C. L'équation

(56) F{7^li) = -^^ ,

étant traitée par rapport à 2, absolument de la même manière que l'équation f{7ili)=z—^- l'a été par rapport à y, donne pour expression générale

des valeurs de z

(57) ^ = i''(/î4-'^«,+ ^fc7>^),

où m et // sont entiers, positifs et moindres que //. Le nombre des valeurs de z est n^j et elles sont en général toutes différentes entre elles. Donc généralement l'équation (56) est du degré n^.

Nous avons trouvé ci-dessus toutes les racines des équations

<p (n(i) = -|- , /(n/î) = -^-' , F{ni3) = |;" ,

racines, qui sont exprimées par les fornmles (48), (51), (54), (57). Toutes ces racines sont différentes entre elles, excepté pour des valeurs particulières de /?; mais pour ces valeurs, les racines difféi'entes sont conteimes dans les mêmes fornmles. — Dans ce dernier cas un certain nombre des valeurs des quantités ic, y, z seront égales; mais il est clair que toutes ces valeurs égales ou inégales seront néanmoins les racines des équations dont il s'agit. Cela se fait voir en faisant converger (i vers une valeur particulière qui donne pour x, ou //, ou z des valeurs égales.

En faisant dans la fonuule (48) (i = -^ ? on aura Téq nation

^ 'lit

dont les racines sont

.=±y((-ir-"-+|i.+iL «,.•),

où m et fi ont toutes les valeurs entières et positives moindres que 27i. En faisant de même dans la fommle (50) /î=^-- , on aura Téqua-

tion (pa = y^^^i dont les racines sont

m et a ayant pour valeurs tous les nombres entiers depuis — n jusqu'à -|- n. Enfin en faisant dans les formules (52), (56) /?= ? on aura Téqua-

Pn

tion fa = "- î dont les racines sont