C. Sur l'équadoii Pgn+i^O
L'expression que nous venons de trouver pour 9^ 9 -ttT contiendra, comme nous l'avons vu, les deux quantités constantes (p ^ ^ et cp
On trouvera ces quantités en i-ésolvant l'équation dont les racines seront représentées par
oïl m et //. pourront être tous les nombres entiers depuis — n jusqu'à -\-n. Une de ces racines, qui répond à 7?2=0, /trzrO, est égale à zéro. Donc Ptn^i Gst divisible par x. En écartant ce facteur, on aura une équation du degré (27^+l)*— 1, (90) R = 0.
En faisant x^^^r^ l'équation en ?-, 7^=0, sera du degré -- — ^^~-^ —
= 2/i(7z-|- 1), et les racines de cette équation seront
fi et m ayant toutes les valeurs positives au dessous de n -[- 1 , en faisant abstraction de la racine zéro.
Ou
Nous allons voir maintenant, comment on peut ramener la résolution de réquation /jî = 0 à celle de deux équations, Tune du degré n et l'autre du degré 2n-\-2. D'abord, je dis qu'on peut représenter toutes les valeurs
de r par
en donnant à {.i toutes les valeurs entières depuis zéro jusqu'à 2n, et à m toutes celles depuis 1 jusqu'à n. En effet Ç^*U>- i^ représente d'abord
n valeurs de r; or les autres peuvent être représentées par y* m^^ Xi*
Soit, pour le démontrer, m/t = (2n-|- l)fc-|-m', où tti/ est un nombre entier compris entre les limites — n et -\-n. En substituant, on aura
(p^\m ,^ T T~ ^^* donc une valeur de r; maintenant, à chaque valeur de /Â répond une valeur différente de m'. Car si l'on avait
il s'ensuivrait
ce qui est impossible, puisque 2rz -|- 1 est un nombre premier. ' Donc (p^ m ^ jT ^ î combiné avec (p^ 9"~ rri ' représente toutes les valeurs de r. Cela posé, soit
Les quantités i'o > i^i ? • • • Pn-i ? seront des fonctions rationnelles et symétriques de 9^* 2^7^:)' ^\~2ni'ï] • ' ' ^* 2^r^)' ^^ fonctions peuvent être trouvées au moyen d'une équation du degré 27i-|-2. Soit p une fonction rationnelle et symétrique quelconque de y' 9 -l. 1 r ^* 9 X 1
r — ip
2 1 nio
nio
(p ô- TTT ' OÙ a>' désigne la quantité 7n<x) -|- ^aJ^^ En vertu- des formules que nous avons données plus haut pour exprimer (p{n[ï) en y)/î, il est clair
qu'on peut exprimer Ç^^h^-'ô^XT ®^^ fonction l'ationnelle de yM 9 1 1 r Donc on peut faire
(94) p=^\^A.^L-W = e\<pA^X <p'^ '^'
nco
0 désignant une fonction symétrique et rationnelle. En mettant vto' au lieu de co', il viendra
vco
2 vco'
nviù
or en faisant
av = i2n^\)K'-\-K,
OÙ fc„ est entier et compris entre — n et -f-^? 1^ série aura au signe près les mêmes termes que celle-ci:
donc il est clair que le second membre de Téquation (95) aura la valeur que p. Donc
même
Viù
co
équation qui, en faisant co' = ca et c«' = mai -|- «Jt\ donnera les deux suivantes:
<iP
.<iP
2n+l / 2 ma) -\- (ùi
donc, en faisant, pour abréger.
il viendra
Cela
posé,
soit
vw
, / 7nw + (ai
ipr^ = yjr,^, ipr^,^=rpr^^
Je dis qu'on peut exprimer les coefficiens q'o, ([i etc. rationnellement en e et c. D'abord, en vertu des formules connues, on peut exprimer rationnellement ces coefficiens en fj, '2 • • • ^2n+8 7 ^î 1'^^^ ^^î*? pour abréger,
(101) f^ = (^rO* + (i/'r,.)* + (v/r,,0*H \-{V'r.,,nr.
Il s'agit donc de trouver les quantités f^ , /g . . . ; or cela pourra aisément se faire au moyen des relations (99). En effet, en y fjlisant successivement >/zzz: 1, 2 . . . w, après avoir élevé les deux membres à la fc***"* puissance, on en tirera sur le champ:
I i^';y=^[(rpr,yj^{fr,y-\- . . . -\-{fr„y],
Donc en mettant pour ?7^ tous les nombres entiers 0, 1 . . . 2rz, et en substituant ensuite dans l'expression de /^, il viendra:
n.t,= {yjr.y -f (v^r,)* -] 1- (i//r„)*
(103) { + (i/;r,0^ + in^^y + • • • + (f ^,0*
Cette valeur de /^^ est, comme on le voitj une fonction rationnelle et symétrique des 7i(2n-|-2) quantités r^, r^ . . . r^, r, 0, r^o . . . r„o . . . n,2«i ^2,2» ...r„2„, qui sont les n{2n-{-2) racines de l'équation li=0. Donc, comme on sait, t,^ pourra s'exprimer rationnellement par les coefiiciens de cette équation, et par suite en fonction rationnelle de e et c. Ayant ainsi trouvé les quantités t^^ on en tire les valeurs de g'o? 3i • • • ?2n+M V^^ seront également des fonctions rationnelles de e et c.
Cela posé, en faisant
on aura une équation du (2n-^2y^^ degré, dont les racines seront
La fonction ipr^ c'est-à-dire une fonction quelconque rationnelle et symétrique des racines r^ , r^ , rg . . . r„ pourra donc être trouvée au moyen d'une équation du degré 2n-\-2. Donc on aura de cette manière les coefficiens j)q^ Pi . . .^„i, en résolvant 7i équations, chacune du (2/1-}- 2)**"'* degré. Ayant déterminé Po^ i^i • • •? ^^ aura, en résolvant Véquation
(105) o=po-^p^r-\ \-jj^^r^-^^r^^
les valeurs des quantités
Tj , '^î • . • ^nî ^1,0? ^2,0 • • • ^n,0Î ^1,1 7 ^2,1 •• • ^«,1 ^^^'
dont la première est égale à y* 9 \^' ' ^^^^ ^^ détermination de cette
quantité, ou bien la résolution de l'équation 72 = 0, qui est du degré (27^-j-2)7^, est réduite à celle d'équations des degrés (2n-\-2) et n.
Mais on peut encore simplifier le procédé précédent. En effet, comme nous le verrons, pour avoir les quantités 2hi i^i • • •? il suffit de connaître Tune quelconque d'entre elles, et alors on peut exprimer les autres rationnellement par celle-là. Soient généralement p^ q deux fonctions rationnelles et symétriques des quantités r^ , r^ . . , 7\^ on peut faire, connue nous l'avons vu,
rpr^ et Or^ désignant deux fonctions rationnelles de r^, qui ont cette propriété de rester les mêmes, si l'on change ri en une autre quelconque des quantités r^, i\ , . . r^. Supposons maintenant
je dis que s^ pourra êti-e exprimé rationnellement en e et c. En effet, on a
En faisant 7W = 0, 1, 2...2n, et en substituant dans l'expression de s^, on verra que s^ est une fonction rationnelle et symétrique des racines r, , r^
. . . r, 0 . . . de l'équation Ii=zO'^ donc Sf, pourra s'exprimer rationnellement en e et c.
Connaissant .9^, on obtiendra, en faisant fc = 0, 1, 2 . . . 2n^ 2w-|-l équations, desquelles on tirera aisément la valeur de d)\^ en fonction rationnelle de rpr^. Donc, une fonction de la fonne j) étant donnée, on peut exprimer une autre fonction quelconque de la même fonne en fonction rationnelle de p. Donc, comme nous l'avons dit, on peut exprimer les coeflficiens Poj Pn ' ' ' Pn-i rationnellement par l'un quelconque d'entre eux. Donc eniin, pour en avoir les valeurs, il suffit de résoudre une seule équation du degré 2 72 4" 2, et par conséquent, pour avoir les racines de l'équation i?=:0, il suffit de résoudre une équation du degré 2r2-|-2, et 2w-j-2 équations du degré n.
Maintenant, parmi les équations dont dépend la détermination' des quantités y L^ L 1 r ^ 9~"i 1 r ^^^^^^ ^^ degré n peuvent être résolues algébriquement. Le procédé par lequel nous allons effectuer cette résolution est entièrement semblable à celui qui est dû à M. Gauss pour la résolution de l'équation
Soit proposée l'équation
(106) 0=po-{-p^r-\-p,r'-\ 1^„ ..,,.-' -f r",
dont les racines sont:
oh œ' a une des valeurs co, ma)-{-îDi. Désignons par a une des racines primitives du nombre 2 7i -[~ ^ ? c'est-à-dire un nombre entier tel que jti = 2n-\-l soit le nombre le plus petit qui rende a^ ~^ — 1 divisible par 2n-{- 1: je dis que les racines de l'équation (106) peuvent aussi être représentées par
(107) <^*(.),' <p\ae), <p\a*e), <p\a'e) . . . y*(«— *), ou f =
2w+l Soit
HECllEKCHES SUK LES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 311
où k est entier, et a^ entier, positif et moindre que r?. -j~l, je dis que les termes de la série
seront tous difFérens entre eux. En effet, si Ton a
il en résulte, ou
ou
«™ + «^ = (2rz+l)(fc^ + fc^).
Il faut donc que Tune des quantités a"* — «-", «""-[-a^ soit divisible par 2n-[-l; or supposons m > //, ce qui est permis, il faut que a*"~^ — 1 ou ^"»-/*|l soit divisible par 27^-|-l; or cela est impossible, car m — /a est moindre que n. Donc les quantités 1, ai, a^ . . . a„i sont différentes entre elles, et par conséquent elles coïncident, mais dans un ordre différent, avec les nombres 1, 2, 3, 4...n. Donc, en remarquant que
on voit que les quantités (107) sont les mêmes que celles-ci:
y)*(£), (p^{2e) . . . cp^{ne)^
c'est-à-dire les racines de l'équation (106) c, q. f. d. 11 y a encore à remarquer, qu'ayant
«- = (2«+l)fc„-l, on aura
«"+"• = (27^ + l)fc„ a™ — a", donc
^n+wi ^m
Cela posé, soit 0 une racine imaginaire quelconque de l'équation
et
(108) ^{i) = (p\e)-\-ip\ae)e~^^ip\aU)6^-\ ^ ip\a''-U)6''-\
En vertu de ce que nous avons vu précédemment, le second membre de
cette équation peut être transformé en une fonction ratioyinelle de y*(f). Faisons
(109) xp, = x{ip'e).
En mettant dans la première expression de </^(f), «*"« au lieu de é, il viendra
mais nous avons vu que (p^{a''^'^è)=^ip'^{a'^t)^ donc
En multipliant par d"*, le second membre deviendra égal à \pb^ donc
(110) y;{a''e) = e-'^yj€, ou bien
d'où Ton tire, en élevant les deux membres à l§t n*^^ puissanccy et en tenant compte de la relation d*"'*=l,
Cette fommle donne, en faisant successivement 7^ = 05 1,2,3...^ — 1, n équations qui, ajoutées membre à membre donnei'ont la suivante:
(112) nirf^ey = [x{<p'é)Y + [/(y *(«*))]» + [x(<^>*0)]" + • ' •
or le second membre de cette équation est une fonction rationnelle et symétrique des quantités (p^s^ y^(af) . . . y^(a"~^6), c'est-à-dire des racines de l'équation (106); donc (i/^f)** peut être exprimé en fonction rationnelle de po? Pi ' ' - Pn-i » P^^ conséquent en fonction rationnelle de l'une quelconque de ces quantités. Soit v la valeur de (V^^)**, on aura
(113) }/v = (p'e^e(p\aé)-\-e'(p'{a'e)-\ h<^""V(«""'^)-
Cela posé, soit d=:cos [-zsin— — • Les racines imaginaires de l'équation d** — 1 peuvent être représentées par
n n2 ûn—i
Donc en faisant successivement 0 égal à chacune de ces racines et en désignant les valeurs correspondantes de v par v^, v^ . . > v^^ , il viendra
>^ =(p\()-\- 6*(p\ae) -I |-é>'»-V*(a»-'6),
En combinant ces équations avec la suivante:
— p^^ = cp\f) -{- <p\at) + ... +9,«(a"-»É), on en tire aisément
(114) y«(a-«)=-i(-p,+é>-«-ife;+-d-»-};^+d-»«'y^+ . . .
et pour m=:0,
Toutes les racines de l'équation (106) sont contenues dans la formule (115), mais puisque leur nombre n'est que n, il reste encore à donner à (p^{t) une forme qui ne contienne pas de racines étrangères à la question. Or cela se fait aisément comme il suit. Soit
En posant ici «*€ au lieu de f, }^ se changera en d"*"*}^, et v^ en d~"*z;i, donc Sj, se changera en
Jfc
(d-^ViTo* (Vvi) La fonction Sj,^ comme on le voit, ne change pas de valeur, en mettant «"*€
au lieu de f. Or s,, est une fonction rationnelle de y*(«). Doue, en désignant Sj, par iL[9^*(f)], on aura
quel que soit le nombre entier m. De là on tirera, de la même manière que nous avons trouvé (j/'*)", la valeur de s^, en fonction rationnelle de Tune des quantités ^q ? Pi • • • Pn~i • Connaissant 5^^ , on a
Donc en mettant v au lieu de v^ rexpression de y *(«"*) deviendra
pour 771 = 0:
Cette expression n'a que n valeurs différentes, qui répondent aux n valeurs de
v"*. Donc en dernier lieu la résolution de Téquation Pgn+i^O est réduite à celle d'une seule équation du degré 2 7i -f- 2 ; mais en général cette équation ne paraît pas être résoluble algébriquement. Néanmoins on peut la résoudre complètement dans plusieurs cas particuliers, par exemple, lorsque e = c^
e = c^Sj e = c(2±y3) etc. Dans le cours de ce mémoire je m'occuperai de ces cas, dont le premier surtout est remarquable, tant par la ^simplicité de la solution, que par sa belle application dans la géométrie.
En effet entre autres théorèmes je suis parvenu à celui-ci:
"On peut diviser la circonférence entière de la lemniscate en m parties "égales par la règle et le compas seuls^ si m est de la forme 2" ou "2^-f-l, ce dernier nombre étant en même temps premier; ou bien si "m est un produit de plusieurs nombres de ces deux formes."
Ce théorème est, comme on le voit, précisément le même que celui de M. GausSj relativement au cercle.
