IV
R^soluttœt algêMqitP des ^qiuitwnH P P' P"
Vïii+l Vu,^.j Vjj„^i
Nous avons vu dans le paragraphe précédent, comment on peut aisément exprimer les racines des équations en question au moyen des fonctions (fj fj F. Nous allons maintenant en déduire la résolution de ces mêmes
ft a -w-t et
équations, ou la détenuination des fonctions cp - ? f — j F — en fonctions
de ya, fa^ Fa.
292 llKCHKRCHKS SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES.
Comme on a
011 peut supposer que 7i est un nombre premier. Nous considérerons d'abord le cas où 7?= 2, et ensuite celui oîi n est un nombre impair.
A. E.rpreHfûoti^ des /(méfions (f , ^ / \ ^ t
a /.a n cf
Les valeurs de (f ^yi /q ' F^ peuvent être trouvées très facilement
de la manière suivante. En supposant dans les fonnules (35) /?= ? et en faisant
il viendra
tt'S ^^ /»S /itO '^lâ ^*B I ^'< If *< 1»*
/• 1/ c a, ^ TT - ^ ^ y '^
OU bien, en substituant les valeurs de y* et z^ en x%
Ces équations donnent
f „ __ ., = ^"'V-;'f) , jiv + 1 = ^t' + "/? .
d'où
Fa — 1 9 a 1 — /*« 99
et par suite, en remarquant que //*=! — c^x^^ 2* = 1 -|- ^ V%
^ "~ l+/«"' y ~ l + Fa De ce» équations on tire, en extrayant la racine carrée, et en remplaçant X, y, 2 par leurs valeui's y « ' f~2^ ^ 2 '
KECHEROHES SUS LES KONCTIOMS ELLIPTIQUES. 293
( « 1 l/l — /■« 1 \/'Fa—l
Telles sont les formes les plus simples qu'on puisse donner aux valeurs des fonctions Ç' « ' / o" ' ^'o ' ^^ cette manière on peut exprimer algébriquement (p^2^ */^9 ' ^~9^ ®^ f^^ ^^^' ^^® ^^ même manière <P r^ f y^ F x s'exprimeront en f ^^ •> F-^^ et ainsi de suite. Donc en général les fonctions
y On ' ./o«' ^oTr peuvent être exprimées au moyen d'exti'actions de racines caiTées, en fonctions des trois quantités (pa^ fa^ Fa.
Pour appliquer les formules trouvées ci-dessus pour la hissecAion à un
exemple, supposons «= * Alors on aura / ,^ = 0, r = — > donc
en substituant,
ou bien
1 y^Ye^'+c
co 1 f r V e' -h c — c
er.
B. E^rtyressiotis (hn fœuiuyns w -, — j f~~r-r^ t\. -, ^" fcnietiœi aJa^Itriqne îles
qiimitit^s (fa y fa, Fa.
Pour trouver les valeurs. de </>7r— , i ? /ô-^. t» F -^ ,-. en wa. fa. Fa^ il faut résoudre les équations
(fa= - , J^= Q ~ ' ^« = 7) '
qui toutes sont du degré (27?-{"l)^' Nous allons voir qu'il est toujours possible d'effectuer algébriquement cette résolution.
Soient
et
OÙ B est une racine imaginaire quelconque de l'équation ô*"+^ — 1 :=0. Cela posé, je dis que les deux quantités
pourront être exprimées rationnellement en ^(2?? -|- 1)/^. D'abord, en écrivant {f^(i comme il suit:
, 1 + "*«>*( ^r^rJTV
on voit que 9,/î peut s'exprimer rationnellement en y/î. Soit donc ifyft = ;f(y/î), on a de même
^.(''±^^)=;<[*(''±ifî\)]
OU bien, en faisant
et en substituant pour /(S et Fft leurs valeurs }/i — c^x^ et j/l^e^x*:
or, X désignant une fonction rationnelle, le second membre de cette équation peut se mettre sous la forme
OÙ B^ et BJ sont des fonctions rationnelles de x. Donc on a
v^(i^^ 2ÏF1 ) = ^- ± ^''' ^^^ -'"^'^ (iT^^I- ~
En substituant dans les expressions de i///? et i/^i/?, il viendra
Maintenant, i2^ et B^' étant des fonctions rationnelles de ic, les quantités
2^d^B^ et 2^0^B^ le sont également. En élevant donc i///? et t/Zj/:? à la
(27^-|- 1)'*™* puissance, les deux quantités (V^/?)^"^^ et (V'i/î)*""*"^ pourront se mettre sous la forme:
< et <' étant des fonctions rationnelles de x. En prenant la sonmie des valeurs de {^py^^ et (ï/;i/5)^"+S «i^ ^^i'»
Donc la quantité (</^/^)*'*"''^-|-(V^i/'î)*'*"'"^ peut être exprimée rationnellement en X. Il en est de même du produit xpft .ip^ft^ comme on le voit par les équations (70). Donc on peut faire
Ix et liX désignant des fonctions rationnelles de x. Or ces fonctions ont la propriété de ne pas changer de valeur, lorsqu'on met à la place de x une autre racine quelconque de Téquation
Considérons d'abord la fonction Xx. En remettant la valeur de x = (pl'i^
on aura
ipi1.ip,lj=zi.(if^li)^
d'où l'on tire, en mettant /^-|-o 11 "hôii 1 ^^^ ^^^^^ ^^ i^ 1
I ,3 , 2k'ai , 2k(') \ /■ . , 2k'&i , 2ko) \
Cela posé, en remarquant que
(72) iL V(^« + ^) = 4. V'W + -^-. [<^('" + «) — V'(^« — « - 1)]»
on aura, en faisant, dans l'expression de <^i/î, /î = /^-[-9 11'
or
* '«+--241 ")=» '*+-7;.îf '"-2«')=»(/*+-^„-+r''»).
•* donc (73)
'f'i^+é'^ihf'fi;
En mettant dans l'expression de ï///i, /^-|-ô~-r 1 ~i~ o ~ri ^^ '^^^ /^, on trouvera
V(/'T^2„|li^2n+l|~r.'' ^'i''^ 2«+l '^2n-Hl|' or en vertu de la tbnnule (73) on a
Vi\P-T 2n+l ^2n+l) — *^M''i^ 2n+l )'
de
donc
^i''^2n+1^2n+lj— r/ "P^y^^ 2n+l j
En vertu de la formule (72) on a
2pL(ôi
2(ji-\'n)(!ii\
donc, en remarquant que ^ **+/"-*' z:^ ^a*-«-i-*' et que
il viendra
On trouvera de même
Ces deux équations donneront
2kco + 2k'&i)
2k(a + 2k'(Ôi
2ifcw + 2A'(3i 2/1+ 1~~
2i(:w + 2Jfc'c0i
.(^^)»-Hl + (y;^^).»+l.
En vertu de ces équations on obtiendra, en mettant, dans les valeurs de
l{iplJ) et l,{ip[i), ^ + ^*'^+J^^ au lieu de /?,
2ko}'\-2k'Qi 2^1
2kio + 2k'ai 2w+l
Or y /^-| — o-^ri - . exprime une racine quelconque de l'équation
-fin + l
Donc, comme nous Tavous dit, les fonctions Xx et X^x auront les mêmes valeurs, quelle que soit la racine qu'on mette à la place de x. Soient x'q, Xi , Xj . . . x^y ces racines, on aura
Xx = j~-^ (IXq -)^ lx^-\- . . . -\- Axj^),
Or le second membre de ces équations est une fonction rationnelle et symétrique des racines de Tëquation ç)(27^-^- 1)/? = -^^'? donc Ix et X^x pourront s'exprimer rationnellement en ç)(2w-]- 1)/?. En faisant
lx = B^ l^x = 2A^ les équations (71) donneront
d'où l'on tire
(75) ^^=^|A^ M^ - iP'^--= ^; <?" ç., ( /? + 2^;^^;
Ayant trouvé la valeur de i///'?, on en déduira facilement celle de if>^(i. En effet, en prenant pour Q successivement toutes les racines imaginaires de l'équation 0**»+^ — 1 = 0, et en désignant les valeurs coiTespondantes de A et B par -4i, -B^, -4^, B^ etc., on obtiendra
On connaît de même la somme des racines:
qui est égale à (2?2-(- l)ç)(2w-|- 1)/?, comme nous le verrons dans la suite, En ajoutant ces équations membre à membre, après avoir nmltiplié la première par ^f*, la seconde par Ô^*, la troisième par Ô^* . . . et la. (2/?.) par d^*, il viendra
ihnc
X{i+er''+er''-\- • • • -\-^<^^'')<p^((^+^!^
= {2nJrl)<p{2n-\- 1)/? + ^^ O'" }/a, + ^Af, - B^ ;
or la somme
i l(9f-*+(9r-*H h<?rr*
se réduit à zéro pour toutes les valeurs de &, excepté pour fc = //. Dans ce cas elle devient égale à 2?^-[-l. Donc le premier membre de Téquation précédente devient
donc, en substituant et divisant par (27z-|-l), on a
2kC}i
<9r* yA+y^î-i^r*+<?r* YA^-\-^À\-B'r'
H h<?r„*yi+y^L-i:^r'
Pour fc==0, on a
8n-fl
an+i
yir+ y^ \ - /y f + ' + y^, + yi ,* -Bf^
Ayant ainsi trouvé la valeur de y,/?, il s'agit d'en tirer celle de (p(i. Or cela peut se faire aisément comme il suit. Soit
(78) v./9=|.#>(/9+^»ri). S'.p=i.»-9[P-^],
on a
Il suit de là qu'on peut faire
oii r et s sont des fonctions rationnelles de q)(i. De là on tire
/(y/3) et X\{!^P) étant deux fonctions rationnelles de y/3.
Cela posé, je dis que xivl^) ^* Xiivi^)- pourront s'exprimer rationnellement en (fift. On a vu que
rt a j*f 2 TOC» \ 7-f/ 2mfo
(80) <p,(i = cpl3-{-
+^''^'<pi-.^)ri^
En faisant (p(i = x^ on aura une équation en x du degré (2?i-|-l). Urie racine de cette équation est a: = y/î; or, en mettant /?4~9— j^- au lieu de
/?, (fi/S ne change pas de valeur; donc x = (pi(i~\--^~-r--] sera une racine, quel que soit le nombre entier k. Or, en donnant à k toutes les valeurs entières depuis — n jusqu'à -f" ^ > ^ U' ~t~ 9 ~I^V P^'^^^^ra 2/2 -[- 1 valeurs différentes, donc ces 2n-f-l quantités seront précisément les 2n-[-l racines de l'équation en x.
Cela posé, en mettant /? -j- - r au lieu de /? dans l'expression de
1^2/5, il viendra en vertu de l'équation (72)
^/^, 2*'" \-'^ ê-œis I 2(fc + «0t.
/ /3 I 2(m — n — l)co
donc, puisque (9"+"--* = <9"-->-* et ^^U + l^^Y" '») = <^(/î + ^2""^"^"'
on en tirera
De même on aura
On voit par ces relations que les équations qui donnent les valeurs des fonctions x{v(^) ^* Xi{v^i^)'> conduisent à ces deux égalités:
2ku)
2kio\ ■ 2n+ll
= x.{<pP)-
De là on tire
X{SPP) =
Or, ces valeurs de x{h^P) ^* Xi{v(^) sont des fonctions rationnelles et symétriques de toutes les racines de Téquation (80). Donc elles peuvent être exprimées rationnellement par les coefficiens de la même équation, c'est-à-dire rationnellement en (pi(i.
Soit
les équations (79) donneront
d'oïl, en remettant la valeur de y^^l^j
an-fi
+" / 2mto
yc-]-yc*—D'''+'=2„e''<pi(3-{-
De là. on tire, en mettant 6^ au lieu de d, et en désignant les valeurs correspondantes de C et D par C^ et Z>^,
En y joignant l'équation
*./»=î.W/'+2!Ti)
on en tirera facilement
En supposant fc = 0, il viendra
(84) y^=2^(yi/?+ yc,+y<^i'^^^w^'+ • • • + y^+fc-:-:^).
Cette équation donne (p(i en fonction algébrique de (pift] or nous avons trouvé précédemment cp^/S en fonction algébrique de ç)(272-|- l)/î. Donc en
mettant ^ au lieu de /?, on aura (p ^ ^ en fonction algébrique
de ç)a.
Par une analyse toute semblable on trouvera / ô^itt ^^ fonction de
fa et ^(rt ^v 6^ fonction de -Fa.
Les expressions que nous venons de trouver des quantités (p^/S et y/î, la première en (p(2n-\-l)(3^ et la seconde en cpi/i^ contiennent chacune la somme de 2n radicaux différens du (2n-[-l)'*"* degré. Il en résultera pour ç)/?, ^i/?, (2w-|-l)^'* valeurs, tandis que chacune de ces quantités est la racine d'une équation du (2r^-[- 1)'*^* degré. Mais on peut donner aux expressions de (p/3 et (fi/S une forme telle que le nombre des valeurs de ces quantités soit précisément égal à 2n-\-l. Pour cela soit
on peut faire »
Soient de même
OU aura eu vertu de Téquation (74)
Soit nuiiuteuant
P{(pft) et Q{(pl^) seront des fonctions rationnelles de y/î; or en mettant /î-| Irr — ^^ ^^®^ ^^ ^' ^^ ^^* clair, en vertu des formules précédentes, que P et Ç ne changent pas de valeur; donc on aura
or, le second membre étant une fonction symétrique et rationnelle des raci-
nés de Téquation y(27i-|- !)/?=>.- ^ S P((pft) pourra s'exprimer rationnelle-
ment en (p{2n-\-l)p. Il en est de même de Q{(pi^)' Ces deux quantités étant connues, les équations (86) donneront
or
donc
Donc on aura
(^»/3)»»+» = Aj -l- yi| — iif»+i ,
2 yir::r:5f^ = Qi<p/3y- {a, - yi|^r:ëpf ) p(<^/j).
OÙ jF^ et Hj^ sont des fonctions rationnelles de (p{2n-^l)l3. En rempla-
304 RECHERCHES SUR LES FONCTIONS ELLIFflQUES.
c^ant A^ et B^ par J. et -B et substituant les valeurs de xfj^ft et (V^V^)*^ il viendra
donc la valeur de (p^ft deviendra
+ (i?; + //, yi* — yi'"'*' ) {A -\- \A*—B*''^' )^-+'
Par un procédé tout semblable on trouvera
oïl /Tj, Lg, iïi, Z/g . . . /Tj^, Z/5{„ sont des fonctions rationnelles de (fxft.
Ces expressions de (fy^ji et ç)/? n'ont que 271-^-1 valeurs différentes, qu'on obtiendra en attribuant aux radicaux leurs 2w-[-l valeurs. Il suit de notre analyse qu'on peut prendre ^A^ — ^«»+i ^^ y^;» — /)»"+i avec tel signe qu'on voudra.
La valeur que nous avons trouvée pour (pft ou 9^ 9 i i contient encore, outre la fonction ç)a, les suivantes:
*^(-2«+i)' "fy^n+iY -^Um-t
f\2n^-ïV ^ 2n4-T ' ^U
pour des valeurs quelconques de m depuis 1 jusqu'à 2n. Maintenant, quelle que soit la valeur de 7/1, on peut toujours exprimer algébriquement q) ô^irf ) '
/.i 7nco \ rnl ''*w \ I ù) \ I VlQi \ J ^'i^* \ Til '^'^*
2n+lj ^2n+l/ ^^2n+.lj ^ \2n+l / ' -^ \2w + 1 / \2rz + l
en ç) o" lY • Tout est donc connu dans Texpression de (p -^ ^ ? excepté les deux quantités indépendantes de a, 9^ 9~3rf ' y 9 1 1 ' ^^^
quantités dépendent seulement de c et e, et elles peuvent être trouvées par la résolution d'une équation du degré (2n-\-iy — 1, savoir de Téquation
-1^±L = 0, Nous allons voir dans le paragraphe suivant comment on peut
en ramener la résolution à celle d'équations moins élevées.
