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et l'équation Fa = y" ? dont les racines sont

OÙ m et //. sont renfennés entre les limites 0 et n — 1 inclusivement. Si ii est impair et égal à 2 72 -|- 1 , on peut aussi supposer

290 UECHERCHES SUU LES FONCTIONS ELLIPTIQUES.

^=(-')''f1-2,;;i+24-i'"+2;.Ti''')'

m et a ayant toutes les valeui*s entières de — n à -\-n.

Dans toutes ces équations la quantité a peut avoir une valeur quelconque.

Comme cas particuliers on doit remarquer les suivants:

1) En faisant dans (58) et (59) « = 0, on aura les équations

IPl^^ zizz ()j dont les racines sont x = ± ^ h. - co -j- ^ ijôi\ (les limites de m et a étant 0 et 2n — 1),

Pj„^^i=zO, dont les racines sont x=z(p\ \^^~\~^} i i"^^

(les limites de m et jx étant — n et -■\- n),

2) En faisant dans (60) «=: et dans (61) a= ,. /', et remarquant

(0 \ .V Tt/ W

que / ,. = ^N ^1 w> «1 = 0, on obtiendra les deux équations

(63) P/ = 0, dont les racines sont y=fl(27n-\~^) '^ -j- ^ wt

(64) P„"=0, dont les racines sont z = F{ — œ-{-{2iii^^)'^'

(les limites de vi et fi étant 0 et 7i — 1).

3) En faisant dans (58) «= ^ ~\-\yh ^* ^^^ remarquant que ç? ' -j- e I = ^ , on aura l'équation

dont les racines seront

Les valeurs de x doivent être égales deux à deux, et Ton verra aisément que les valeurs inégales peuvent être représentées par

en donnant à ni et à ,a toutes les valeurs entières depuis 0 jusqu'à 27i — 1. Donc ce sont les racines de Téquation par rapport à x

En faisant de même dans (59) a = -ç> -|- ,. ?', on aura l'équation dont les racines seront

?/? et fi ayant pour valeurs tous les nombres entiers de — ?? à -|- 72.

Parmi les valeurs de x^ y^ z^ il faut remarquer celles qui répondent à ?/? = w, u=n. Alors on a

Ces valeurs infinies font voir que le degré de l'équation Çsn+i^O est moindre d'une unité que celui des équations dont elle sort. En écartant ces valeurs, celles qui restent, au nombre def (27?-|-l)* — 1, seront les racines de l'équation Q^^^^z=0.