EST EXPRIMÉE PAR UNE ÉQUATION ENTRE DEUX VARIABLES

Magasin for Natunridenskaberne, Aargang I, Bind 1, Christiania 1823.

Soient x^^t y deux quantités variables indépendantes, a, /^, /, à etc. des fonctions données de x et y, et y, /, F etc. des fonctions cherchées entre lesquelles une relation est exprimée par une équation F=: 0, contenant d'une manière quelconque les quantités x^ y, ç)a, //î, Fy etc. et leurs différentielles. On pourra, en général, à l'aide de cette seule équation, trouver toutes les fonctions inconimes dans les cas où le problème est possible.

Pour trouver l'une des fonctions, il est clair qu'on doit chercher une équation oîi cette fonction soit la seule incôniuie et par conséquent chasser toutes les autres. Cherchons donc d'abord à chasser une fonction inconnue par exemple if a et ses diflférentielles. Les quantités x ^t y étant indépendantes, on peut regarder l'une d'elles, ou .une fonction donnée des deux, comme constante. On peut donc diiférentier l'équation F = 0 par rapport à l'une des variables x, en considérant a comme constant, et dans ce cas l'autre variable y doit être considérée comme fonction de x et de a. Or en différeutiant l'équation F= 0 plusieurs fois de suite, en supposant a constant, il ne se trouvera pas dans les équations résultantes, d'autres fonctions de a que celles qui sont comprises dans l'équation F=0, savoir (pa et ses différentielles. Donc si la fonction F contient

2 MÉTHODE GÉNÉRALE POUR TROUVER DES FONCTIONS etc.

on obtiendra, en différentiant Tëquation V=0 n -(- 1 fois de suite dans la supposition de a constant, les 7i-|-2 équations suivantes:

Eliminant de ces n-\-2 équations les 7î -|- 1 quantités incoiuiues

(pa^ dq>aj (JPifa etc.,

il en réilultera une équation Vi = 0 qui ne contiendra ni la fonction (pa ni ses (différentielles, mais seulement les fonctions //?, Fy^ etc. et leur^ diflférentielles.

Cette équation Fj = 0 pourra maintenant être traitée de la même manière, par rapport à Tune des autres fonctions incoimues /(3, et Ton oby tiendra une équation F, = 0 qui ne contiendra ni (pa ou ses différentielles, ni f(3 ou ses différentielles, mais seulement Fy etc. et les différentielles de ces fonctions.

De cette manière, on peut continuer l'élimination des fonctions iticonnues, jusqu'à ce quW soit parvenu à une équation qui ne contienne qu'une seule fonction inconnue avec ses différentielles, et en regardant maintenant l'une des quantités variables comme cx)n8tante, on a, entre la fonctipn inconnue et l'autre variable, une équation différentielle d'oh l'on pourra tirer cette fonction par intégration.

On peut remarquer, qu'il suffit d'éliminer jusqu'à ce qu'on ait obtenu une équation qui ne contienne que deux fonctions inconnues et leurs différentielles; car, si par exemple ces fonctions sont cpa et //?, on pourra, en supposant /? constant, exprimer x et y en fonction de a à l'aide des deux équations a = a et ft = e^ et arriver de cette manière à une équation différentielle entre (pa et a, d'où l'on pourra par conséquent déduire (pa. De la même manière, on trouvera une équation entre f(i et /î en déterminant x et y par les équations a = c et /?=:/i. Ces fonctions étant ainsi trouvées, on trouvera aisément les autres fonctions à l'aide des équations qui restent.

De cette manière, on pourra donc en général trouver toutes les fonctions inconimes, toutes les fois que le problème sera • possible. Pour s'en rendre compte il faut substituer les valeurs trouvées dans l'équation donnée, et voir si elle est satisfaite.

Ce qui précède dépend, comme nous venons de le voir, de la différentiation d'une fonction de x et y par rapport à x^ en supposant constante une fonction donnée de x et y* y est donc fonction de x et dans les différentielles

METHODE GÉNÉRALE POUR TROUVER DES FONCTIONS etc. 3

se trouvent les expressions -— , ^ , ^^ , etc. Ces expressions se trouvent

aisément en différentiant Féquation a = c par rapport à x, et en supposant y fonction de x. En effet, on obtiendra les équations suivantes:

da j^ da dy ^

dx •" dy dx '

^ I 2 J^5 J ^«y I ^^ ^^ 4 ^ fA —, 0 etc

da^ ' dx dy dx ' dy^ da? • cfy dx^ *'

d'où Ton tire

dy dx dx da '

d^a d^a da d^y da? | ç^dx dy dx da? (te 1 Iday

dy [dyj '

d^aldaX* rfa\»

etc.

La méthode générale de résoudre l'équation F=0 est applicable dans tous les cas où l'élimination peut s'effectuer, mais il peut arriver que cela ne soit pas possible, et alors il faut avoir recours au calcul des différences; mais pour n'être pas trop long, je passerai ce cas sous silence, d'autant plus qu'on peut voir dans le traité du calcul différentiel et du calcul intégral de M. Lacroix t. III, p. 208, connnent on doit s'y prendre.

Nous allons appliquer la théorie générale à quelques exemples. 1. Trouver la fonction (p qui satisfasse à l'équation

/ étant une fonction quelconque donnée.

En différentiant cette équation par Rapport à x, en supposant a constant, on aura

or nous avons vu que

dy ^ dx ^

dx da ^

cette valeur étant substituée dans l'équation ci-dessus, on obtiendra, après

MÉTHODE GëNËRALË POUR TROUVER DES FONCTIONS etc.

substituant ces valeurs on obtient

donc

<px = (p'yj j^dx = cj —,

, CcLt log X=:C I .

Si Ton veut trouver arc tang x, on a

arc tang :j — -^ = arc tang x -|- arc tang y,

et par suite

On tire de là

l — xi/

do: ~ 1— .r^""«"(l —xyy~l\—xyf^ da 1 j^ jp(j/ + ^) 1 + ^

dx 1 + /

par conséquent

d'où

arc

da 1 + ai^ '

ifx = tp'tjp^±Ç dx, tang x==i:c/^-p^ = /-y-p^, en faisant c=l.

Supposons maintenant

A^i yj H>Pi n) = (p(i.(fr — v^' H>y^

en faisant (3=:x, y=-y. On aura

f^=fy = ^, f\w) = H>y, /(yy)=9'^j

d(i dy - d^ dy ^

dx dy ' dy dx

L'équation deviendra donc

, da , da f^

6 METHODE QëNEUALë POUK TROUVEU DES PONCTIONS eit.

donc

et en intégrant

Soit

on aura

(ta ff'x Y''y tix

(p.r if y da '

(il/

da log (px='J^J^ I £-- dx.

da ^^—^^

yx = 6''^,

Soit par exemple az=LX-\-y^ on aura -== l=-y , donc

T=if(]x = Xj

Soit a = xy^ on aura

da da rn C dx

donc

<px=ie''^^'j

c'est-à-dire

(px = X*.

Si Ton cherche la résultante B de deux forces égales P, dont les directions font un angle égal à 2a:, on trouvera que B=zP(pXj où (px est une fonction qui satisfait à Féquation

ipx.(py = y(a; + y) + (f>{x — y).*)

Poui^ déterminer cette fonction, il faut dilFérentier l'équation par rapport à ce, en supposant y -|- a: = const., et l'on aura

(p'x.(py']^(px.(p'y J^=(p\x — y) 1 — -^.

*) Voyez Poisson, traité de mécanique t. I, p. 14.

MÉTHODE Q£N£RALË POUR TROUVER DES FONCTIONS etc. 7

Mais de l'équation x-\-y = G on tire -/ = — 1; substituant cette valeur,

on obtient

^'x .q>y — (px. (f'y =. 2(p\x — y).

Dilférentiant maintenant par rapport à x, en supposant x — y = const.,

on aura

(p''x.(py'\'(p'x.(p'y-£—(p'x.(p'y — cpx.(p'y-£- = 0',

or l'équation x — y = c donne - — = 1, donc

(p''x.(py — (px,(p"yz=0.

La supposition de y constant donne

d'où l'on tire en intégrant

(px=:a cos {(ix -|- y)j

a^ P çX Y étant des constantes. En déterminant celles-ci par les conditions du problème, on trouvera

« = 2, /3=1, 7 = 0, donc

^ic=:2cosx, et par suite B = 2 Pcosx.

2. Déterminer les trois fonctions (p, f et ip qui satisfassent à l'équation

ipa = F{x, y, (px, (p'x, . . ./y, fy, . • .),

où a est une fonction donnée de x et de y, et F une fonction donnée des quantités entre les parenthèses.

Différentiant l'équation par rapport à x, en supposant a constant, et

cLx du

écrivant ensuite — , - au lieu de , , on obtiendra l'équation suivante

da F\v-\-r(tfa:)(p'x+...

dcT— F^+F\fy)f']f +./.' dy

8 MÉTHODE GÉNÉRALE POUR TROUVER DE8 FONCTIONS etc.

Si dans cette équation on fait y constant, on a une écpiation différentielle entre tpx et x, d'oîi Ton peut tirer (px, et si Ton fait x constant, on a une équation différentielle d'où l'on peut tirer fy\ ces deux fonctions étant trouvées, la fonction i//« se trouvera sans difficulté par l'équation proposée.

Exemples. Trouver les ti'ois fonctions qui satisfassent à l'équation

'K-^' + i/) = V'^ J'y -^-fy • V^'-^-

On a ici

i\x, y, (fx, (p% fy, fy) = ifxj'y.'\-fy.tpx,

donc

F\f,j) = <p'x, F\fy) = <px;

de plus

donc

r/a da ^

(Le ' dy

Ces valeurs étant substituées, on aura

1 fy • <f''^ + fy- ffj^

"- — ff'x.fy + rfœrry'

oii bien

Faisant y constant, on trouvera

(px = a sin [bx -|- c),

et si l'on fait x constant,

fy z= a' sin {by -f c').

On tire de là

(p'x = ab cos [bx -\- c), fy = a'b COB {by -f c').

Ces valeurs étant substituées dans l'équation proposée, on obtiendra

i/;(a; -|- y) = aa^b (sin {bx -[- c) cos {by -\- c') -|- sin {by -}- c') cos (6x -[- c) j

= aa'è sin (b{x -\-y)-\-G-\-c^\

MÉTHODE G£N£KAL£ POUR TROUVER DES FONCTIONS etc.

hoi^ trois fonctions cherchées sont donc

(px = a sin (bx -j- c),

^ = a'sin(6y + c'),

y;a =^ aa'h sin (ia -|- c -|- c').

Si l'on fait a = a' = 6 = 1 et c = c' = 0, on aura

yx = sinic, fy=iwiiiy^ i//a = sina,

et par suite

sin (x -|- y) = sin x . sin 'y -j- sin y . sin' x.

Trouver les trois fonctions qui sont déterminées par Téquation

xp(x + y) =y{xy) + (p{x — y).

Différentiant par rapport à x, en supposant a;-|-y constant, on aura

0 =f{xy) ii/-x)-\- 2<p'{x - y).

Maintenant pour trouver y, soit xy = c et x — y = <^j on aura

donc

Pour trouver y, soit xy = (3 et x — y = c^ on aura

Ces valeurs de (pa et f/i étant substituées dans l'équation donnée, on obtiendra

V'C^ +y) = c" + c'x^ + fc' + -*(*- y)«.

Pour déterminer y/, soit a; -j- y = «, d'oîi l'on tire y '=^(t — x^ d'où V/a=c"+c'x(a— x)+A;'4- 1 (2a;^«)*=c"-|- ^ a'+fc'-f x«(c'-r2fc)-f (2A;— c')»*-

Pour que cette équation soit possible, il faut que x disparaisse; alors on aura

2fc — c' = 0, et c' = 2fc.

Cette valeur étant substituée, on obtient

qui sont les trois fonctions cherchées.

10 MÉTHODE GÉNÉRALE POUR TROUVER DES FONCTIONS etc.

(;Oinine dernier exemple je prendrai le suivant: Déterminer les fonctions (p et f par Téfination

'fi-'' +!/)= v-^ • fy + A • H y-

En supposant ir-[-y = c, et en différentiant, on obtiendra

0 = if/x .fy — ifx.fy -f/x . tpy —fx . (/y.

Supposons de plus que ^(0) = ! et y)(0) = 0, nous aurons en posant y = 0:

0 = (p'x — (fx.c -^fx . c\ donc

fx = hpx -|- k'tp'x.

Substituant cette valeiu* de fx^ et faisant y constant, on aura

ip"x -\- a(p'x -|- bipx =• 0,

Connaissant ipx^ on connaît aussi fx^ et en substituant les valeurs de ces fonctions, on pourra déterminer les valeurs des quantités constantes. Ou peut supposer

ce qui donnera

<fx= ,. - = sin X, jx = coa x.