II
Fornudes qui donnent les valeurs de (f(iut), f(iia), F(na) exprimées en fondions rtUion-
tidles de tpa, fa, Fa.
Reprenons les foniiules (12). En faisant dans la 1', la 3' et la 5 a = nft, il viendra
/ I ^^o I A\>i I 2 «jp(n/9) .//!?. F/tf
où R=\-\-c*eWn(f)<p*p.
Ces formules donnent la valeur de <p{n-\-l)ft en (f{ii — l)/9 et <p{n(3)] celle de /(«-|-l)/9 en /(«—!)/? et /(«/?), et celle de F{n-\-l)^ en F{n — l)/3 et Finft). Donc en faisant successivement «=1, 2, 3 . . ., on trouvera successivement les valeurs des fonctions:
(^(2/3), 9) (3/?), <^(4/î)...ç. («/?), /(2/3), /(3/?), /(4/9) . . . /(«/?), F{2P), FiS/i), F{à(i) . . . F{n/S),
exprimées en fonctions rationnelles des trois quantités
En faisant p. ex. w = 1 , on aura
Les fonctions <p(ii(3)y /(n/S)^ F{n(3) étant des fonctions rationnelles de (p(3j //?, jF/?, on peut toujours les réduire à la forme . ? où F et Ç sont
des fonctions entières de ifft^ fft^ F/i. De même il est clair que le déno- , minateur Q aura la même valeur pour les trois fonctions que Ton considère. Soit donc
(35') <p {nft) = -^i , /(n/?) = ^ , i^(«/?) = ^^^ ,
on aura également
En substituant ces valeurs, la première des fornmles (34) deviendra
Vin+l ^n — 1 il <« 4 9 z) -^ n
l+C«««(iPV-g,
OU bien
P.+i — -^» -■ (Ql 4- ^'^^^^/'/^ • i^;) + -2KQ«Qn-if{i • J^/:?
En égalant les numérateurs et les dénominateurs de ces deux fractions, on aura
(36) P.^, = -Pn-,{Ql-\-c'e*(f^(3.P:)-\-2fl3.F/3.P^Q„Q,„
La seconde et la troisième des équations (34) donneront de la même manière
(38) P'.., = -P'„.(<?î + c*6Vyî.P:)+2//9. P„'Ç,Ç,,,
(39) P\,, = -P\,{Ql-\-c*e'<p*p.Pl)-^2Fp.P„'-Q,Q^,.
En faisant dans ces quatre formules n •= 1 , 2 , 3 . . . , et remarquant qu'on aura
a=l, <?i = l, ^0 = 0, P, = ipft,
p;=i, P/=//J, Po''=i, P."=Fft,
on trouvera successivement les fonctions entières Ç„, P^, P„', P„^', pour toutes les valeurs de n.
Soient pour abréger:
(40) y/î = x, //î=y, Fft = z,
(41) ie,= (?: + eVx»i«„
KECHKliCHE8 SUR LKS FONCTIONS ELLIPTIQUES. 281
les fonniiles précédentes donneront
Vn + l ^^^ V«— i-'^o
F"„,^=-P\^E„-\- 2zP„"Q„Q„,.
En posant m=1, 2, on aura
Ji^ =zr Ql ~\- e^'c^x'Pi = J + e'c^'x^
(43) { P,=^-PJt,-\-2yzP,Q,Q,= '-lxyz,
P,'=-P:E, + 2yP,'Q,Q, = ~\-e\'x'^2y\
\ P^"= — Po"Jii + 2zP," Q,Q,= — 1 — e*c*x* + 2z^
/ 74 = <;>» + e*c*x*i1 == (1 + cV^x-O* + e*c*x^4u;y 2*,
P3 = - P.i4 + 2yzP,Q,Q, ^ - u-i^ + 4j^>'z*a-Ç,
(44) ( =x(4yVÇ,-i4),
En continuant de la sorte, et en remarquant que y^=l — c^x^^ z^ =zl -^e^x^j ou verra aisément que les quantités
f\ J-'in '2n + l T) f -^ 'in-^-l jy tt ^ 2ij+l
sont des fonctions entières des trois quantités x\ ?/*, 2*, et par conséquent aussi de l^une quelconque de ces quantités, pour une valeur entière quelconque de n.
(îela fait voir que les expressions de (pinft)^ f{^P)t ^\^ft) seront de la forme suivante:
if{2np) = ip[i.fft.Fft.T, <p{2n-\-l)/3 = (p(i.T', (45) ( /(2«^) = 2\, f{2n-\-l)(3=f/3.r\
{ F{2n(S) = T,, F{2n^l)ft=Fft.T"\
oh T etc. , représentent des fonctions rationnelles des quantités (y/3)*, {fl^Yi {PftY- 36
§ ni.
Résolution (les équations <p(n(i) = l" , /(r,li) = ^' , F{nli) = ^ ■
D'après ce qu'on a vu, les fonctious (p{nli)^ /('V^)î ^ (^/^) s'expriment rationnellement en x^ y^ z. La réciproque n'a pas lieu, car les équations (35') sont en général d'iui degré très-élevé. Elles ont par cette raison un certain nombre de racines. Nous allons voir comment on peut aisément exprimer toutes ces racines au moyen des fonctions y, y, F.
P A. Considérons d'abord l'équation y (?//?) = -.p, ou Q^,(p{nft)-=.P^^ et
cherchons toutes les valeurs de x\ Il faut distinguer deux cas, selon que a est pair ou impair:
1) Si n est un nombre pair.
D'après ce qu'on a vu dans le paragraphe précédent (45), on aura dans ce cas
(f {2n[i) = xyz . V^(^*),
OU, en vertu des formules
y = y 1 —'c*x\ z = Yl -fe*x* :
y (2«/9) = x.xlj(x') |/(1^'7V)(1 -fe*x').
Donc l'équation en x deviendra,
(p\2nft) = x*{^>xy{l — c*x*){l-\-e*x*).
En désignant le second membre par 6{x^)^ on aura
ip\2nP) = e{x^).
(p(i étant une des valeurs de x^ on aura
(46) <f\2np) = e{ip^ft),
équation qui a lieu-, (luelle que soit la valeur de ft. On trouvera comme il suit les autres valeurs de x. Soit x=i(pa une racine quelconque, on doit avoir
ttlîXL'HERCHES SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 283
Or, en mettant dans (46) a au lieu de /î, il viendra
donc
(47) (f\2ni3) = ip\2na),
équation qui revient à ces deux que voici:
(p{2na) = (p{2nl3) et (p{2n^) = — (p(2nli).
La première donne, en vertu de (31),
2na = {—iy'^^2n/i-\-ma)-\-fi(Dt,
où m et // sont deux nombres entiers quelconques, positifs ou négatifs, zéro y compris.
La seconde donne les mêmes valeurs de 2wa, mais de signe contraire, comme il est aisé de le voir, en récrivant comme il suit:
(p{ — 2na)=z(p{2n(3).
Toute valeur de 2?m qui satisfait à l'équation (47) peut donc être représentée par
2na = ±[{— l)"'+''2?^/'î-|-7Wco-|-/l.cD^].
De là on tire la valeur de «, en divisant par 2n, savoir
. «=±((-ir''^+;'>+^^,,«)/).
Ayant la valeur de «, on aura
(48) ^a = ±<r[{- 1)-^"/? + ;; (« + ,;- mi] = X.
Donc toutes les valeurs de x sont contenues dans cette expression, et on les trouvera en donnant aux nombres m et /ll toutes les valeurs entières depuis — >o jusqu'à +fx). Or pour avoir toutes celles qui sont diiférentes entre elles, il suffit de donner à m et fi des valeurs entières moindres que 2w. En effet, quels que soient ces nombres, on peut toujours les supposer réduits à la forme:
m = 2 w fc -|- w/, // = 2 w 7c' -f- ///,
oh fc, k^ sont des nombres entiers, et m\ //' des nombres entiers moindres que 2?/. En substituant ces valeurs dans Texpression de x^ elle deviendra:
284 rkchkrches sur les fonctions elliptiques.
or en vertu de (22) cette expression se réduit à
(49) x = ±<p[{~ l)-+''-/?+ ;"■-«, -h ^[^mi
Cette valeur de x est de la même fonne que la précédente (48), seulement m et fi sont remplacés par mf et //', qui, tous les deux, sont positifs et moindres que 2n\ donc on obtiendra toutes les valeurs différentes de a:, en donnant seulement à m et a toutes les valeurs entières depuis zéro jusqu'à 2n exclusivement. Toutes ces valeurs sont nécessairement différentes entre elles. En effet, supposons par exemple qu'on ait
il s'ensuivrait, d'après (31),
( 1)".'..'/?+ -: eu-}- ^lmi=±[{- 1)'"^"/?+ :,'/» + ^>/)+A.«+fc'«>/,
h et 7c' étant des entiers. Cîette équation donne
ft/ = k\2n±ft^ 7n=k.2n±m^ (— l)*-'+^' = ± (— 1)""+^
Les deux premières équations ne peuvent subsister à moins qu'on n'ait /»*'=!, A; z= 1 , fi' =z 2n — // , m' •= 2n — 7?i, et alors la dernière deviendra
d'où l'on tire
résultat al)surde. Donc toutes les valeurs de a:, ccmtenues dans la fornnile
(48) sont différentes entre elles, si m et // sont positifs et moindres que 2v.
Le nombre total des valeurs de x est, comme il est aisé de le voir,
égal à 2(2/^)*=:8w^; or l'équation ip^{2nfi)=z0{pc.'^) ne peut avoir de racines
égales, car dans ce cas on aurait .^' —^7 ^^' H^^^ d(mnerait pour x une
valeur indépendante de /?. Donc le degré de l'équation (p'^{2jij3)) = 0{x^) est égal au nombre des racines, c'est-à-dire à Sii^, Si par exemple 7^ = 1, on aura l'équation
OU bien
et, d'après la formule (48), les racines de (u^.tte équation, au nombre de huit, seront :
X=±(pl3, x = ±(/)| — /?4-^'j,
2) S? 71 est un vomhye impair^ égal a 2 w -|- >.
P .Dans ce cas J""^ est, connue nous l'avons vu, une fonction rationnelle
^tnf\
de .r, et par conséquent Téquation en x sera: (50) y(2«+l)/î = -J»±i.
On trouvera, précisément connue dans le cas précédent, que toutes les racines de cette équation peuvent être représentées par
(51) , -^'^IC-ir-'^+a^'^i' + ân^i^^l'
oïl il faut donner à w et ^t^ toutes les valeurs entières depuis — n jusqu'à
-\-n inclusivement. Donc le nombre des racines différentes est {2n-\^\y.
(.''est aussi le degré de l'équation en question. On peut aussi exprimer les racines par
Si par exemple 7?.= 1, on aura une équation du degré 3^ = 9. La fonnule (51) donne pour x les 9 valeurs suivantes:
10 , liJ
B. Considérons maintenant Téquation
(52) f{ni3) == ;^' ,
et cherchons les valeurs de y qui satisfont à cette équation. ]ja fonction
F' " étant, comme on Ta vu phis haut, ratioimelle en ?/, l'équation en y,
en faisant - .^ =zrfn/^ sera
Une des racines de cette équation est y=::f(3^ donc, quelle que soit la valeur de /?,
Pour trouver les autres valeurs de ?/, désignons par a une nouvelle inconnue, telle que y=faj on aura
f{nl3) = rp (/«) ;
or, en vertu de (53) le second membre est égal à f{v.a)\ donc pour déterminer «, on aura l'équation
f{na)=f{np).
En vertu de la fornuile (32) cette équation donne pour expression générale
de na:
na == 4: ?2/î -|- 2 ma) -j- nUii^
m et // étant deux nombres entiers positifs ou négatifs, zéro y compris. De* là on tire
et par conséquent:
/«=:/(±/9+^-,„+.;ifi„-)=y.
C'est la valeur générale de y.
Maintenant pour avoir les valeurs ditt'érentes de ?/, je dis qu'il suffit de prendre (S avec le signe -|- et de donner à m et // toutes les valeurs entières, moindres que n. En effet, comme on a f(^-\-a)=f{ — a), on aura d'abord
Donc on peut toujours dans Texpression de y prendre /? avec le signe -[-• Ainsi toutes les valeurs de y sont contemies dans l'expression
Maintenant, quels que soient les nombres m et //, on peut toujours supposer
où A;, h\ m\ jli' sont des nombres entiers, les deux derniers étant en même temps positifs et moindres que n.
En substituant, il viendra
i^=/(/î + -l"^«'H-ï' a>^ + 2A;«, + fc'tDei.
Or, en vertu de la formule (22), le second membre de cette équation est égal à
quantité de la même fonne que le second membre de (54); seulement ta' et fi' sont positifs et moindres que n. Donc etc.
En donnant à m et // toutes les valeurs possibles, moindres que n, on trouvera v} valeurs de y. Or, en général toutes ces quantités sont différentes entre elles. En effet, supposons par exemple
on aura en vertu de la fomuile (32), en désignant par fc, k' deux nombres entiers,
Puisque /? peut avoir une valeur quelconque, il est clair que cette équation
288 RKCHEKi'HES SUK LES FONCTIONS ELLIPTIQUES.
ne peut subsister à inohis qu'on ne preinie dans le second membre le signe supérieur. Alors il viendra
d'où Ton tire, en égalant les parties réelles et les parties imaginaires,
équations absurdes, en renmrquant que les nombres m, ////, // et ft sont tous positifs et inférieurs à n. Donc en général Téquation
f(rtft) = ifjy
a n^ racines différentes entre elles et pas davantage. Or généralement toutes les racines de cette équation sont différentes entre elles. En effet, si deux d'entre elles étaient égales, on aurait à la fois
f{rt[ï) = ^}jy et 0 = ip'y,
et cela est impossible, car on remarquera que les coefliciens de y dans ipy ne contiennent pas /?. Donc généralement l'équation (52) est nécessairement du degré n*.
