VIL

Développement des fonctions q^a, fa, Fa en séries et en pi^oduUs infinis»

En faisant dans les formules du paragraphe précédent (i = ^ ^ > on

obtiendra des expressions des fonctions (pa^ fa^ Fa^ qui, à cause du nombre indéterminé w, peuvent être variées d'une infinité de manières.

Parmi toutes les formules qu'on obtiendra ainsi, celles qui résultent de la supposition de n infini sont les plus remarquables. Alors les fonctions (/), y, F disparaîtront des valeurs de (/>«, /a, Fa^ et on obtiendra pour ces fonctions des expressions algébriques, mais composées d'une infinité de termes. Pour avoir ces expressions, il faut faire, dans les fonnules (12(5), (130),

/î=ô — r^' 6t ensuite chercher la limite du second membre de ces équa-

* ln-\-\ ^ ^

tions pour des valeurs toujours croissantes de n. Pour abréger, soit v une quantité dont la limite est zéro pour des valeurs toujours croissantes de v. Cela posé, considérons successivement les trois formules (126).

En faisant dans la première des formules (126) /?zzi:^— —y, et remarquant que

(?(m, f,) = d(0, 0) + 2„ [d(m, 0) + e{-vi, ())] + 2^ [é>(0, .«) + d(0,-.«)l

+ 2^2^ [e{m,n) + d{-m, -n) + e{m, -fi) + d{-m,f,)] ,

il est clair qu'on peiit mettre la fonnule dont il a'agit sous la fonne:

a 4- mo) 2n~+ 1

a — mil)

oh J'on a fait pour abréger.

(m-f J)ft;-(-(;i-}-^,<Dt\ >•

Maintenant, en remarquant que

oïl A^ et B^ sont des quantités finies, le second membre de l'équation (132) jusqu'au terme qui a le signe — > prendra la forme

la 1 **

2;r+T f 2«qrT + (2^qri)ï -S". (— l) " ( A, + ^".) ;

01' la limite de cette quantité est évidemment zéro; donc, en prenant la limite de la formule (132), on aura

<pa = —r-- lim. 2:„ 2 (— 1)"-^^(to — m, n — (x)

ec i" i''

OU bien:

(134) (pa = -^\xm.%%{- l)"+''.//(m,.«)

+ Mim."ir4(- l)"^''Vi(«^,/')-

Il suffit de connaître Tune de ces limites, car on aura l'autre en changeant seulenient le signe de i. Cherchons la limite de

Pour cela, il faut essayer de mettre la quantité précédente sous la fonne

où P est indépendant de /?., et v une quantité qui a zéro pour limite; car alors la quantité P sera précisément la limite dont il s'agit.

Considérons d'abord l'expression

Soit

et faisons (136) oii aura

(137) Xi

V(w » /') — ^("^ .") = (2V+lji ^^f

ir^'{m„u)-:S, (- ird{m,fi) = 2a ^,(- l)"^^^!)

Cela posé, je dié que le second membre de cette équation est une quantité de la forme k- , , •

D'après les formules (12), (13) on aura

(f(li + e) ' (p(li-e) (p(^-\-e).q([i-e) q'^li-if^e

donc, en faisant /î = f€.Fe = df, on a

„x ,('«+J)w+^(/'Jii) <?«■___«;.

yj{m,fi) =

Or on a

2 ,,.4-1 ~^(2n~+iy

donc

^;{m,ti) =

9^'(2/-ri)-9^'(2«+7)

2a , 2Aa^

(2r/+l)« ' (2n"+iy"

et par conséquent

,,n,,,-ei.,,^^:^^

2Aa^

Donc la valeur de R^ deviendra

(138) Ji^ =

HECU£liCH£S SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES, 327

Cela posé, il y a deux cas à considérer, suivant que v ^7 a zéro pour limite ou non.

a) Si v-^ ^ a zéro pour limite, on aura

»(i^r)=v'i-«v(â;tT)Ki+«v(j;i)=i+(,;:^;%..

^ \ 2« + 1 I ■" (2« + 1)* ' (2« "+ 1)* ' où 1?„, C^, D ont des limites finies; donc, en substituant,

(139) ^.=^«'->7;;^-%if"^^V " ««

e^ + (2« + 1)* . ef, ^^ l2n + 1)*

^fl ^ fl

or que «^ soit fini ou infini, il est clair que cette quantité convergera toujours vers une quantité finie pour ^des valeurs toujours croissantes de n. Donc on aura

(140) li, = r^-^v^,

où r^ est une quantité finie indépendante de n.

b) Si ,. -^ . a pour limite une quantité finie, il est clair qu'en nommant cette limite (T^, on aura

Cela posé, considérons l'expression -2*^ ( — 1)^. J^i\i' ^^ *^ (142) "i: (- 1)'' (,,^^^ 1). = (2« + 1)^ ■[Bo-B. + E.-B,-^..-

+ (- 1)-> E,, + (- 1)^ (A, - M,,, + ij:,,, - i^,, H h (- 1)"-^-* ^«-i)] •

lit tiUM(lt|.H

'■Il itiiriL

ù R est également une quantité finie.

Considérons maintenant la sonnne

Si - ^ - a pour limite une quantité différente de zéro, on a, connue on Ta vu,

si au contraire i^r--,-.- ^ pour limite zéro, on a

Zn -|- 1 ■*■

or, si en même temps fL>\n^ il est clair qu'eu vertu de la valeur de iif„,

or il est clair que B^ et C,, , tous deux, ont pour limites des quantités indépendantes de //, donc en nommant ces limites B et (7, on aura

et par suite, aussi dans ce cas.

Donc, comme dans le cas oîi t^ — ^^r-r aurait une limite différente de zéro ^ zn -\~ 1

pour toutes les valeurs de //, on démontrera que

Maintenant en combinant les équations ci-dessus, on en tirera

T* ( n^- -^^- — ^ .yff I •

or ^ — :— r a zéro pQur limite, donc

Zn-\- 1 ^

"-' iî« tî

>ft.

Donc cette formule a toujours lieu, et par conséquent la formule (137) deviendra

(144) X(- lYxt,{m,^)-%{- l)^<?(m,.«) = -2,4-l •

Cela posé, il s'agit de mettre 2^{ — l)^d(7Ai,//) sous la forme -P~h.y ti Or c'est ce qu'on peut faire comme il suit. On a

/ n— 1 OO CX5

/ 2;^{—lYe{m,fi) = {—iy[0{m,n) — e{m,n-\-l)-\-e{m,n-{-2) ]

Or d'après une fomiule connue on a

oh Aj B , . , sont des nombres; or

^^'^'''f — a^-[(7n+i)co-i-lH + i)t!>iy'

donc en substituant

^ J ^Aa(ùi[(in-\-\)(jt}-\-{n-\-\)Qi\ j^

De là il suit que

0(m.n) — 0(ni.7i4-l)-\- ' - ' = ^ ^ -| — „ = --, -. Donc en vertu des équations (145)

M- i)''<^KA') = fM(- ir-«K.")+ 2,TqrT

et par conséquent

(146) ''^"^(-lYrp(^rn,fi) = ^^{-lY.^

Ayant transformé de cette sorte la quantité -2*^( — l)'".^(m,/^), on tire de l'équation (146)

(147) "il"ii.(- ir''V(m„«) = '^V l)-.p„+'ï 2 "- , eu faisant

V ayant zéro pour limite. Donc l'équation (147) donnera, en faisant n infini,

(149) lim.X"i],(-l)«+^(/,(7/^,/.) = f(-l)-.p„.

De même, si Ton fait, pour abréger,

(150) { ^^^'^^f'^=-i'-[(n. + i)co--(fr+^)W'

(151) lim."il'5].(-l)-+''ViK/*)=^(-l)>.'.

Ayant trouvé les deux quantités dont l'expression de (pa est composée, on aura en substituant

et/ /v Cl/ n Cl/ /\

OU bien, en remettant les valeure de' (fj et p^ ,

(152) (pa =

Maintenant

a»— [(m + i)co±(iu + i)â^•]* «—(,«4- J)w:F(i" + i)û« ' a + (»»+i)w±(i« + i)0»'

donc

332 RËCIIKKCHES SUR LES PONCTIONS ELLIPTIQUES.

donc l'expression de (pa prendra la fomie réelle:

(153) tpa =

c'est-à-dire qu'on aura

(154) ipa= ^ (S^.^S,^d,-â,^ . . . +(-l)-<î. . . .)

-l ('V-^V + <y,'-<îa'+-- • • +(-i)"rV...),

[«-(»'+l)wJ*+T [«-('«+*)«]*+ '-f- [«-(m+i)w]»+"~

ft / 1 p I

Si Ton commence la recherche de la limite de la fonction

^„JS*^( — ly^^^xfjiin^^) par celle de -2'( — lY\}j{in^fi) au lieu de celle de

^( — l)^yj{in^fi)j comme nous l'avons fait, on trouvera, au lieu de la for-

mule (153), la suivante

(156) (pa =

e^'^^^ ^ T"^ ^ l[a-(mH-J)w]^ + (^H-j)'^* [a+(m+i)wp+(^+i)^cJ>«

c'est-à-dire

(«-;')>(^i+i)^'5* («-'r-y+(M+o*'3'' («- 'ry+(^+i)*«3''

becuerchës sur les fonctions elliptiques.

Cherchons niaîntenant l'expression de fa au moyen de la deuxième des formules (126). En vertu de Téquation (131) le second membre prend la forme suivante:

nuo

mio

fe?ï//^+^i^;f-(-i)"[/(/'+2«^)+/(/^-2:;i)j

fAtai

/.itjji

7nio-\- f.i(oi

+fe|'îf-f.(-i)-[/(/'+-lrV?')+/(''-'lTÏ

En y faisant fi = -—-—^ et en remarquant qu'alors la limite des quantités contenues dans les deux premières lignes devient égale à zéro, on aura

fa = lim. (— 1)" 1. !„ (— 1)™ . V/(ri — w, « — //)

+ lim.(-l)-ii(

^«1 fl

oh l'on a fait, pour abréger.

\f){ii — m, n — /') =

1//j {il — 7W, n — //) =:

a — mil) — ^(3e

Maintenant on a

Soit

on aura

(il — "ï + i) ^^ ~h 0* — /' + i) ^* 2/< + l

y« F(e— i) ye^j^c^ \ 2 2

Donc on aura, en substituant et en mettant m et fi respectivement au lieu de n — m et « — /t ,

On aura la valeur de \p^{vi^fi)^ en changeant seulement le signe de i. En faisant maintenant

et en cherchant ensuite la limite de la fonction

>(-ir.v^K/0,

de la même manière que précédemment, on trouvera

n— 1 n— 1 1 oo / oo \

lim. ^„ ^^ (- 1)- . v; {m, fi) = - • 2A2^{-\Y .0 (m, ,a)

n— 1 n— 1 1 oo / OO \

lim. 2„ 2,, (- 1)". V',(w, h) = . ^ J ^„ ( 1)". é?,(m, /i) ;

donc en substituant dans (159), et en remettant les valeurs de 9(ni,fÂ) et 6i(m,f(), on a

(160) fa =

La quantité renfermée entre les crochets peut aussi se mettre sous la forme

2[a — (m + i)co] 2[a + (m + i)(o]

[a-(m + i)coy + (^ + iya' [a + (m + i)co]^ + (fA + iyc,

donc OH a aussi (161) fa =

oc I oo

2[a+(wj-H)w]

\a+ (j«+ i) wp+ (n+iya-

On aura de la même manière

(162) Fa =

oo / oo

[a-(m+i)w]^+(.ti4-i)Vi

(2^i + l)tD

Venons maintenant aux formules (130). Pour trouver la valeur du second membre, après avoir fait /^= 9— -rî ' ®* supposé n infini, nous allons d'abord chercher la limite de l'expression suivante:

9'*[t„-Ït]

OÙ fc et Z sont deux quantités indépendantes de w, m, //. En prenant le logarithme, et en faisant pour abréger

ip{m,,u) = \og

>-{-,ttà>t-|-*"j 2« + l J

on aura

loge = ^„^ V^(to,,h.).

Considérons d'abord l'expression 2^xfj{m^fi). Soit

rt«

(166) e(:m,fj) = log i-^-"'^:i+-^f' ±^ ,

OU aura

ï// (r/i , fi) — 0(mjft)=z log

1 f[>Z+il..

Cela posé, je dis que le second membre de cette équation est pour toute valeur de m et fi de la fonue

ifj{m, fi) — e{m, fi) = (2,7+1)-^ •

Pour le démontrer, il faut distinguer deux cas, suivant que la limite de -^y~\jY~ Gst une quantité différente de zéro, ou égale à zéro.

a) Dans le premier cas on aura, en nommant a la limite dont il s'agit,

o / ma) + lÀtai -4- k\ « ,

donc

rmeo + ^â>i+kî ^ (2n + l)»r/)»a ' (2n+l)

fmw-^fi&i+ll'— ^ (2w + l)>2a ''(2n4-l)« ^ L 2«'+l J

On a de même

(mw4-|U(J>/+A)»~ (2n + l)2r^^^+^!^^^+^l' (2n+l)î»a« ' (2n+l)'

(mw4-/i(2>i + /)»"" (2n+l)»a3 I (2n+l)

En substituant ces valeurs, Texpression de xfj{m^n) — d{m^fi) prendra la fonne:

[ 1 '- - 1 "JL ]

v/(m,//0 — dK//)z=iog ^ — ;-- - -^ — ,^.— Y

lés quantités v^ v\ v^ v/ ayant toutes zéro pour limite. On a

^^^ ( ^ ~ WfT+Ty ) ^ (2// + ly ^^^' 5

par conséquent

h) Si la limite de la quantité ^^ "l f '' ®®* égale à zéro, on aura

donc

Si maintenant mœ-^fiGii ne va pas en augmentant indéfiniment avec

n, on aura

1 ^Li" + iJ__l " I .

de même

rr« r'"«' + /"a» + ^ 1 ~ (»«W + /lot + 0* "^ (2n + 1)* '

donc dans ce cas

ifj{m, fi) — d(rft, /*) = log ^''" + ^*

rT/

(2n + lJ*

B' et 6^' ayant des limites finies, ou bien

la limite de D étant également une quantité finie.

Si au contraire la quantité mo) -j- fiWi augmente indéfiniment avec 7i, on a

{nuo + fttbi + k)'^ "'"' | ' 2 » + 1 J {imo -\- fiû)i\-k)*

or les quantités ; — --. , ,? — ' ■ i-^ ont zéro pour limite: donc la

quantité précédente sera de la forme

A'' ayant une quantité finie pour limite. En changeant k en /, et désignant la valeur correspondante de A^* par A^" ^ la valeur de î//(m,/f) — 0{m^fi) deviendra * \

Maintenant la limite de -4" est la même que celle de ^; or il est clair que cette dernière limite est indépendante de fc, 7n, a (elle est en effet égale au coefficient de a* dans le développement de cp^a). Donc on aura

et en changeant fc en ?, »

d'où A'' — u4/' = î; — v'z=zv. Donc A'' — -4/' a zéro pour limite, et par conséquent on a

Donc nous avons démontré, qu'en faisant (167) iKm, ,./) - d{7n,^) = (2,f +"1)» '

la limite de -4„,,^ sera égale à zéro toutes les fois que mœ-^-ftWi augmente indéfiniment avec ?i, et qu'elle sera égale à une quantité finie dans le cas contraire.

Cela posé, considérons la quantité -2'^i//(m,^a). En substituant la va-

leur de i//(m,/i), il viendra:

Soit V le plus grand nombre entier contenu dans ^n^ on peut faire

Or, d'après la nature des quantités ^«^^, la somme contenue dans la première lig-ne sera égale à v.A^^ et la seconde égale à AJ(n-r-r)^ où A^ est une quantité finie et AJ une quantité qui a zéro pour limite, donc