OO

y=j^ 6-'V-^cZ^ = irjJ-j,

dite

y,= re-'--x''-'dx = \r\^l

donc en substituant:

et par suite

|r("-+M /'j~je"*= /" e'"-''dx.x''-'. er'^'^dx.x"

-\- / «"-"=' dx.x".! e-^-^'dx . a;"-^

Jo Jo

Si Ton met a \ — 1 à la place de a, on obtient la formule suivante:

irh'^M /^[^ )c' *= r dx.e-''i^o^ax.x''-\f dx.e-'^'c

cos ax.x

-|- / dx . e^''* sin ax x"~^ . / dx. e'""' sin ax . x^,

Note. Les quantités constantes (exposants), qui sç trouvent dans les intégrales de ce mémoire, doivent -avoir des valeurs telles que les intégrales ne deviennent pas infinies. Ces valeurs sont faciles k trouver.

XYL

Journal fitr die reine iiud angewandtc Matbematik, herausgegeben von Crelle ^ .Bd. 2, 3. Berlin 1827, 1828.

Depuis longtemps les fonctions logarithmiques, et les fonctions exponentielles et circulaires, ont été les seules fonctions transcendantes, qui ont attiré l'attention des géomètres. Ce n'est que dans ces derniers temps, qu'on a commencé à en considérer quelques autres. Parmi celles-ci il faut distinguer les fonctions nommées elliptiques, tant pour leur belles propriétés analytiques, que pour leur application dans les diverses branches des mathématiques. La première idée de ces fonctions à été donnée par l'inmiortel EuJer^ en démontrant, que l'équatîon séparée

„- - .^^^ .-. 4__. JP ^^ ^0

est intégrable algébriquement. Après EuJer^ Lagrange y a ajouté quelque chose, en donnant son élégante théorie de la transformation de l'intégrale

— -- ' / — = 1 oh E est mie fonction rationnelle de x. Mais le pre-

V(l — pKv^)(l — qKe^) ^

mier et, si je ne me trompe, le seul, qui ait approfondi la nature de ces fonctions, est M, Legendre^ qui, d'abord dans un mémoire sur les fonctions elliptiques, et ensuite dans ses excellents Exercices de mathématiques, a développé nombre de propriétés élégantes de ces fonctions, et en a montré l'application. Depuis la publication de cet ouvrage, rien n'a été ajouté à la

tiléorie de M. Legendre, Je croîs qu'on ne verra pas ici sans plaisir des recherches ultérieures sur ces fonctions.

En général on comprend sous la dénomination de fonctions elliptiques, toute fonction comprise dans l'intégrale

Rdx

Va -f /î^.'c + yx^ + ôx^ + ex^ '

où R est une fonction rationnelle et «, /?, y^ âj e sont des quantités constantes et réelles. M. Legendre a démontré que par des substitutions convenables on peut toujours ramener cette inté'grale à la fonne

Pdy

Va + Z^^^ + cy*

où P est une fonction rationnelle de y*. Par des réductions convenables, cette intégi-ale peut être ensuite ramenée à la fonne

A + By^ dy

et celle-ci à

A + B&'m^O de

où c est réel et moindre que l'unité.

Il suit de là, que toute fonction elliptique peut être réduite à l'une des trois formes:

J y 1 — c^&m^e J J (i + wsi

(l + nsm^e)Vl — c^sm^e

auxquelles M. Legendre donne les noms de fonctions elliptiques de la première, seconde et troisième espèce. Ce sont ces trois fonctions que M. Le^ gendre a considérées, surtout la première, qui a les propriétés les plus remarquables et les plus simples.

Je me propose, dans ce mémoire, de considérer la fonction inverse, c'est-à-dire la fonction y a, déterminée par les équations

Vl — c'^&m^e sin 0 =z(pa^=x.

La dernière équation donne

de\/i-^Hm^e = d{(pa) = dx,

KECUEKCHES SUK LES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 265

donc

r dx

y(l ^a) (1 c^ af^y

M. Lef/endre suppose c^ positif, mais j'ai remarqué que les foinnules devieuîieiit plus simples, en supposant c^ négatif, égal à — e". De même j'écris pour plus de symétrie 1 — c^x^ au lieu de 1 — x^^ en sorte que la fonction (pa = x sera donnée par l'équation

dx ou bien

Pour abréger, j'introduis deux autres fonctions de a, savoir

Plusieurs propriétés de ces fonctions se déduisent innnédiatement des propriétés connues de la fonction elliptique de la première espèce, mais d'autres sont plus cachées. Par exemple on démontre que les équations ya = 0, fa =: 0 , Fa = 0 ont un nombre infini de racines, qu'on peut trouver toutes. Une des propriétés les plus remarquables est qu'on peut exprimer rationnellement (f{ma)^ f{ina)j F {ma) (rn étant un nombre entier) en </)«, fa^ Fa. Aussi rien n'est plus facile que de trouver cpijna)^ f{ma)^ F[ma)^ lorsqu'on connaît (pa, fa^ Fa\ mais le problème inverse, savoir de déterminer y a, y«, Fa en cp{ina)^ /{via)^ F[ma)j est plus difficile, parcequ'il dépend d'une équation d'un degré élevé (savoir du degré 7n^),

La résolution de cette équation est l'objet principal de ce mémoire. D'abord on fera voir, comment on peut trouver toutes les racines, au moyen des fonctions </), f F. On traitera ensuite de la résolution algébrique de l'équation en question, et on parviendra à ce résultat remarquable, que

(p ' ./ ' F — peuvent être exprimés en y«, fa, Fa^ par une formule

qui, par rapport à «, ne contient d'autres irrationnalités que des radicaux, (îela donne une classe très générale d'équations qui sont résolubles algébriquement. Il est à remarquer que les expressions des racines contiennent des quantités constantes qui, en général, ne sont pas exprimables par des quantités algébriques. Ces quantités constantes dépendent d'une équation du degré vi^ — 1. On fera voir comment, au moyen de fonctions algébriques,

266 KECHERCHES SUR LES FONCTIONS ELLll'TKJUES.

on peut eu rauieuer là résolution à celle d'une équation du degré m -f- 1. On doimera plusieurs expressions des fonctions y)(2w~|-l)a, y(2;i-j-l)«, F{2n-\- 1)« en fonction de (pa^ fa^ Fa. On en déduira ensuite les valeurs de <pa^ fa^ Fa en fonction de a. On démontrera, que ces fonctions peuvent être décomposées en un nombre infini de facteurs, et même en une infinité de fractions partielles.

Pi'opriétes fomlament^iles des f onctions (fa y /a, Fa,

En supposant que (1) <pa = x^

ou aura en vertu de ce qui précède

Par là on voit que cf, considéré comme fonction de x, est positif depuis x=z() jusqu'à x= • En faisant donc

/„x io Ce dœ

il est évident que ifja est positif et va en augmentant depuis a = 0 jusqu'à « = -^ 5 et qu on aura

Connue a change de signe, lorsqu'on écrit — x à la place de x^ il en est de même de la fonction (pa par rapport à a, et par conséquent on aura l'équation

(5) y( — «) = — (pa.

En mettant dans (1) xi au lieu de x (où /, pour abréger, représente la quantité imaginaire }/ — 1 ) et désignant la valeur de a par /îz*, il viendra

(6) xi=(p{fti) et /î= /

lUfiCHERCHES SUR LES PONCTIONS ELLIPTIQUES. 267

P est réel et positif depuis x=.0 jusqu'à a: = — ? donc en faisant

/yx <3 r* dœ

X sera positif, depuis /? = 0 jusqu'à /?= ^^ ? c'est-à-dire que la fonction -^ (p{fti) sera positive entre les mêmes limites. En faisant (3= a et

y = - V - ? on a

di/

donc on voit, qu'en supposant e au lieu de e et e au lieu de c,

w(ai) ,

-^-V-- se changera en cpa.

Et comme

on voit que par le changement de c en e et e en c, /(clî) et F (ai) se changeront respectivement en Fa et /a. Enfin les équations (3) et (7) font voir que par la même transformation w et w se changeront respectivement en cD et lo.

D'après la formule (7) on aura x= pour /?z=^ ? donc en vertu de l'équation xi = (p{(it)j il viendra

En vertu de ce qui précède, on aura les valeurs de y a pour toute valeur réelle de a, comprise entre — -^ et -|-^' 6t pour toute valeur imaginaire de la forme /5^ de cette quantité, si /? est une quantité contenue entre les limites — ^ ^* H" ^ ' I^ s'agit maintenant de trouver la valeur

de cette fonction pour une valeur quelconque, réelle ou imaginaire, de la

variable. Pour y pai'venir, nous allons d'abord établir les propriétés fondamentales des fonctions (p^ f ai F.

Ayant

on aura, en diflférentiant

fa .f'oL = — c* (pa . y'a,

Fa . F^a = e} cpa . (p'a.

Or d'après (2) on a

ip'a=f(}—e\''a){l + e"V«) =fa . Fa,

donc, en substituant cette valeur de (p'a dans les «deux équations pi'écédentes, on trouvera que les fonctions cpa, fa, Fa sont liées entre elles par les équations

!(p'a=fa . Fa, f'a = — c'(pa.Fa, F^a^=ze'(pa .fa.

Cela posé, je dis qu'en désignant par a et (3 deux indéterminées, on aura

(10) l /(«+/?)= •^"•'Ti^'r^^Tr''^

Ces formules peuvent être déduites sur le champ des pi-opriétés connues des fonctions elliptiques [Lef/erulre Exercices de (Jalcul intéo-ral); mais on peut aussi les vérifier aisément de la manière suivante.

Fax désignant par ?• le second membre de la première des équations (10), on aura, en différv^ntiant par rapport à «,

dr 2^. /(i^F(i + ffti .^W'a + ft^^^ • F'a (la 1 + e^e^ff^a . (p-fi

((pa^iS . Fft + (pi^ . fa . Fa) 2 e'^e^ifo^. rp^ft . rp'a

(l-{-e^c^fp*a.q>^^y

En substituant pour cp'a, fa, F' a leurs valeurs données ])ar les équations (9), il viendra

RECHERCHES SUR LES* FONCTIONS EIJlIPTIQUES. 269

dr fa.Fa.f(i.Fii 2e^^(p^a^fp^li.f^(x,fii.Fa.Fîi (la ""*" ï-\-e^c^(p-a.(p^ii (1 + e^ c^ tf^ a . cp^ (iy

, (pa.(pli^(l + e^c^fp^a,(p^(]) (— c^ F^a + e^Pa) — 2eh^cpa . (p(i . (f'^iS ./-'« . F^a

d'où, en substituant pour f^a et F^a leurs valeurs 1 — c^ip^a^ l-\-e^(p^a^ et en réduisant, on tire

dr (1 —e^c^cp^a . qn^) [(e^—c^)fa . fp^+fct .//^ . ^. i^/^] — 2^*c^f/>a . (p ^{(f^ a^ (f^) da (1 -\-e^c^(p^a .fp^[iy

Maintenant a ai (i entrent symétriquement dans l'expression de r; donc on

dj* d'V

aura la valeur de ,- ? en pennutant a et /î dans la valeur de ,- • Or

par là l'expression de -, ne change pas de valeur, donc on aura

dr dr

da dii

Cette équation aux différentielles partielles fait voir que r est fonction de «-|-/9; donc on aura

La fonne de la fonction i// se trouvera en donnant à (i une valeur particulière. Kn supposant par exemple /?=zi:0, et en remarquant que cp{0) = 0^ y(0)=l, 7^(0)=!, les deux valeurs de r deviendront

r = (pa et rz=i^.«, donc

iffa = (pa^ d'oïl

La première des fonmiles (10) a donc effectivement lieu.

On vérifiera de la même manière les deux autres fonnules.

T)es formules (10) on peut déduire une foule d'autres. Je vais rapporter quelques-unes des plus remarquables. Pour abréger je fais

(11) l-\-e'c'(pra.(p'/i=:R.

En cliangeant d'abord le signe de /?, (m obtiendra

ir(« + /9) + i'>-^) = ^^«^*'''., En fomiant le produit de (p(a-\-(i) et c/)(« — /?), on trouvera

ou, en substituant les valeurs de /^/î, F^ft-, ,P^j ^*« en y/^ et (pa,

y (« + /?) . y (« - /?) = -^^^ - 'f'i^- ^'^^^(^ + «AiV/^r/"

or ^= 1 -j-e'fl'y'a.ç)*/?, donc

(13) <p{a-\.ft).ip{a-P)='^'-^-'r'Ê .

On trouvera de même

1 4- <!»y»« + <> W — e^c*(f*a . y»/? F*a. F*p — e*(i!» + e*)fp*tt.q'*^

' îT

KKC'UKKCIIKii SUK LES FUNCTIONS ELLIPTIQUES.

En faisHUt dans les fbnnules (10) /?=+'> fi = ^ i^ et en reniar-

quant que /(±-Jj = 0, i^^(±|-i) = 0,

ou aura

ou bien:

De là on tire

^ /0.\ Fa „/ ^ <3 .\ ^ -^(yV ff«

<r(îO

yg«-l"c« 1

i>Ma±2 1 =

±7>^^(«iM=±^'>^^^+~^"/:-^

sur le champ

*'iv+«i=-f'(:;

272 RECHERCHES îJUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES.

En faisant a rz= . et ^^ ^\ on en déduit

En mettant ensuite dans les troîs premières équations (17) « -f- o ^*i ^^^^^ ^^

a, et dans les trois dernières a-^-^i au lieu de a, on obtiendra les suivantes

\ (p(a-\-iùi)=: — (fa] fia-\-(î>'i)= fa] F{a-\^(Di)= — Fa]

et en mettant a-\-oj et a-\-iOi au lieu de a:

(p{2w-\'a) = (pa] (p(2U)i-\-a)=- ipa] cp {w -\- mi -\- a) =^ (pa ] (20) { 7(2^0, + «) = /«; f{mi-\^a) = fa]

F{io-\-a) = Fa] F(2mi^a)^Fa.

Ces équations font voir que les fonctions ipa^ fa^ Fa sont des fonctions périodiques. On en déduira sans peine les suivantes, où m et n sont deux nombres entiers positifs ou négatifs:

(p\^(vi-\-n)vt}-\-{m — Ji)Gi'i-\-a'\=i(pa]

(p [(/Al -\-n)œ-\- {in — n -[- 1) «Ji -|- a] = — (pa ; j /(27M£0-f-ruDz -[-«)=/«; /[(2/ai-|- \)œ-\-n Gii -\' a^ =: — fa, ( i<^(7/^(o-{-2/^(î)^-f «):=ia; F[mio-{-{2n-\- l)G)i-\-a] = — Fa,

Ces formules peuvent aussi s'écrire connue il suit:

cp{inuj-\'n(ôi+a)=:^±{ — l)"*"'""y«, (22) { f{viio~\~7iwi±a) = {—lYfa,

F{frioj -[-7^cD^ ± a) = (— lyFa.

On peut remarquer comme cas particuliers:

K£CH£KCHËâ SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 273

(p(7nio±a) = ±( — l)~ç)a; (p{nCOi±a) =:±( — lycpa]

(22') l /(mco± a) = (-!)«/«; /(^«J^± «)=/«;

F{7na) ±a) = Fa] F(nmi± a) = (— l)** Fa.

Les formules qu'on vient d'établir font voir qu'on aura les valeurs des fonctions cpa^ fa^ Fa pour toutes les valeurs réelles ou imaginaires de la variable, si on les connaît pour les valeurs réelles de cette quantité, comprises entre ' et — ' et pour les valeurs imaginaires de la forme pi^

ou p est compris entre -^ 6* ^*

En effet, supposons qu'on demande la valeur des fonctions ip{a-^[ii)^ /(a-[-/?z), jF(a-[-/î^), où a et /? sont des quantités réelles quelconques. En mettant dans les formules (10) /î^ à la place de /î, il est clair qu'on aura les trois fonctions dont il s'agit, exprimées par les fonctions y a, /a, Fa^ (p{i^i)y /{fti)-, F{(ii). Il ne reste donc qu'à déterminer ces dernières. Or^ quelles que soient les valeurs de a et /?, on peut toujours trouver deux nombres entiers m et w, tels que a = mœ±a\ (i = nW±(3\ où a' est une

quantité comprise entre 0 et -|--«-> et /?' entre 0 et -|--ô-' Donc on

aura, en vertu des équations (22^), en substituant les valeurs précédentes de a et /?,

(pa = (p{m(o ± a') :^=±( — l)"*y«',

fa=f{mw±a') =(!)"/«',

Fa =F{m(b±a') =Fa', <p {(il) = (p (n6J^ ± (i'i) = ± (- 1)» if ip'i), f(/3t)=f{nœi±{i'i)=f{(3't), F{(ii) = F{nGii± (3'ï) = (— iyF{/3'{).

Donc les fonctions y«, fa, Fa, <p{fti), f((3i), F{(ii) seront exprimées comme on vient de le dire, et par suite aussi les fonctions (p(a-\-pi), /(«-|- /?»*)» F{a-{-(ii).

Nous avons vu précédenmient, que (pa est réel depuis a. = — -p- jusqu'à

a = -|--^? et que -^.-^ est réel depuis « = — ^ jusquà a=iz:-|---. Doue eu vertu des équations (22) il est clair

1) que (pa et -^K-^ sont réels pour toute valeur réelle de «; ya est

compris entre et h > et ~ \ - entre et + - :

2) que q)a s'évanouit pour a=^inœ^ et — . - pour a = fiiCo^ m étant

un nombre entier positif ou négatif; mais tpa n'est pas nul pour aucune autre valeur réelle de a.

En remarquant, que ^« = ^1 — c^ip^a^ Fa =z]ll-\-e*(p*a^ il suit de ce que nous venons de dire

1) que les fonctions fa^ Fa^ f{^^)i F{ai) sont réelles pour toute valeur de a;

2) que fa est compris entre les limites — 1 et -|- 1 et Fa entre les

limites -j- 1 et -|- J/ 1 -[- ^- ? de sorte que Fa est positif pour toute valeur réelle de a;

3) que f{ai) est positif et compris entre les limites -|- 1 et l/l-|--^.

et F (ai) entre les limites — 1 et -j- 1 pour toute valeur réelle de a;

4) que /a s'évanouit pour a = (7/i-j-^)co et F {ai) pour a = (/7i-|-|)CD; mais que ces fonctions ne s'annulent pour aucune autre valeur de a.

On remarquera ce qui suit, comme corollaires des formules (22):

1) Soit a = 0. Dans ce cas, en remarquant que y(0) = 0, /(0)=:1, F{0)=: 1, on aura

I(p (mvD -f- nuii) •=. 0, F {nivi -\' nwi) =^ [ — l)**.

2) Soit a = '- • En vertu des équations :

10 \ 1 ri ^'^ \ (\ zr» / ^'M ^^^'^ "h ^'^ ^^

on aura

y[(m + i)a, + «fiJt]=(-ir»l

(24) ( f[{,ri^\)œ + nôii] = 0,

3) Soit «3= —i. En vertu des équations

wi')=;' f[v\=7' ^(i')=«.

on aui*a

i^[?«aj + («-|-|)GJ»] = 0.

4) Soit a= ,. -f-"9"^* En vertu des équations ci-dessus on aura

Les équations (23), (24), (25) font voir que la fonction (pa s'évanouit toutes les fois que a est de la forme a = ma)-\-n(jOt'^ que fa s'évanouit toutes les fois que a est de la forme a = (m-\-^)a)-\-n(Sij et que ^ Fa s'évanouit toutes les fois que a est de la forme a = m(u-\-{n'\-^)iDi. Or je dis que pour toute autre valeur de a, les fonctions y a, /«, Fa auront nécessairement une valeur différente de zéro. Supposons en effet qu'on ait

a et (i étant des quantités réelles. En vertu de la première des formules (10), cette équation peut s'écrire comme il suit:

y^ '/m F(lii) + (p((^i)fa . Fa

Maintenant les quantités y«, f{Pi)y F{fti) sont réelles et ^{fti) est de la forme iA^ où A est réel; donc cette équation ne peut " subsister à moins qu'on n'ait séparément '

(pa.f{l3i)F{/3t) = 0', (p{(3t)fa.Fa = 0.

Ces équations ne peuvent être satisfaites que de deux manières, savoir en faisant

f{iit)F{lii) = 0, fa.Fa=:0.

Les deux premières équations donnent a = mœ\ /3 = niB. Les deux

dernières, en remarquant que Fa et f{(it) ne peuvent jamais s'évanouir,

donnent

/« = 0, F{ftt) = 0,

d'où

Mais pour ces valeurs de a et /î, la valeur de <p(a-\-i3t) deviendra infinie; donc les seules valeurs de a et /3 sont a = 7nœ et /î = waï, et par conséquent toutes les racines de l'équation

q)x = 0, peuvent être représentées par

(27) X = mo) -j- nG}i.

De la même manière on trouvera que toutes les racines de l'équation

fx = 0, peuvent être représentées par

(28) x = {m-\-^)a)-\- niBi^

et celles de l'équation

Fx = 0, par

(29) ce = 7/iai -f (n + 1) îùi.

Les formules (26) font voir qu'on satisfait aux ti'ois équations

<f^ = h^ f^ = h^' F^ = h^ en donnant à x une des valeurs de la fonne

(30) a: = (m + i) a> + (n + \)mi.

Or on peut démontrer que les équations en question n'ont pas d'autres racines. En effet, ayant

(px = - --r-, jx= — — — -, Fx=z — ,

les équations en question entraîneront celles-ci:

mais en vertu de ce qu'on vient de voir dans le numéro précédent, ces équations donnent respectivement

X — -9- = ^^ "F" (^ "I" "i") ®^'î ces trois équations sont équivalentes à la suivante:

Ayant trouvé connue ci-dessus toutes les racines des équations

(px = Oj /x = 0, Fx = 0^

je vais maintenant chercher les racines des équations plus générales

q)x=z(paj fx^=faj Fx^=Fa^

où a est une quantité quelconque réelle ou imaginaire. Considérons d'abord

l'équation

cpx — ç)a = 0.

En faisant dans la seconde des fornmles (12)

iV -\- a r\ ^ — Ci

on trouvera

Cette équation ne peut subsister que dans l'un des cinq cas suivants:

it — a

1) si (p^'-i

2) si /(^+^

3) si f[^-P

. . la' — a

4) SI (p\^-2-

« 5) SI (p\^-2-

= 0, d'où x= — a-\-{2m-\-l)a)'\-2nmî\

= 0, d'où x= — a-\-2mœ-\-{27i-\-l)iDij

= ^, d'oîi x = a^{2m'^l)w'^{2n-\-l)m,

= ^, d'où x = — a-\'{2m'\-l)aj-\-{2n-\'l)m7\

La résolution de ces cinq équations est contenue dans les formules (27), (28), (29), (30).

Des valeurs trouvées de x il faut rejeter celles que donne la formule

ir = — a-f (2w-|-l)a>-|-(2w+l)«j/,

car une telle valeur de x donne, en vertu de Téquation (22),

(px=. — y a,

tandis qu'on doit avoir ipx=.(pa\ mais les autres valeurs de x, exprimées par les quatre premières formules, peuvent être admises. Elles sont, comme on le voit, contenues dans la seule formule:

(31) ic = (— !)"•+" a -fmw-f-wa)i.

Telle est donc l'expression générale de toutes les racines de l'équation

q)x =z (pa.

On trouvera de la même manière que toutes les racines de l'équation

fx =fa sont représentées par la formule

(32) x = ±a--\-2 mm --f- ??«)/,

et toutes celles de l'équation

Fx = Fa par la fonnule

(33) x=.±a'\- met) -f- 2 7ivD7.