1)

"* .vfi-^ dx r/9 . ry

r(l-a)r(«-h/î-hy-l)

Par conséquent l'équation yi = Cyi donne

r°° jr-odr r(l— «)r(«+;9 + y— 1) r~ ar/^-idr

j« (l-|-x)/'(^+a)}'— r/î.ry j, (14-;t)i-''(x-fa)''+/H-y-i'

Si dans l'équation (6) on met (1 — a) à la place de a, /9 et « à la place de a et /9, elle ne change pas de forme. Il s'ensuit que

est de même une int^gTale particulière de la même équation. On a donc

y*~d^ y^ IkT ~ a«+y (1 — a)/»+y '

256 SUK QUELQUES INTÉOBALES DÉFINIES. *

Eli mettant xa à la place de x dans l'expression de 3/x, ou obtient

^'~" Jo (l+..))'(T+ax)>î -<la-— y"" J, (l + ;r)/+»(l+eu.-)^-

On trouve de même, en mettant (1 — a)x à la place de x^

En substituant ces valeurs, multipliant par a''*^{l — a)^'*'!! et écrivant C au

lieu de ? on trouve

a~^ dx

Pour trouver C, soit a = 0, on aura

Si l'on fait p. ex. (3=1 — a, on aura en remarquant que

7'(1 — a)7'a = -^^^, /'(/ + 1) = y . Tr :

(\-\-x)r[l-\-{\—a)wY

Lorsque a = y = ^ on a

:(l + «)(l-|-aa:) Jo V a;(l + a:)=« [1 + (1— a)«] "•"^ ~"Vo 1/^1 + ^e) [1 + (1 -a) xj ■ jo y^(T+xj^

Toutes ces intégrales peuvent s'exprimer par des fonctions elliptiques. En effet, soit x' = (tangy)^, on aura après quelques ti-ausfbnuations légères

Jo Vl — (1 — a)8in*(jp Jo Vî — a.Bin^qf)

Jo yi — asin^fjp Jo Vî — (1 — a)sin^y

c'est-à-dire, lorsqu'on fait a = c^, 6^=1 — c^,

J = F\c) E\b) + i?'X6) E\c) - F^ (c) F^è), où, d'après la notation de M. Legendre^

Jo VI — c*Bm*qp Jo

La fonnule ci-dessus se trouve dans les E-xercices de Calcul intégral par M. Legendre^ t. I, p. 61.

Dans la formule générale (7) les intégrales peuvent s'exprimer par

d'autres dont les limites sont 0 et 1. Soit à cet effet x = -r-^ — ; on aura

(8) ; n7+i) ~'~ ~ Jo r[i-(i-«)yP *Jo y(i-«y)" '

"*"^ Vo r[i-(i-«)# 'Jo">''(i-«y)" ' *

Nous avons vu plus haut que

f^ dx Fa.Tfi 1

J^ aj"^-« (1 — ar)i-iî^ (-c + a)«+/^ ~ f{a + f) \ â>(l + a)« '

On peut trouver, comme il suit, une expression plus générale de laquelle celle-ci est un cas particulier. Eu différeiitiant l'intégrale

^ Jo {^ + aY^r~^

par rapport à a, on obtient

dy^ du

Il s'ensuit que

En nuiltipliant cette équation par «''(l-j-a)", le premier membre devient une différentielle complète, égale à cZ[y.a^(l -j-a)"], on aura donc en intégrant

Pour trouver 6', qui peut être une fonction de x^ nous ferons a^=-oo* On aura

y. a/' (! + «)«= rdx.x''-'{l—xy-\

et par conséquent,

hi loii tait « = - - > et par suite y:= — ,- , on trouvera

= x-" (1 — x)-^ i— j dx. x"-' (1 — xy-' -{- f dx. x"-' (1 -

En substituant cette valeur, on obtient

et par conséquent

Si p. ex. «-]-/?=: 1 , on aura •

Si de plus a:=\^ on obtient

J„ (.r+«)l/.«— X* ' ' J,(«|,«)yrt + «*

ce qui est juste, car

r V -''.-^— = , — arc. tang l/^^:+^ ,

r... .^ .= i.. ave. taug l/«- «•^- .

et arc. tang z -]- arc. tang — =9

m. Soit y = r e-^x""-^ (1 — a:)^-' dfx, où a > 0, /î > 0. En différentîant par rapport à a on obtient

da d*

^1- = Çe-'^x'*^ (1 — xy-^ dx.

Lorsqu'on différentie la fonction r = e~^'ic"(l — xY par rapport à x on obtient

dr = ae-'^x''-^ (1 — x)^-' dx — (a -f /9 + a) e'^a:^ (1 — x)''"' dx

-|- ae-?'x«+' (1 — xy-"^ dx,

donc en intégrant depuis a: = 0 jusqu'à a: =: 1 , et substituant pour les intégrales leurs valeurs en y, -,- et , ^ :

rfa da'

On satisfait aussi à cette équation en faisant

y=yi= r e-~ x"-^ {x — . l)""^ dx,

a étant positif. Or on a p= ^-|-1, donc e-f''^'=. ^ • Donc l'équation (0) donne

•^^ c/a ^ da éJ^tt^+Z''

Si dans l'expression de ?/, on met x-|-l à la place de x^ on trouve

/•»oc

(la

OU bien, en mettant -' - à la place de x^

'^^^ = — e-^ a-«-^ f e-' x^-' {a-\-xY dx.

P]n substituant ces valeurs de T/i , —j^- de même que celles de y^ , ? en multipliant par e'*a"'^^j et faisant a = 0, on trouvera

c'est-à-dire

C=l e-'dx.x"^"-'. dx.r''-'{l~xy-\

On aura donc

ra.ri3= e-^ dx . x""* (1 — xy-' . e-'dx. x^'^ {a-^-xY

— al e-«' dx . x« (1 — xy-^ . / e"* dx . x^-' {a -f x)"-'.

Jo J 0

Lorsque /î=l — cf, on a

. /" ^•'^ e-i^--]\ re-dx ( 1 + M"