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Expressions diverses des fonctions (p(n^'), f{nfi), E(n^y

En faisant usage des formules connues, qui donnent les valeurs des coefficîens d'une équation algébrique en fonction des racines, on peut tirer plusieurs expressions des fonctions (p{n(i)j f{n(3)j F(nft) des formules du paragraphe précédent. Je vais considérer les plus remarquables. Pour abréger les formules, je me servirai des notations suivantes. Je désignerai

1) Par -2'„^m la somme, et par IT^rpm le produit de toutes les quan-

tités de la forme yjvij qu'on obtiendra en donnant à m toutes les valeurs entières, depuis k jusqu'à fc', les limites k et k' y comprises.

2) Par S^S^^yjim^fi) la somme, et par TT^n^\p{m^^) le produit de

toutes les quantités de la forme \p(rn^y) qu'on obtiendra en donnant à m toutes les valeurs entières de fc à fc', et à ^ les valeurs entières de v à v\ en y comprenant toujours les limites.

D'après cela il est clair qu'on aura

(119) i^^(^) = ^(fc) + ^(fc4.1)-| \-^{k'),

(120) [T^f{m) = f{k).yj{h-\-l) . . . y;{¥),

(121) 2:„2^f{7n,/ii) = ^Mk,iti)-[-k^yj{k + l,fi)-{ [-k^yj{k',ij),

(122) n^ n^V'{m,,u) = h^rp{k,iii) . rT^rf,{k-\-l,fi) iT^yj{k\fi).

Cela posé, considérons les équations

Nous avons vu que Pg^+i est une fonction rationnelle de x du degré

{27i-\-iy et de la forme x.rp{x^). De même P\n-^i ©* ^''i.n+i «^nit des fonctions de cette même forme, la première par rapport à y et la seconde par rapport à z. Enfin Ça^+i est une fonction qui, exprimée indifféremment eu x^ y ou Zj sera du degré (272-|-l)*-^l, et contiendra seulement des puissances paires. Donc on aura

En substituant ces valeurs dans l'ëquation (123), il viendra

(^a.(»«+i)' | [. Bx)=<p{2n^ l)/9. ((7a;»-+»>'-' -|- \-D),

Dans la première de ces équations A est le coefficient du preinier tenne, — (p[2n-\-l)l3.G celui du second, et — <p{2n-\-l)l3.D le dernier terme.

Donc -j-(pi2n-\-l)P est égal à la somme, et -j-y(2«-j- l)/î égal au produit des racines de l'équation dont il s'agit, équation qui est la même que celle-ci :

ç.(2«-fl)/9

in+1

Donc en remarquant que A^ G et D (et en général tous les coefifîcîens) sont indépendants de /?, on voit que (p{2n-\-l)/3 est (à un coefficient constant près) égal à la somme et au produit de toutes les racines de Téquation (124). De la même manière on voit que /(2w-|-l)/? et F{2n-^l)/3 sont respectivement égaux au produit ou à la somme des racines des équations

en ayant soin de multiplier le résultat par un coefficient constant, choisi convenablement.

Maintenant d'après le n® 11 les racines des équations (123) sont respectivement :

OÙ les limites de m et fi sont —tU et -|-n. Donc en vertu de ce qu'on vient de voir, et en faisant usage des notations adoptées, on aura les formules suivantes:

,,(2»+!)/?= A t.%(-l)-*'.,[fi+'^^], /(2»+I)/S = x|.|,(-l)-/(/» + ^^ti^').

— Il — « V I /

/(2«+ 1)^ =£■ ^.^^/j^+Ï^Lti^) , F(2n+l)li = B'*nXF[p+'^-±^^'] ■

Pour déterminer les quantités constantes A, A\ A" ^ J5, J5', B" ^ il faudra donner à /? une valeur particulière. Ainsi en, faisant dans les trois

premières formules /î = o ~h 9 h *P''^s avoir divisé les deux membres par y/3, il viendra, en remarquant que ^'Iô ~h ô'*)^^^»

Soit (i==.- -\--^ *-|~"» *^^ *^

9)((2n + l)a + nw + n(3i + y + yi) \

pour a=0.

/(« + T + tO ~ /((2«+ !)«+;)

ir((2« + 1)« + ne + «o* + f + f i)

^ ^((2n+l)«+? + fO^. ^.„ ^K-M

^(« + Y+tO ^ i^((2«+l)a + |e)

Ces expressions de A^ A\ A'' deviendront de Ift forme ^ en faisant a = 0, donc on trouvera d'après les règles connues

A -^ Af Aff ( •'■)

D'après cela les trois premières fonnules deviendront

*(2''+l)/»=i.-qrTÎ.|(->r'*(/'+T^)'

(126) ^/(2»+l)^=-fcli)l|,|,(-l)-/(/5 + -'"|:^f'-).

Pour avoir la valeur des constantee B^ B'j B", je remarque qu'on aura

(127) n„n^xp{m,fi) = xf;{0,0) n„yj{m,0)^{-m,0) ri^yj{0,fi)tfj{0,-,u)

X n„ n,.yj{m,ij.)f{—m.,—fi) /7„ rT^yj{m, —fi)tf){—m.,iii).

En appliquant cette transformation aux formules (125), en divisant la première par <p(i^ la seconde par fft et la ti'oisième par i^/3, en faisant ensuite dans la

première /3=:0, dans la seconde /?= ^ et dans la troisième ft=^-<^ h ®^ ^^ remarquant que ?î^-±l)^ = 2n+ 1, pour ^ = 0, que •^(i"--ti)^ = ( i)n

(2n+l), pour /?=f , et que ^^''±^ = {-lY{2n-\-l), pom- /3 = |-^^ on trouvera

^Y"/" IT*"*" 2n+l P [Y*"T~ 2n+l

En tirant de ces équations les valeurs de B^ B\ B^'^ et les substituant ensuite dans les formules transformées, il viendra

o /m(o-\-u(di\

a /mat — udfi\

/(2«+l)/9 = (l).(2n+l)//9JT„ -y, „,, .

xn^n.

^ /g» mo + ^i&tN •^ V2 *^ 2n+l /

mo}-{-fi&

i-j^(,^~-2M^y ^l^'^'Tn+1-j^i^- 2n+l j

\i "^ in + l )

On peut donner à ces expressions des fonnes plus simples, en faisant usage des formules suivantes:

F(fi+a)F(^-a)

rii

F*ii

qu'on vérifiera aisément au moyen des formules (13), (16), (18).

En vertu de ces formules il est clair qu'on peut mettre les équations (129) sous la forme:

{2n-\-l)<pl3n„

g / mat \

(f'ii

rt I (o û> . moj A

1 <irV

fil"' > """ •' \2 2»-|-l

•' ^2 2n+iy

g / a> tw«^ -|" /"^*

(O â> . moj -4- ticDi \

/ta I (O & . miû — ucbi\ /Nv+2' + -2T+-f-)

(— 1)" (2« + 1) F(i /7, vi,,^ '"+ ' '-— n

Viî 2 ^2n + l/ Vï 2 ^2«+l/

nw) -\- fiûfi 2n+l

Ces formules donnent, comme on le voit, les valeurs de y(2»-|-l)/?, f(2n-\-l)l3 et F{2n-\-l)l3, exprimées respectivement eu fonction rationnelle de (p(S, f{3 et F (S sous forme de produits.

Nous donnerons encore les valeurs de /(2n-|-l)/J, F{2n-{-l)lS sous une autre forme, qui sera utile dans la suite.

On a P(i=\ — c\^(i, donc

P^ «*[9f*/»-'ir''('^ *■ + «)]

or en vertu de Téquation (18) on a

donc

qp^a

9>Mt* + "

On trouvera de même

cp^a

En vertu de ces formules, et en faisant (3 = 0 pour déterminer le facteur constant, il est clair qu'on peut écrire les expressions de f(2n-\-l)/3j F{2n-\- l)(3^ comme il suit:

UECHEROnES SUR LES PONCTIONS ELLIPTIQUES. 323

i yV 1 yV

^"(¥ + -2^1-) y'(2 + -TM^i-

i " 1 " 1 JP*^ 1 y * /î

9* V2""^T* + "2»+i"j y VT + "2 * "•■ ~T .T+T"/

«çV 1 fplt

«rM^^+o—TT » y* v*+-—

i?'(2« + 1)/9 = F(3 n„ — —^--"^.1^-^ rr,

2»»+l/ rr ^ V2 27i + l

y*/9 , " , <jf)^/î

« / a> «a , me» \

^ VT'^'2 '■^i'M-i/ "^ V2 ' 2"''2« + l

1 <p'^ 1 yV

Dans ce paragraphe nous n'avons considéré les fonctions (p{n[i)^ f{n(3)^ F{n(i) que dans le cas des valeurs impaires de n. On pouiTaît trouver des expressions analogues de ces fonctions pour à^ valeurs paires de 7^; mais comme il n'y a à cela aucune difficulté, et que d'ailleurs les formules auxquelles nous sommes pai'venus sont celles qui nous seront les plus utiles dans la suite, je ne m'en occuperai pas.