COS

En vertu de ces formules il est clair que les expressions de ya, /«, Fa peuvent être mises sous la forme

(pa =

nj\ —

I si n (a -f- 7nto) - • sin (a — mio) • cos * (7/1 — ^) co

Tlt

COS [«4- (''* — i)^^] - ' ^^® [" — 0'* — i) ^^] ~Â ' si^**"^^ ^" (p-{-nt^) (et — rnio) - -J

/7 ll —

(m — D^co

7ti (to — ^)«w»

X Un. tang[a+(7n-^)(t>] ^* • tangfa-(m-J)w] ^^ cot* C'"-i)^^î ' „dr7„,ll-i

-' - • cos (a — moi) ' — • cos ^ (m — i)to~ J^a = cosa~- •//„ ~ . — — -.

1 COS [a -\~ (?n — l)io\ • cos [a — (m — J) io\ • cos - 7mo ~

Oïl trouvera des expressions réelles, en substituant au lieu des fonctions circulaires leurs expressions en fonctions exponentielles. On a

sîn (a • — b) . sin (a-\-b) = sin*a — sin^i, . cos (a -)- h) . cos [a — i) = cos^a — sin^i,

donc

sin (a -h nuo) • sin (a — imo) I sni^a

TT» r y .\ * 7TI , ^ 7Zt

COS [« + (7/6 — ^) (r^j ^^- . C08 [« — (m — }) Co] ' ^^ sill^ « \^

cos ^ (//î — i) 10 - , cos * (?« — J) w -' —

taiig [« -f- ('» — i) w] -^ • tang [a — (m — ^)tM] -^ . cot* {in — |)ttf -—

sin*(7/i-

sin^

TTl

D'après cela, et en remarquant que

— et ^ *^ — —

a^ — în^co^ 1 __ «* «^ — (m — ^)^ w^ j «

il est clair qu'on aura

(181) y« = -^ 7 fl

sin^a t

>*. sui yri <x> sin^7//w i

COB * (w(. — }) w ■ — i

8in*a — i

oo sin ^ (m -A- l)it)-- i

(182) fa = rf„ : -^ ,

0 sin^a- i

(183) i?'a=:cosr: TTi /A,--

^, ta

ce •{ rr il)

cos*(?/i — J) 7ci

En substituant au lieu des cosinus et sinus d'arcs imaginaires leurs valeurs en quantités exponentielles, ces formules deviendront

10 tit (

■ I fU to

(180) Fa = Uh-^k -■ //„ -- /'-,- +^ ---' -,

"' i te « i

où A est le nombre 2,71<S281...

On peut encore trànsfonner ces fornmles de la manière suivante. Si Von remplace a par atj on aura les valeurs de cpiai)^ /(^^'O? ^X«^)« En changeant maintenant c en e et 6 en c, les quantités

01, 6ï, ip{ai)^ /{^^)j F{ai) se cliangerout respectivement en

Q), a)j i(pa^ Fa^ fa^ donc les formules précédentes donneront

48În

ipa =.

sin n.

[mài.r mûi.r ~\ J}

4 sin

r (am— l)(i)-7 (2în— l)à).T~12

4 sin

. o r an ~|

Fa = n.

A aïo ~ /^

(2fli4-l)<x>.7

4sin2

4 sin

r (2to— l)(ô ( (2tii--l)(î).i "12

Considérons maintenant les formules (100), (161), (102). On a

(2ju+l)7r

donc, en faisant

y = [a±{m-^\)ui-\ J:

2ir

En vertu de cette fonnule il est aisé de voir que les expressions (153), (162) de ipa et Fa deviendront

(190) cpa =

(191) Fa =

Les expressions précédentes de y«, i^a, peuvent être mises encore sous beaucoup d'autres fonnes; ]e vais rappeler les plus remarquables. D'abord en réunissant les termes du second membre, on trouvera

(192) <pa—^~^^A 1) -^^f-;-:^^"-;^,,^-^^^

"iari îJa.T ^ , ion: , ton t

(193) /^« -^« V j3„,, - jj„^- . , a>,T , ^ w

Si, pour abréger, on suppose

an œ:i

(194) A" ==« et A ^ =r*, ces formules, eu développant le second membre, deviemlront

(195) (pa =

\ ;; - r ^'j^jV r' - A- I

(196) Fa =

En mettant «e au lieu de « dans les fonnules (192), (193), en changeant ensuite c en e et e en c, et remarquant que les quantités

se changeront respectivement en

S), co, i(p{a)^ fa^ 2?'.sina ?

7r 2 cos « j

il viendra

(197) ipa =

ec 10

sin

cal

a' ^'^+2cos2a +A ^ '^