A„^^ = yA^ + {n — y)AJ = {2n^l)B

où

Donc la quantité Ji^ a zéro pour limite, v ne surpassant pas ^71. Par

là Texpression de 2^xfj{m^u) se change en

Pour avoir la limite de ^^0(7n^/ti)j j'écris

n oo oo oo oo

Or on peut trouver la valeur de -2]^ ^(m,/i-[rn) comme il suit. On a

6{m,ft-\-n)= log

[mw -f- ( « -|- n) (ht + / j *

[mw + (/< + «)<3t + /J*

[mil) -\- (n + h) (3* -J- /-] *

wiw + (/" + w) <3* -|- /] * [miw -|- (/u -f- n) O* + ^'j

De là on tire

?/ \ 7i f ^ 2n^ Il \ y I

ekî.

Or on sait que la limite de 2^ — ^r~ ^^ égale à / ôx.dx^

f"" TT ^' ( n ) ^ j , ^1 a; . Jx 4- w, , etc.,

donc

et par conséquent en substituant

d(w„«+«) = - - ./ ex.dx-\-^^.j e,x.dx~\ 1-

va' , Via' n ' 2n

da; =

- -f- (3« + .rt^^ ^ -|- '^^ + *''^^^

etc.

donc on aura

/ dx.dx =

5» |r~«'±*+ûi.

-|-t3t+jrc3i

(ai \ foMu+t

La limite de cette expression de / Ox.dx est zéro pour une valeur quelconque de x. De nieuie on trouvera que la limite de / O^x.dx est

zéro, d(mc

a* [ I «*. '4. 5*. "L 1^+^ JL

donc aussi, en faisant /<t=:oc,

d'où

v^ ayant zéro pour limite. De là on tire

En prenant la limite des deux membres et remarquant que

on aura

(171) lim. ^, ^^rp{m, .«.) = 2j2:^e(m, fi)

En remettant les valeurs de if)(m,jii) et 6{m,ju-)f et passant des logarithmes aux nombres, on en tire

(172) lim. n„ 77.

*^*[v«-Tt]

^ »•■'# — [— /umt^m —j— «V I I 4 rt *

«ir'i -|- ^«>i -f- A "I I 1

(«wt; -j- ttdti -j- ^) *

Par une analyse toute semblable à la précédente, maïs plus simple, on trouvera de même

lim. /7„

{nuo -|- Jfc)*

lim. n.

(//I&i + ib)*

{fiiùi 4- /;«

Maintenant rien n'est plus facile que de trouver les valeurs de tpa^ fa^ Fa. Considérons d'abord la première formule (130). On a

donc

* /7« rr.. -

9^ L"iM^"T-T*J */• L~

— m -{- i) M -\- (n — fi-\-

i)ôi-j

1 1 ï -^sr'""'+/'^

''i+,.,vp:„v-?]7>^/^

Cela posé, si Von fait p=. ^ ^ et qu'on suppose ri infini, il viendra,

en faisant usage des formules (172), (173), (174), et en remarquant que la limite de (2n-|-l)f/) - ~ . est égale à a,

oo I oo 1 — , -, r"v« oo 1 — : — T. „ 1

l ((m — J)r«4-(,«— i)<S.]« ■ [(.« — i)w — (,« — J)tf«"l')

Les deux formules (130') donneront de la même manière, en faisant

(3 = „ , > et remarquant que /(O) = 1 , F{0) = 1 ,

-'' ('« — *)='«*/ ""Il 1 — i^ 1 - "-

[(m— 4)w + (,« — i)<».]« - l(m—l)o,—(ft—{)d>i\* (177) i?*» =

rt" ^ rt*

oo / 2 \ CX5 I oo 1 — : —. rrr-— - 1

1 1 — 7. TT--^^. T-rrr^ 1 —

On peut aussi donner une forme réelle aux expressions précédentes comme il suit,

liî/,i« 12

oo oo L-\ -— 1 -\ - -— I 1 -\- —

oo / ^a

(179) /„ = ff.[l £

oo / ^2

(•es traiisfornuitions s'opèrent aiséineiit au moyen de la formule

{ci — biy] \ ^ ' a-\-lfi

a^bi

a + bi

a — bi

Dans ce qui précède nous sommes pai'venus à deux espèces d'expressions des fonctions (pa^ fa^ Fa\ les unes donnent ces fonctions décomposées en fractions partielles, dont la totalité forme des séries infinies doubles, les autres donnent ces mêmes fonctions décomposées en un nombre infini de facteurs, dont chacun est à son tour composé d'une infinité de facteurs. Or on peut beaucoup simplifier les fonnules précédentes au moyen des fonctions exponentielles et circulaires. C'est ce que nous allons voir par ce qui suit.

Considérons d'abord les équations (178), (179), (180). En vertu de fonnules commes, on a

un y

cos

donc

8in2

2;C08j/ ' i^ll ^