TT

— COS a ^c-

ç^+2cos(a/r)4- -j ç«+2cos(a7r)-f — çio|2co8(a/r) + -i-o

ont

En substituant dans les formules (190), (191) au lieu de h '^ et k^*^ leurs valeurs e et r, il viendra

(202) (pa

ec <d

-<a« + l) IL g— l^aw + l £^2m + l r ^— 1^— (2W + 1)

En supposant maintenant a < -^ , on aura

1 g— ly.2m + l J I g2y— 4m— 2

+ eV

ij — 1 M — 3m — 1

g^«2m-f*l I o — Im — 2m — 1 1 1 r- — 2 m — 4m — 2

donc

/ jNm ^,-6m-3 ___ ^-3 ^-9 1 ^-15

l-fr-^

etc.,

donc

De la même manière on trouvera

<» l5) ly y— 1 7»3 — ^.—3 I ^5 — y— 5

En mettant a^i au lieu de a, et changeant ensuite e en c et c en e,

w, m, (pU'^tU ^ «2«']' r, «'"-f-f ",

se cliangent en

co, c/>,

?*(/)« ^ h / p^ rt ' Pï 2 cos w« ' î 2?'sin ma ^

donc

I , V A .^ I siï^ « o sîn 3a ^ sin 5« —

,^ A ^ I COS a ^ cos 3a ^ cos 5a^

(207) /|„^^UA;;-|-L-ii— .L U+ L ^J

« tf)

Ces quatre dernières fonnules offrent des expressions très simples des fonctions cpa^ fa^ Fa. Par diffërentiation ou intégration on peut en déduire une foule d'autres plus ou moins remarquables. ^

lŒCHEKCHES SUK LES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 351

Dans le cas où e = c, les formules précédentes prennent une forme plus simple, à cause de la relation œ = Co^ qui a lieu dans ce cas. Soit pour plus de simplicité e = c=l. On a

donc, en substituant, et faisant dans (204), (205) « = a ^ j il vient

(a:i a/i 3a/r 3«;/ 5«/t Ùu/i

«//. «/f 3a;t 3a/r 5a/c Ôw.t

/r /r ti

7€ ^ Il , 71

Les fonctions y, y, F sont déterminées par les équations

«= = 9'(«f ); yi~x'=f[a^j]; yï'+^'=F(a

Si dans les deux dernières fornmles on fait azznO, et qu'on remarque

qu'alors la valeur de ^ -^-Ir est égale à ? et celle de — -*== — - égale à ?/i, on trouvera

2 — ^"^ JA^-l Aa. 1 + ^5:^.^1 • • -j-j^ yi^.'

2 j5 l A 2 A 2 A ^ ^ \ i C^ (li- \ 2

§ viii.

Eicpression algélrrique de la foiniion (p\] dans le cou ou e:=:c'=l,

Applu'atimi à la leinnùtrate*),

Dans le cinquième paragraphe nous avons traité l'équation P^nrO, d'oii dépend la détermination des fonctions ç^ ) et y - • Cette équation,

prise dans toute sa généralité, ne paraît guère résoluble algébriquement pour des valeurs quelconques de e et c; mais néanmoins il y a des cas particuliers, oîi on peut la résoudre complètement, et par suite obtenir des expressions algébriques des quantités y et </) j en fonction de e et c.

C'est ce qui arrive toujours, si ç? - peut être exprimé rationnellement par

9) et des quantités connues, ce qui a lieu pour une infinité de valeurs

de - • Dans tous ces cas Téquation P„ = 0 peut être résolue par une seule

et même méthode unifonne, qui est applicable à une infinité d'auti'es équations de tous les degrés. J'exposerai cette méthode dans un mémoire séparé, et je me contenterai pour le moment à considérer le cas le plus simple, et qui résulte de la supposition e = c=l et 7i = 4:y-\- 1. Dans ce cas ou

aura

C dx .

a^^l -, - ? ou x = (pa.

(208) io yi - ^*

De même

(209) (p(ai)=ii .cpa^

ce qui se fait voir, en mettant xi au lieu de x. Cette fornmle donne ensuite

*) La prcmièro partie do co mémoire contenant les sept premiers paragraphes a paru dans le deuxième tome da Journal fur die reine und angewandto Mathcmatik, la seconde partie se trouve dans le troisième tome.

Note des éditeurs.

(210) f{at) = Fa; F{ai)=fa.

Les deux quantités e et c étant égales 'entre elles, il est clair qu'il en sera de même des deux quantités que nous avons désignées par lo et «J. En effet on aura

En posant dans les fonuules (10) /Si au lieu de /?, on en tii'era, en ayant égard aux équations (209) et (210),

„ /„ 1 /?,-\ fo^fl +i.(pfi .fa . Fa

F(a + «.-) = ?lJÊ±il^^lJl.

Donc, pour trouver les fonctions cp^ f^ F pour une valeur imaginaire quelconque de la variable, il suffira d'en connaître les valeurs pour des valeurs réelles.

En supposant a = mJ, (3 = jiiâ^ on voit que (p(m-\-- iLLi)âj f(m-\-- jiii)âj F(7n-\- fii)â pourront êti-e exprimés rationnellement par les six fonctions suivantes :

(fimcy), (fifjâ), fimd),

fi^â), F{md), Fifiâ),

et par suite aussi par des fonctions rationnelles des trois fonctions (pâj /J, Fâ^ si m et fj. sont des nombres entiers. En suivant ce développement, on voit également, et sans peine, que dans le cas où m-|-/i est un nombre impair, on aura

(p{m-^/ii)â = (pâ.T,

où T est une fonction rationnelle de {(pâYj U^Yi i^^^Yi c'est-à-dire de {(f^y. Donc en faisant (pâ=^x^ on aura

(p{m -\- fXi)â = X . ip(x^).

En cliaiigeaiit â en âi^ cpâ se changera en (p{âi)=^i.(pâ = îx^ et la fonction (p{m-^fii)â en i(p{7n-\-fit)ây donc

(p(m-\-fii)â = x.xlj( — x^)j

par conséquent on doit avoir ifj[ — x^) = ifj{x^)^ ce qui fait voir que la fonction vK^*) ^^ contient que des puissances de la forme x*". Donc on aura

(213) (p{7n-^iu-{)â = x.2\

où T est une fonction rationnelle de x*.

Cherchons par exemple Texpression de y (2 -{-?*) (V en x. On a d'après les fonnules (212), en faisant a=^2â et (3=:^â^

Or les fonnules (10) doiïuent

fK^'^) — TT'(^^^ /l-^.)— T+(^)^ - ' ^^^''^ — — l+"(^(J)"* '

c'est-à-dire, en remarquant que (pâ = Xj fâ = yi — x* et Fâ = Yl-\-x*,

En substituant ces valeurs et en réduisant, il viendra

/oir\ /o I -w 2 — 2.r«-(-i(l — 6.r* + ^8) . l 2e — ^*

EiVpression algf^Mqiie de q)( — — )•

On peut, comme on sait, décomposer le nombre 4r-|-l en deux carrés. Donc on peut supposer

a« + /9^ = 4r+l=:(« + /îz)(a — /ît).

Nous chercherons d'abord la valeur de w — r— 77 ; car celle-ci étant trouvée, on en tirera facilement la valem* de w -. — r-r

La somme des deux carrés a* et /?* étant impaire, Tun des nombres a et /? sera pair et l'autre impair. Donc la somme ^-|-/î est impaire. Donc en vertu de la fonnule (213), on aura

(216) ^f[a^(ii)à = x'^^,

oii T et S sont des fonctions entières de x^=:{(pâ)'\ En supposant â =: --^^? le premier membre de l'équation (216) se réduit à zéro, et par conséquent x = (p{ -Tif-] *^^i'^ ^^^^^ racine de l'équation

Donc on aura la valeur de (p - au moyen de la résolution de cette

équation.

D'abord on peut trouver toutes les racines de l'équation T=0 à l'aide de la fonction (p de la manière suivante. Si T=0^ on doit avoir

d'où l'on tire, en vertu de (27),

(a -|- ftt) â = mio -|- fiiDi = (m -j- /tii) co , et de là

Dans cette expression sont conséquemment contenues toutes les racines de l'équation T=0. On lès trouvera en donnant à m et /t toutes les valeurs entières depuis — cx) jusqu'à -|-oo.

Or je dis que les valeurs de x qui sont différentes entre elles peuvent être représentées par la fonnule

(218-) - = *(ïf^<)'-

V . 1 1 .-v 1 • a« + /9« — 1 . ,. , a«4-i?2— 1 ou p a toutes les valeurs entières depuis -^ jusqu à -| '--

Pour le démontrer, soient X et il' deux nombres entiers qui satisfont à l'équation indéterminée

soit de plus t un nombre entier indéterminé, et faisons

on en déduira sans peine

et si Ton fait

(}=zm-\-ak — fik\

on vérifiera aisément Téquation

De là on tire

,n + Hi Q 7, 7,,-

a + (il CC + l^^

^{'lt''^h] = f( « +V - ^'" - ^'""^

or d'après la relation (22) le second membre se réduit à

(- 1)-'-" 'fl^wr

donc

Maintenant Texpression de () deviendra, en y substituant les valeurs de k et k\

(, = m + /t(A«-f r/î) + ^(a' + /5'), d'où Von voit qu'on peut prendre t tel que la valeur de p, positive ou néffative, soit inférieure à —-^ — Donc etc.

Toutes les racines de l'équation T=0 seront représentées par la formule (218'); or toutes ces racines sont différentes entre elles. En effet si l'on avait par exemple

on aurait d'après la formule (31), (en remarquant que iS = a))

^ -?i!i- = (— 1)-+- -«'^^. + (m + m>, d'où l'on tire

La première de ces équations donne 7^= — (it] m=^atj oh t est un entier indéterminé. En vertu de ces relations, l'expression de p deviendrait

(, = (-l)"'+V + (a* + /?^)f, d'oîi Ton tire

ce qui est impossible, car on remarquera que (>, p' sont tous deux inférieurs à T- • Donc les racines différentes entre elles de l'équation ^=0 sont

au nombre de — - k H f^^* voir encore, si l'équation en question a

des racines égales. En diiférentiant l'équation (21 G) on en tirera, en remarquant que dq)a = da ./a . ^a ,

(« + ^0./(« + /?;:)ry.F(« + /î/)rK^+(;5J).<jp(a + /?ï>y

= x~'fâ.Fâ-\- T.fâ . F<y.

J fp

Si maintenant T a des facteurs égaux, il faut que T et -.-~ soient égaux

à zéro en niênle temps; donc l'équation précédente doiniera

S ./(a + i3t) â . F (a -^lSi)â = 0;

or on a <p{a-\-(ii)â = 0, donc f{a-{-(St)â = ±l = F{a^(3i)â, et par conséquent

ce qui est impossible, car noiLS supposons, ce qui est permis, que T et >S n'aient point de facteurs communs. Par là on voit que l'équation

Tz=0

est du degré a*-j-/3* — 1 par rapport à x, et aura pour racines les quantités :

En faisant x^ = r^ on aura une équation (219) . Ii=0

du degré — —^ = 2>^, dont les racines seront

(220) (p\â), (p*{2â), </)*(3(î) . . . (p\2viy),

oïl pour al>réger on a suppose (î= . —

Cela posé, on peut aisément résoudre l'équation Ii=zO^ à l'aide de la niétliode de M. Gaiiss.

Soit e une racine primitive de a^-[-/3^, je dis qu'on peut exprimer les racines comme il suit:

(221) (f\(y), (p'iny), r/-^(f^y), (r'{i-'(y) . . . (p\è'^-'ir).

p]n effet, en faisant

oh a^ est moindre que — o ' ^^^ aura

OU, en vertu de la fonnule (22), et par suite

Je dis maintenant que tous les nombres 1, «i, a^, ag, . . . a^y i sont inégaux entre eux. En effet soit par exemple ci^ = ci„j on aura

Des deux équations (222) et (223) on tire, en éliminant a„,

-« T^-i^ = un nombre entier.

Donc en multipliant par 6"*:^ é", on trouve que — 2V~i^ ^^* entier, et par suite — g g— > ce qui est impossible, car 6 est une racine primitive de

a*-}-/?*, et 2m — 2n est moindre que a*-}"/'* — 1- I^onc les 2v nombres 1, a, etc. sont différens entre eux, et par conséquent, pris dans un ordre différent, ils sont les mêmes que les suivans:

On voit par la fommle (f* {e"" ^) = (p^ {a„^) ^ que les quantités (220) et {221) coïncident, mais dans un ordre différent.

Maintenant on pourra résoudre l'équation li=zO exactement de la même manière que l'équation (106), On trouvera (110)

où d est une racine imaginaire de l'équation d*" — 1 = 0, et v^ s^j «g, . . . 5jjy.i, A seront déterminés par les expressions

^* ~ ~[g)2((J) rf e . y)»(c()) + e'^ç^^ô) q h"i9^^i'.'p~(72^^=ï(ï)j*' '

qui, par le procédé p, 312, 313, 314, peuvent être exprimées rationnellement par les coefficiens de l'équation ^ = 0, qui seront de la forme A-^-Bi^ où -4 et jS sont des nombres rationnels. Donc la formule (224) donne l'ejxpression algébrique de toutes les racines de l'équation JK = 0 , et par conséquent les valeurs des fonctions

/ w \ / 2w \ /(2î'— l)w\ / 2vio

Ayant trouvé par ce qui précède la valeur de (py- j— 3-. , on en tirera celle de la fonction

comme il suit. La valeur de a> — ,\.| donnera celle de w\ -^A en

changeant seulement i en — ?'. De là on tire la valeur de cp — .-.-^ ..

^ ^\a-[~iii ' ce— (il]

par la formule (10), savoir

inù) , rnw

w «-bSi+iq,;

M-T^V'M^^ + ^ (^->7) -lA -'^'(-4^) .

+'ri^Tf^)-r(~^;}

â+Jii « ff — t^l — «a + /^î» ~ ïi» + 1 '

donc on aura la valeur de la fouction

Maintenant pour avoir la valeur de Ç'Li ,ji i ' ^^ ^ «• ^^^ valeur déterminée quelconque, il suffit de déterminer vi et t de la manière que

ce qui est toujours possible, en remarquant que les deux nombres 2 a et 4i/-|-l sont premiers entre eux; car alors on obtiendra

En posant par exemple 72=1, on aura la valeur de y t -^i

Le cas, où 4i^-[-l a la forme l-|-2'*, est le plus remarquable; car

alors l'expression de 7^r4"TT ^^' ^^^^*^^^* 4^^ ^^^ racines carrées. En effet

on a dans ce cas 2ip' = 2**~*, et par suite la fonnule (224) fait voir qu'on peut déduire cp^e'^â) de ^ et y, en extrayant seulement des racines carrées.

Or V est une fonction rationnelle de 0 et de y — 1 , et d est déterminée par l'équation d^"- =1, d'où l'on tire 0 par des racines carrées; donc on trouve aussi V et la fonction

v(''^)=<f{^ji

Connaissant de cette manière œ\ — r^-\^ ^^ aura de même w\ ^. et de

là, par la fonnule (226) la valeur de <pl -^ mr y 4~/irï r ®^^ ^^^^^7^^*

des racines carrées.

Un autre cas, où la valeur de cp - — peut être détenninée par des racines carrées est celui où n est une puissance de 2, comme nous Tavoiis vu n® 13. Donc on connaît la fonction ^pl-^y^ > et Ton connaît de même

la fonction </^ i x'9» ^^ 1-1-2" est un nombre premier.

Soient maintenant 1+2% 1+2*'', 1 +2"', . . . 1 + 2V plusieurs nombres premiers, on connaît les fonctions

et par suite la fonction

in 10

où m^ est ini nombre entier, qui, à cause des indéterminées m^ m^^ m^^ , . .m^ peut avoir une valeur quelconque. On peut donc établir le théorème sui-

vunt : "La valeur de la fonction ip\ — peut être exprimée par des racines

^^ carrées toutes les fois que n est un nombre de la fonue 2" ou un nombre "premier de la fonne 1 + 2", ou même un produit de plusieurs nombres de "ces deux fonues,"

En appliquant ce qui précède à la lemnîscate, on parviendra au théorème énoncé n« 22.

Soit l'arc AM=^a^ la corde AM=:x et Tangle MAF=z$^ on aura "^ "^

da:=.~ __.

yi— A-^

En eflet, Téquation polaire de la lenmiscate est

ic = y cos 2 0 , d'où

au. = . -- —

donc

mais de Téquation a: = y cos 20 on tire cos2d = x*, cos*20 = x*, 1 — cos*2d = 1 — x^=^ (siii 2dy, donc

et par suite

7 (Lt

aa =

x=z(pa.

Si Ton suppose x=lj on aura a = A3IB=^ • Donc la circonférence AMBN=u). Supposons maintenant qu'il s'agisse de diviser cette circonférence en n parties égales, et soit l'arc AM= — AMBN= — ai, on aura

Donc on aura la corde, et par suite le m'*"* point de division, si l'on connaît la fonction (pi — ; or c'est ce cjui a toujours lieu lorsque n est dëcom-

posable en nombres premiers de la fonne 2 et l-[-2", connue nous l'avons vu dans le numéro précédent. Donc dans ce cas on peut construire les points de division à l'aide de la règle et du compas seulement, ou ce qui revient au même, par l'intersection de lignes droites et de cercles.

§ix.

Usage îles fonctioiu rp, f, F dans la tratisf or f nation des fonctions elliptiques.

M. Legendre a fait voir dans ses Exercices de cale, iiit., comment l'intégrale / — — - ^ > qui, en faisant sîny = ic, se change en J yl — c^sin^ç)

? peut être transformée en d'autres intégrales de la même

forme, avec un module différent. Je suis parvenu à généraliser cette théorie par le théorème suivant:

bi 1 on désigne par a ia quantité ^^ — 9 "i 1 — ' ^^ ^ un au

moins des deux nombres entiers m et // est premier avec 2n-\-\^ on aura

OÙ

((p*a — j;*) (f/i* 2a — .«*) • • • (ff^na — «*)

(1 -|-e*c*y*a..r*)(l -|- e^c*<fi^2a.x^') • • • (1 -)-«*</'*«r^»ta.«*)

a = f.{(pa.(p2a.(pSa . . . (pnaYj

f étant une indéterminée, de sorte qu'il n'existe qu'une seule relation entre les quantités c^ , e^ , c, e. Les quantités e^ et o* pourront être positives ou négatives.

Par ce théorème on peut trouver une infinité de transformations différentes entre elles et de celles de M. Legendre.

Soient m et fi deux nombres entiers, et faisons pour abréger

(m -\- ^^to-\- (m — ju) ûii " '2n-\-l '

oii Ton suppose que Tuu des doux noudn'os m, // soit premier avec 2??. -j-l.

En désignant par 0 une (piantitë quclcon([ue, il viendra, en vertu de la fonnule (22)

(229) if [6 -f (2/^ -|- 1) a] = (fO. En mettant 0 — iia au lieu de 0^ on obtiendra

(230) y L^ + (^2 + 1 ) «] = ^/^ (^ — H- Cela posé, considérons rex])ressi()n suivante

(231) (p,e = <pe-\-(p{d-^a)^ h</^(^ + ^'«)H \-ip{e-\-2na).

En mettant 0-\-a au lieu de ô, il viendra à cause de Téquation (229)

(232) <p,{e-^a) = if,e, donc si vi désigne \\\\ nombre entier fpielcontpie,

(233) (p,{e^ma) = (p,d.

En vertu de l'équation (230) on peut écrire l'expression de (piO^ comme il suit:

(234) ip,e = (pe-^ip{e-\-a)^ip{e -«)-[- 7^(^-1- 2») -f </)(<? — 2«)-]

-\-(p(6 -^-na) -\-<p(P — 7z«), ou, en veii;u de la formule

(235) ip,e=:(pe

, 2(pe.fa.Fa ■ 2fpO.f2a.F2a , , 2ffe.fna.Fna

' Y+ehi^fp^a.fp^8 "•" Ff i^(^^2f^,(p^0 • ' ' ' + i j. e^c^ip^'na . (f^H '

En faisant <p0 = x^ fp^d devient une fonction rationnelle de x. En la désignant par \px^ on aura

(23fl) v-=-(i+r/,î:i^:.,.+---+f

2 fna . Fna -\- e^c^fp^na . .r-

Maintenant soit e une fiuantité (juelconque, je dis (|u'on aura

RËCUERCHËâ SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 365

/237\ 1 '/'-^ —. \ ~jrfJS ~ r(^ + ")) \ ~ r(e + 2a)) ' ' ' V "^ yTg~+2"^/ .

fCii effet il est clair que la fonction

(.238) R=il — ^\{l-^e'c'(p'a.x')...{l-^e'c'(p'na.x')

sera entière et du degré 2n-}-l; mais en faisant x = (p8j ipx deviendra = (pi€^ et par suite R se réduira à zéro pour cette valeur de x. De même en faisant x = (p(^e-\-ma)^ où m est entier, on aura 'ipx = (pi(e-\-7na)^ ou,

en vertu de l'équation (233), ipx=^(pie. Donc 1 — - =0, et par conséquent x=(p(€-\~mà) sera une racine de l'équation 7^ = 0, quel que soit le nombre entier m. Or généralement toutes les quantités

(239) </)f, ç)(i?-[^«), ç)(6-[--2a), . . . <p{6-\-2na)

sont différentes entre elles. En effet si Ton avait

il s'ensuivrait en vertu de la fornmle (31)

f4-m'«=:(— l)*+^'(6-i-/i'a)-f-7ao + fc'tDz, d'où

fc-[-/c' = 2fc",

{pi^ ,,')« = (A-" -|- l)oy + (fc" — /)a)?:.

De là, en substituant la valeur de a = ^ — -'-^.v^-^r^ — ? on tire

)in-\- 1

(î;i' „') (m, — ,tt) = (2n + 1) (fc" — l) et

équation contradictoire, parce qite nous avons supposé que l'un des deux nombres m et fi soit premier avec 2n-\-l^ et que in' — /// est toujours moindre que 2?2-|~l. Maintenant les 2^4-1 quantités (239) étant différentes enti-e elles, elles sont précisément les 2n-\-\ racines de l'équation 11 = 0. Donc on a

3t>6 UECHERCHE8 SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES.

»x \ l ^ ÛS \ I ^ X

(240) iï=^(l-^)(l--^)...(l-^j^^

oh A est un coefficient constant, qu'on ti'ouvera en attribuant à x une valeur particulière; par exemple en faisant a: = 0, on a R = A\ or l'équation (238) donne pour ic=:0: ii?=l, donc -4=1, et par conséquent l'équation (237) a lieu.

En multipliant cette équation par f/)f et faîsant ensuite « = 0 , il viendra

oix g est la valeur de - ' - pour f :== 0. En faisant, dans la fonnulé (235),

d=zz:0, après avoir divisé par ipO^ on trouve l'expression suivante de cette constante

(242) g=\^2fa.Fa-^2f2a.F2a^ \^2fna.Fna.

En faisant dans la fomiule (230) d = na — (7w'-|-l)a, on trouve

Donc on peut écrire l'expression de ^x comme il suit:

('l^^fl.-M...fl— ^)

^243^ M)x — ax > - - -''— -^ > - -''* '^" ' V ^Ij^

Maintenant faisoim dans l'expression de 1 — -- — > e = ^ • En supposant pour abréger

(244) (f = {l-\-e*c*<p*a.x*){l-\-e*c*(p*2a.x*) • • • {l-\-e*c*(p*na .x*), on aura

i__!^=(i ^j ji 1 j ji f !..-!i - !•-•

or, en faisant dans la formule (230)

on a

donc en vertu de la fonnule (17),

il viendra

Cette équation fait voir qu'on peut écrire l'expression de 1

comme il suit:

xpx

=(i-e.)ii-^-î-j"ii-^.-i-,r...!i- ' '■ •

En mettant — a; au lieu de -\-x, on aura semblablenient

= (l + c.)il + -r„.^Ml + -,.r^^l---il + -7^--u-^

Donc si l'on fait

(247) ij — k.fx, c, = ^ ,

oîi k est indétenuiné, et

f I . . . ji *

fj= 1-1 — j^ — ^j...n-|-

(249) l c,y^(l cx)'^ i4 c.»/==(l + cx)'J

De la uiêiiie manière, eu falsaiit

ou trouvera ces deux équations:

(252) l4-ei?'v^ = (l — e^x)• ' ; 1 ±ejtyr=(l -|-e<'x)

Les équations (249) et (252) donneront

{l-clf/) = {l-c*x''f^'y, (l+«îy') = (l + «*^')y^ ■ ' •

et par coiiséciueiit

(253) vô -"«ïyo (1 + «?/) = ± "'^7' y (r- c*a-T("i -Rx») .

Maîntenaiit Texpression de y donne di/=--dxj où P sera une fonction entière de X du degré 4/^, donc

y(l — tt«y8) (1 +e\y^) tt^Hs^ l/(l — c2,f2) (1 + é;2^-»)

Or je dis que la fonction «^ réduira à une quantité constante. En

efï'et on a

en différentiant, et mettant pour dy sa valeur — ^ > on aura

ct(f — {l~cx)^2()-^—t

On voit (le là que P est divisible par t. De la même manière ou prouvera que P est divisible par les trois fonctions t^ , s^ s^ . Donc si deux quelconques des quatre fonctions <, fj, s^ s^ n'ont point de facteur connnun, P sera divisible par leur produit. Or c'est ce qu'on peut voir aisément à l'aide

P des expressions de ces fonctions. Donc est une fonction entière de x.

Or P est du degré 4n, et chacune des fonctions f, t^j s, s^ est du degré n.

P Donc il est prouvé que est une quantité constante. En la désignant

ttj^88^

par a, il viendra

V(i — cl^/^){l + el^^) V{1 — c^x^) (i + «2^:2)

Pour déteiininer a il suffit d'attribuer à x une valeur particulière. En faisant • par exemple ic = 0 , on aura

t = t, = s = s,= V, F=ff*^ = ^ = krf>'x.

Or en ditférentiant l'expression de xpx^ et faisant ensuite x = 0, il viendra xp'x = gj donc

(255) a = kff.

On peut donner aux expressions de c^^ e^^ g^ a d'autres fonnes plus simples, et qui mettront en évidence plusieurs propriétés remarquables de ces quantités.

Par la formule (240) on voit que le coefficient de a;*""*"* dans la fonc-

A tion R est 7 — ; — r- 7 — r -,r — ;! or d'après les équations (238) et

(243) le même coefficient sera

r/)j c {(pa .(p2a . , . tp^ta) ^ donc, puisque J. = 1 ,

RKCHKR(;iIES SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES.

En faisant dans les équations (236), (243) ir= J, après avoir divisé par X, on obtiendra deux valeurs de — > savoir

1 et K-l)" . ,

donc, en les égalant,

(256) <J = {— \Y{ecy''{ipa.ip2a . . . ipna)\ et par conséquent

(257) f/)i(f)=i:(é?c) ***((/)«.</) 2 a . . . (fnay (f^B , (p{i: -^ a) . ip{t -\- 2 a) . . . y>(€-|-2w«)

=^(p{b)'\-ip{t-\-a)-\-(p{B-\-2a)-\- • • • -j- y) (é -j- 2 wa) .

Cette équation exprime une propriété remarquable de la fonction <p. En y posant « = ^^ 6t €= z, on obtiendra

où l'on a fait pour abréger

En remarquant que

â:=:q>a .q)2a.<pSa . . . (pna.

et en faisant

on tire de ces équations

^1-9 « + « .9-9 i + 2« . . . yhri + n«

Multipliant et remarquant qu'on a (18)

on obtiendra

d'où

De même en divisant on obtiendra

Précédemment noua avons trouvé a=-kg^ et </ = ( — l)"(ec)*'' J*, donc

Également nous avons y=:k.yjx, donc en vei*tu de l'équation (243)

(<9ar,\ „/'i\»/-™ (y"» — a;») (y»2« — .r») (y»3a — a;») . . . (y»n« — .r«)

^ '' ^"~^ ^ ' (1+ «»c»y«a. «»)(! + e!*c«y*2a.. «»)... (l+e»cV««-«*)

Donc les valeurs précédentes de Cj, e,, a et y donneront

d'où

adx

y(i — cf y») (l+>fy«) y(l—c2-c2) (14-^2^2)

j Vi;! — cîy«) (i + e\y^) J

Les formules (261) donnent les valeurs des quantités Cy et e^y exprimées en c et e à l'aide de la fonction (p. Or on peut aussi les déterminer à r.aide d'une équation algébrique. En effet on a

c^\Faf c^ l-lj-e^(p^a

la., \1* 1 IFa\* 1 1 + «»(/.««

872 tt£CU£RCllES SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES.

donc il est clair que les valeurs de c^ et Ci pouri'ont être exprimées en fonctions rationnelles et symétriques des quantités ya, (p2a^ ... (pna. Donc si 2w-}-l est un nombre premier, on peut, en vertu de ce qu'on a vu (§ V), détennîner c^ et e-i h l'aide d'une é(piation al<çébrique du (2/2 -|- 2)**^" degré. On peut encore démontrer que la même chose aura lieu dans le cas où 2w-f-l est un nombre composé. Alors on peut même déterminer c^ et e^ à l'aide d'une équation d'un degré moindre que 2n-\-2,

Donc on aura un certain nombre de transfoiinations coiTespondantes à chaque vîileur de 2n-\-\.

On a supposé dans ce qui précède que c et c soient des quantités réelles et positives; mais ayant exprimé c^ et Ci en e et c par des équations algébriques, il est clair que la formule (200) aura lieu également en donnant à e et c des valeurs réelles et imaginaires quelconques. Dans le cas où «*, c* sont réelles, on peut même se servir des expressions (201), (205). Mais alors £0 et cD ne seront pas toujours des quantités réelles. Au reste l'une des quantités Cj et e^, à cause de l'indétenninée /*, peut être prise h volonté; seulement il faut excepter les valeurs zéro et l'infini.

Si l'on suppose c et c réels et 2n-[-l premier, les valeurs de c, et Cj seront imaginaires, excepté deux d'entre elles, dont l'une répond à

et l'autre à

2jU(()2

A. Supposons d'abord

Dans ce cas on aura (201)

2mù)

ItECHEKCIiES SUR LES PONCTIONS ELLU'TIQUES.

Soit fi..27n = (2n'\-l)f±a^j oh t est entier, et a^^ entier positif et moindre

que — 9 "' ^*^ aura

'^1 2 +'"2«+-[)='M 2 ±2nTÏ +"") = (- ^) '^(2 ±2» + i

/27/+1— 2a„ oj

=±*^1— 2,Hrr "2

Or les nombres a,, a^, ^3, ... a„ seront les mêmes que les suivans 1, 2,

3, . . . 7z, mais dans un ordre différent; donc l'expression de - pourra être mise sous la forme

De même Téquation (203) donnera

'f\2^^-2Yf\2,-r-fl 2 r • • '^l2. + l 2 ]\

Soit maintenant c=l, «, = 1, on am*a, en posant +( — 1)"=1,

Sn+l

2« — 1 w 2»r-fï 2")

(270) f — == Jlf ^ = = ± a r , '^^^^^ 4- Conat.

[i+''v(,„y-^][i+^v(,^).^^]...[i+«^.r*(dÎT>^]

(272) ou bien

a = {-irf.

■f>^27. + îj-'-'f\2n + ll]

a = i-lY

f a) \ / 2œ \ f Mû \

/ 1 io\ /3 a)\ /2n— 1 m \

Si l'on suppose e moindre que l'unité ou égal à l'unité, e^ sera toujoui-s

moindre que e, et lorsque 2?^-|-l est un très gi'and nombre, e^ sera extrêmement petit.

Le signe du second membre de Tëquation (270) dépend de la grandeur de X. Il pouri-a être jugé aisémmit connne il suit. On a par ce qui précède

y(T- y*l (f-f efin = ± '^^ yir-x^îji ip^x^ .

En supposant x réel, p* sera toujours ftni et positif, de même que Yl-^-c-ly^

et yi-^e^x^. Donc le signe du second membre de l'équation est le même que celui de la quantité

^^^^iKî-:^;

maintenant on a

..fi /__

i Fa

e fa

etc., donc

- ^^ f efna,x\^

donc, en remarquant que « est réel dans le cas que nous considérons, on voit que ss^ sera toujours une quantité positive; or tt^ est réel, donc la

quantité \ ^ —^ sera positive également, et par conséquent le signe dont

il s'agit sera le même que celui de la quantité it^. Il n'est pas difficile de voir qu'en se servant de la foi-mule (248) et en mettant pour a sa valeur

27nw

^ — --ir-t on aura

^'''(i^rVïf)) I -î^'li^Y)! 1 'f"^^n^vï)\

quantité qui est positive depuis a: = 0 jusqu'à x=:cp

négative

KECUEUCHE.S SUR LES FUMCTIONS ELLIPTIQUES. 875

depuis x = (pL^-, j 2 jusqu'à x = <pl ^— j — j , positive depuis

^ = 9'(-2„-^|) jusqu'à x = <p[^^^^-^ J) etc.

Si X est plus grand que Tunité tt^^ aura toujours le uienie signe, savoir ( — 1)". Donc, dans ce cîis, l'équation (270) donnera, en intégrant à partir de x=lj

Si la valeur de x est moindre que l'unité, on aura

(2751 / -;=rll^-. ==-=-. =za I — -^r^=--: *-^-^.= 4- Const.

^ ^ J V(l-i,*)(l + eli,») J y(l.r»)(l + e='x*)^

entre les limites a; = </) [ |J^ '^ ] et x = </> j ^-^"-±i -J ] , et (276) — f--^^^^=-^ = a f --^^l . 4- Const.

entre les limites a; = a) t, — r— r-rt-l et x = a)L, -^-r

Si par exemple on suppose x renfenné entre les limites

on aura, en intégrant à partir de x = 0,

En faisant x = <p [^ ^. „ [> on aura y = ( — 1)", et par suite

d'où

y"(i-p)(i + «ïy=') 2("2«+i)^ ^ '

^ ^ ^ ^ '" Jo V(l-y*)(l + «|y

Cette expression de a est très commode pour le calcul. En négligeant les quantités de Tordre ej, on obtiendra

KKCIIKKCIIKS SUU LES FONCTIONS ELLIHTIQU]::».

{—iya=={2n-\-l)

En substituant et négligeant toujours ef, la fomiule (277) donnera

/" <Lc (— l)"w . , ,

/ -; — __ — - :=: ■— — -^-^ r arc. sni ( y) ,

J^ y(l — .r«) (1 + c^fï) (2«+l)7f ^•^'"

y = (-iy'(2n+i)Zx

no}

■ V+'-fU-^i)"]

B. Dans le cas où a = -r- , ^ , on trouvera de la même manière la

Zn + 1

formule suivante

a+ely^^)

a, F / 1 «ô A / 2 â> .\ / S à> .\ / 2n ib Al

La formule précédente a lieu pour toutes les valeurs de x moindres que Tunîté.

Pour avoir une théorie complète de la transfonnation des fonctions elliptiques, il faudrait connaître toutes les transformations possibles; oi* je suis pai'venu à démontrer qu'on les obtient toutes, en combinant celle de M. Legendre avec celles contenues dans la fommle ci-dessus, même en cherchcmt la relation la plus générale entre un nombre quelconque de fonctions elliptiques.

Ce théorème, dont les conséquences embrassent presque toute la théorie des fonctions elliptiques, m'a conduit à un très grand nombre de belles propriétés de ces fonctions.

ikir Viiitégration cle Véqtuxtlon séparée dy dx

On peut toujours, comme on sait, présenter l'intégrale complète de cette équation sous une forme algébrique, lorsque la quantité constante a est un nombre rationnel^ quelle que soit d'ailleurs la valeur réelle ou imaginaire de 1^1. Mais si a n'est pas un nombre rationnel, cela n'a pas lieu. A cet égard je suis parvenu aux théorèmes suivants:

Théorème I. En supposant a réel, et l'équation intégrable algébriquement, il faut nécessairement que a soit un nombre rationnel.

Ttiéoreme IL En supposant a imaginaire^ et l'équation intégrable algé"

hriquement^ il faut nécessairement que a soit de la forpie m±y^l.^n, où m et w sont des nombres rationnels. Dans ce cas la quantité /x n'est pas arbitraire; il faut qu'elle satisfasse à une équation qui a une infinité de racines réelles et imaginaires. Chaque valeur de ft satisfait à la question.

La démonstration de ces théorèmes fait partie d'une théorie très étendue des fonctions elliptiques dont je m'occupe actuellement, et qui paraîtra aussitôt qu'il me sera possible. Je me borne ici à considérer un cas particulier, qu'on peut tirer des formules du paragraphe précédent.

Si dans la fonnule (270) on pose

et si l'on remplace y par — r > il viendra

(282) -- ^^ - !^^..=. ^ = aY—\-, ~ J^'^r^ ~ .- ,

e est déterminé par Téquation (269'), qui deviendra

1 co \ { 2n — 1 01

et a par (284) \ l f ^ \ f ''"' \ \^

Donc on connaît une intégrale particulière de Téquation (282) et par conséquent on en pourra trouver l'intégrale complète.

Dans le cas que nous considérons, la valeur de a est |/2 7^ -f- 1 , ce qu'on démontrera aisément comme il suit:

En mettant dans Téquation (282) i/ = zY — 1, et intégrant entre les limites zéro et (p a \o ' ^^ viendra

dz 0)

en remarquant que les limites de z seront zéro et — • En faisant de même

X y — 1 = Zy et intégrant entre les limites zéro et — > on trouvera que les limites de y seront zéro et Tunité et par conséquent

r dy (û r* dz c3

jo V(y^^)\i +e^f) ~ ^ ~ "" jo y(i +T^)7ï^-2^.3 ~^^

Donc on a

cî) a oj

2 ~ Jn'^ 1 2

d'où l'on tire

Donc l'équation dififérentielle deviendra

Pour donner un exemple, considérons le cas où t?- = 1 et w = 2 .

A. Si ?^ = 1 , on aura

e est détenninée par l'équation On a

donc

Maintenant on trouvera, en combinant ces équations et remettant pour a sa valeur |/3,

donc

et par suite

380 RECHERCHES SUJt LES PONCTIONS ELLIPTIQUES.

e^ — eV'à

iVoh

Ayant trouvé e, on aura

Donc on aura l'éfjuation diiféreiitielle

V(l -y») [1 + (2 + y Ji) V''] F(l -^*) [1 + (2 -I- y 3)».^"]

qui sera satisfaite par Tîntégrale algébrique

Si Ton pose xy^ — y3 au lieu de .r, et y} 2 — f^3.}^ — 1 au lieu de y, on obtiendra l'équation

yi — 2l/3 .//* — / Kl + 2y3..t:=* — .r^

qui sera satisfaite par

B. Si n = 2, on aura Téquation différentielle

On a

.fir)

/(xri) = Z(ïl = :l':Mi) ±i(tV (iMx^ 1?)

/(^j Ht)

En multipliant ces valeurs de — ;- — f et — j-~ entre elles, et remarquant

que

on obtiendra

OÙ Ton a fait pour abréger

Gela posé les équations (290, 291) donneront x

donc, en substituant,

RECHEBCHES SUU LES FONCTIONS ELLIPTIQUES.

d'où

Les racines de cette équation sont

1, 6:=2 + f5 — 2>^2 + V5, <'. = 2-j-Yt> + 2Y2-\-f5.

La dernière do ces racines,

répond à la question, car Téquatiou

fait voir que e doit être plus grand que l'unité. Connaissant e, on trouve la valeur des quantités y -^ et ç) -p- comme il suit. Nous avons

1 =z= eU^^ = e^ — ;— : — ; —^ ;

or en

faisant y -- z=z a et y ^^ ==: /î, on aura

/M'^)=i-«% f>r'i'.\=i-ft%

donc

or nous avons trouvé plus haut, «*/?*= -j,» donc

Donc on connaît a*/î* et a*-|-/î*, et par suite a* et /î* par la résolution d'une équation du second degré. On a donc aussi la valeur de y^ qui satisfait à réquation

Y(\—x^) [1 + (2 + 1/5 + 2 1/2 + Y^Yx^]

■ » -« « I « ^-V H « ^1 r^ .rf-k* r V ^ *^

Si Ton pose —- au lieu de x^ et - — .u^— au lieu de ?/, on obtiendra Té-

quation

où

Vl— 4V2 + y^.5^» — y* 1^1 + 4 y2 4- y'5 . «^ — *•*

y5 yio + ioy5.x«+.r*

i+yio + ioy5.x«+y5.ar*

Dans les deux cas que nous venons de considérer, il n'était pas difficile de trouver la valeur de la quantité e, mais la valeur de n étant plus grande, on parviendra à des équations algébriques, qui peut-être ne seront pas résolubles algébriquement.

Néanmoins on peut dans tous les cas exprimer la valeur de e par des séries, et comme leur forme est très remarquable, je vais les rapporter ici.

En faisant dans la formule (206) a=:l, on aura, en remarquant que

Eîi faisant de même dans la fomuile (204) a = ^ e, on aura yj-^/j

= — ; « = A * = cos 1^ -\- i sin -^ = ^ , donc

c'est-à-dire

où

ta n

Maîii tenant dans le cas que nous considérons, on a

et par conséquent

(295) (o = 47rV2M+i|-^'-= h -^^-^ — ■- 1 !•

Cette foniiule donne la valeur de

Ensuite on aura la valeur de e par la formule (294) qui donne, en substi-

tuant pour p sa valeur h'*^ ^ =:A^^'*+^ ?

/i est le nombre 2,7182818 ....

Addition au mémoire ])récédent.

Ayant terminé le mémoire précédent sur les fonctions elliptiques, une note sur les mêmes fonctions par M. C. G. J. Jacobi^ insérée dans le n® 123, année 1827, du recueil de M. Schumacher qui a pour titre ^^ Asironomhche Nachrichte7i\ m'est venue sous les yeux. M. Jacohi donne le théorème suivant :

Soit p uu nombre impair et d' un angle tel qu'on ait, en désignant

/dS --==i=zz=r, prise de 0 jusqu'à 0^ par FUc^O)^ yl — k^^m'^O

et en général 0^"'^ un angle tel qu'on ait

soit déterminé encore l'angle ifj par l'éciuation

Ung (45 - V/'j — tangi(fl'+T) tang i («'""-fl) ten^^^ («ï*-^'^ T») ^ i"^-" "^t^ion aura

Il faut admettre le signe supérieur si p est de la forme 4n-\-lj et le signe inférieur, si p est de la forme 4?i — 1. yj doit être pris entre -^n et

J" TT, si d tombe entre ô^""^ et d^'"+^\ Les constantes /<^ et À se déterminent de différentes manières. On a par exemple

^ ""■ 2 (coBec d' — cosec B'" -{ + cosec «(>-»> + \) '

À = 27i;/t (sin e' — sin ^''^ H T sin <?o-*^ ± \).

Ce théorème élégant que M. Jacohi donne sans démonstration est contenu, comme cas particulier dans la formule (227) du mémoire précédent, et au fond il est le même que celui de la formule (270). Nous allons le démontrer.

En faisant dans l'intégrale

r* dx

X = sin d, on aura

mais

X =: (pa

Jo Vi -k

donc

a = F{Jz^ 0) donne sin 0 z=(fa.

Si dziz:90^, on a x=l^ donc

Donc en faisant 0 = 0^"'^^ on aura

Cela posé, faisons dans les fonnules (2(59') et (270),

x = ( — l)'*sind, î/ = sint//, 27z-|-l=j9, il viendra

OÙ les quantités /*, A, xp sont déterminées par les équations

;i=zjfc«»+»(sind'.8ind"' . . . sind'*-")*,

IsmB'.Bme'" . . ^«nflf»"-') \ »

'"~\7inë''.lïn"fl''''.T7smfl(»»M '

(2) sin ip,

— ^ti / A (sin 'y — sin* g) (sin'fl"" — sin'ff) . . . (Bin»»f*") — sin*»)

Nous supposons k moindre que Tunité, car dans le cas contraire œ serait une quantité imaginaire.

Cela posé, considérons les équations (249). En remarquant que Ci = c = 1 , on en tire

l/i — y ±]/li-^

OÙ

^("1" + ") + '^ y(2+2«)+^ y(y + waWa?

OU, en taisant a = -.^ — r^- et m = — 1 ,

Maintenant on a

= (-l)«8ind, et «^(a^iyj^sin^^

donc en substituant:

l/l — sini/i l/rH[— l)"8in^ sind' — sind sinr^ + sin^ sin ^^"-^>>+ (— l)"sîn^ ^ l + sini// y r+(~ï)^8uid'8Îi^''+'s^ sind(^»-i^ — (— l)«sind '

et de là

tang(45^ — iV')

tangKy-^) tangKr- + ^) t^^H^'!±(-JM fano- [450.^- n«Xfll ""tang^^ + ô) tangi(r' — ô) ' * ' tangf[>«-^^ — (— l)"d] """^ L-**^ ». ^^ t^l-

C'est précisément la formule de M. Jacohi.

Dans la formule (1), on peut toujours supposer le second membre positif. En effet, en différentiant, on aura

En supposant 6 toujours croissant, le second membre sera toujours positif. Donc en déterminant la valeur i^ de sorte qu'elle soit croissante et décroissante en même temps que 0^ on doit prendre le signe supérieur. On a donc

OU bien

En remarquant que ip doit être croissant et décroissant en même temps que d, et en ayant égard à la formule (2), on tirera aisément la consé-

quence que rp doit tomber entre -^n et — ~ — tt, si 0 tombe entre 0^"'

et 0*^"+'^

Quant aux quantités X et //, il est évident qu'elles ont nécessairement les mêmes valeurs que celles de M. Jacohi. Mais les expressions que j'ai données seront plus commodes pour l'application, et font voir clairement que X est extrêmement petit, si n est un peu grand. Au reste on peut sans difficulté démontrer leur identité à l'aide de la formule (257).

XYIL