SUR LES FONCTIONS QUI SATISFONT A L'ÉQUATION
fx-^fy = ifi (xfy -\-yfx).
Journal fQr dio reine and angewandte Matheniatik, heraiisgegeben von Crelle, Bd. 2, Berlin 1827.
L'équation
est satisfaite lorsque
fy = iy e* (px = yjx = logx; car cela donne
logx-\-\ogy = logxîj', de même lorsque
fy = ^l — y^ et (px = xpx = arc^mx^ ce qui donne
arc sin x -[- arc sin y = arc sin {xYl — y^ -\-y Y^ — x^).
Il serait possible qu'on pût encore satisfaire à la même équation d'autres manières. C'est ce que nous allons examiner. Soit pour abi'éger
^fy+yf^=^^
l'équation de condition devient
(1) (px-\-(py = \pr.
En diflFérentiant cette équation par rapport à x et à y, on aura, en faisant usage de la notation de Lagrange,
390 SUR LES FONCTIONS QUI SATISFONT A L'ÉQUATION (pX -\- (fy =. ^^{xfy -]- yfx).
/ f àr ^ , , dr
^x = tpr^ et tpy = xpT-^.
De ces équations on tire, en éliminant la fonction xp'r^
f dr , dr
Or l'expression de r donne
(2) ^^=fy-^yf'x et ^^-^/xJ^x/'y
donc en substituant,
(3) ' ip'yWy-^yf'x) = <p'x{fx + xf'y),
En donnant maintenant à la quantité variable y la valeur particulière zéro, ce qui est permis parce que x et y sont des quantités indépendantes entre elles, et en faisant pour abréger
réquation (3) prendra la forme
aa — (p'x {fx -[- a'ic) = 0,
d'où l'on tire, en écrivant y au lieu de x,
aa — (p'y{fy-\-a'y) = 0.
Ces deux équations donnent
/ A\ , aa , aa
(4) œ x = 7 — j — ~ et (p y = -. — ■ — r \
donc en intégrant,
(5) (px = aa 1 ^ — ^-j~'
De cette manière la fonction (px est détemiinée par fx. Il s'agit donc de trouver la fonction fx. En substituant dans l'équation (3) les expressions (4) des fonctions ip^x et (p'y^ et réduisant, on trouvera
(6) {fx + « 'x) (^y + yf'x) ={fy-\-a 'y) {fx + xf'y) d'où l'on tire, en développant,
(7) /« -fy + <^'xfy + y/a; -f'^ + a'xyfx
—f«-fy — f^'yfx — xfy -fy — «'^y/'y = o,
SUR LES PONCTIONS QUI SATISFONT A L'ÉQUATION (f^C -\- (py z=:ip{xfy -\- yfx). 391
(8) x{a'fy-fy.f'y-a'yf'y)-y{a'fx-fx.f'x-a'xf'x) = 0,
OU en divisant par xy
(9) j {<^'fy -fyJ'y - <^'yf'y) - ~~ («7* -f^J'x - a'xfx) = o.
Les quantités x et y étant indépendantes entre elles, cette équation ne peut avoir lieu à moins qu'on n'ait
— {^'fy—fy'f'y — ^'yf'y)=:„ {ccyx— fx./x — a'xfx) = con^t
Soit donc
(10) -^ (« 'fx - fx .f'x - a 'x/'x) = m ;
on aiwa ,
(11) f'x {fx -\-a'x)-\- {mx — a 'fx) = 0.
Par cette équation la fonction fx est déterminée. On peut l'intégrer en faisant
fx = XZ]
car alors on a
f'x .dx = zdx-^x dZj
d'où l'on tire en substituant,
{zdx-\-x dz) (xz -^a'x)-\- {mx — a 'xz) dx = Oj
ce qui donne, en divisant par a:,
{zdx-\-x dz) {z-[-a')-\-(m — a'z)dx = Oj
ou
[z{z-\-a')-\-m — a'z]dx-\-xdz{z-\-a')=:Oj
ou bien
{z^ -{'7n)dx-^xdz{z-^a') = 0^
ou en divisant par x(z*-\-m)^
dx dz(z-\-a')
donc en intégrant,
dz
/dx C zdz f Ç
392 SUR LES FONCTIONS QUI SATISFONT A L'ÉQUATION ffx -\- rpy zz \p(xfy -{- y fx).
Soit m = — n*, on aura
/dx , C zdz , , f u, 9\ C dz 1 , z — n
-- = log X, j ^^^, = ^ log{z -n),j .,^^, = ^^-^ log — --^- ,
donc en substituant et en ajoutant une constante c,
loge — log ;r = -J-log(3* — n*) + g- log ^~^,
ou
log ; -log (.»-«.'')' (;:p;;"
d'où
fx
Mais on avait fx^=.xz\ donc 2j^=- -- ? et par suite en substituant,
C [(/^)^ — w*ar*] » / fx — w.r \ sn
X X \fx-\-nx] 1
OU bien
c = {fx — Tzx) * '*" (/x + nxy *"
ou en élevant à la 2w**'"' puissance,
(12) c'" = (/ic — 7^x)'*+"' (/;c 4- 7^^)- «';
a; = 0 donne c = a, à cause de f{0) = a.
Voilà réquation de laquelle dépend la fonction fx. Elle n'est pas en général résoluble, parce que n et a sont deux quantités indéterminées, qui peuvent même être imaginaires. L'équation (12) contient la fonne la plus générale de la fonction fx^ et on peut démontrer qu'elle satisfait à l'équation de condition donnée dans toute sa généralité. En effet la fonction fx satisfait à l'équation (11), et on voit par la forme de l'équation (9) qu'elle satisfait aussi à cette équation. Or l'équation (6) est l'équation (9) sous une forme différente. Donc la fonction fx satisfait aussi à l'équation (6).
De l'équation ((5) on tire l'équation (3) en faisant (p^x=^ j~~y~'' ^^ Téqua-
r X I ce X
tion (3) donne, en faisant xfy-\-yfx:=ir^
, dr , dr
SUR LES F024CTIONS QUI SATISFONT A L'ÉQUATION (f^K-\- ffl/= ^Q^\fy + yf^)' 393
En intégrant cette équation différentielle partielle par les règles connues, on
trouvera »
r = F{(px-['(piJ), d'où
ipx -{- ipij = ipr , ou bien
</)x + y?/ = ipi(xfy -\-yfx),
ce (jui est l'équation de condition doiuiée.
11 reste encore à trouver la fonction ip. A cet effet soit //i^O, on aura, en remarquant que f{0) = aj
(px = xpiax) — 9^(0),
ou, en mettant au lieu de a:,
ipx=ipy^^^ip{oy
On trouve donc, en résumant, que les formes les plus générales des fonctions satisfaisant à Véquation de condition
(px-{-(py=ip{xfy-}-yfx) sont les suivantes:
(px = aa I y- — -
et
ipx = ip{0)-^ipil] = aa j--^^ v + ^^W,
où fx dépend de l'équation
««» = {fx — 7i;c)"+"' {fx 4- nxy-'''.
Soit par exemple
on aura
a=fx — ^x',
donc
fx = a -f |x,
et par suite
/dr
ipx::z=z(p{0)-\~(p{ — \ = 2îc-\-aa loga -|-aa log a-j--
394 SUR LES FONCTIONS QUI SATISFONT A LKQUATION <f*^ -\- (fy^^^i^fy -{- y,f^)- OU
i^x = 2fc -[- aa log (a* -j-x).
L'équation de condition devient donc
k -|- aa log {a-\-'x)-^k-\-aa log {a-^y)
= 2fc-|-aalog[a* + a:(« + |î^)+y(a-f-|a:)];
ce qui a effectivement lieu, car les deux membres de cette équation se réduisent à
2k -\-aa log (a* -^ax-\-ay-^ xy).
La fonction ç)x est trouvée ci-dessus sous forme d'intégrale. On peut aussi trouver une forme finie pour cette fonction par des logarithmes, en supposant la fonction fx connue. Soit
fx-\-'nx^=zv et fx — nx = t^ réquation (12) donne
donc d'où
Or fx=:^{v-\-t) et nx==:^(v — 0, donc
et
^^ ^ in ' a' — n
d'où l'on tire en différentiant
2n —an
On trouve de même
2tt it'—n
OU bien
donc
SUR LES FONCTIONS QUI SATISFONT A L'ÉQUATION ^^ -\- (fi/ = IpQc/i/ -\- yf^)- 395
dx dv
fa; -\- a'x (w + a')t?
ce qui donne en intégrant,
dx 1
jx-\- ax n -{- « aa
où c est une constante arbitraire. En mettant donc pour v sa valeur fx-\-nx^ on aura
(13) ifx -^,\og{cmc^cfx).
Dans les deux cas a --~^yo^ et /^--^0, la fonction fx prend une valeur particulière. Pour la trouver, il faut recourir à Tëquation différentielle (11).
Soit d'abord w = 0, Téquation (11) donne, à cause de m=^ — w*,
f'x {fx -f - a'x) — ajx = 0.
Soit
fx -= zx^
on trouvera
dx dz{z-\-a') dz a'dz
et en intégrant
log c' -\- log X =^ — log z-\ 5 ou log {c'xz) - - — j
fx ou, puisque z :^- - — »
aar
log (c'/a;) = -^ , ou a'x=fx.\og{c'fx).
Pour a: = 0, on a O = alofi:c'«, donc c'« = l et c' = --? donc (14) ■ «'a:=/x.log(^^),
OÙ
Cette équation détermine donc la fonction fx dans le cas où w = 0. L'équation (13) donne dans ce cas
9^=^ log (cfx) = -^" log (ca) + -^ log [ ^ j ;
390 SUR LKK FONCTIONS QUI SATISFONT A L'KQUATION (p^^ -\ Çt/ = *K'^/.'/ "h y/''")'
en vertu de (14) on a
a a 1 , aa.r
aa
donc
(15) ipx= ^^: locrr«4-"";^.
De plus
(16) i/,r = y(0)+(/)|^-j = ^J"locrr«-l-
L'é([uation de condition devient donc c'est-à-dire qu'on aura
Pour examiner cette équation, nous mettrons au lieu de x et de y leui-s valeurs -V log' " et - , log tirées de l'équation (14), ce qui donne
(1«) «/j ■ ,„• " \=flhf^ = ^fr,
en faisant pour abréger
Il s'ensuit
2 log a + log • J = log {fx .fy).
Ti* ai*
Or en vertu de l'équation (14) on a log- = > ? donc en substituant,
(20) 21og« + «^ = log(/x./y).
. f /r. log (•'■'-/'') Mais puisque fr ■=■ — '-— (18), on a en vertu de (19) \ — - = »',
donc ^— = log --—-^ ? et par conséquent : 2 log a -j~ log ---^ ^^^^S{f^'fy)'i ^^ ^^^ ^ effectivement lieu connue on le voit aisément.
i>{JR LES FONCTIONS QUI SATISFONT A I/liQUATION 'f*'»' + W = </'G^'/y H .y.A'')- 397
Soît ensuito a' = 00. En mettant dans ce cas l'équation (11) sous la fonne
il est clair qu'on doit avoir xf^x — fx=^0^ lorsque m est fini. Il faut
donc que
f'œ.dx dx »
• -^ — = — ) ou fx^=^cx.
fx X '^
Si on a Soit
on aui'a ou donc
iri =z — 2>^
xf'x — px — fx = 0 .
fx = xz^ '
X {x dz -|- z dx) — {2)X -[- xz) dx = 0,
xdz =^pdx'^
Z=J} log rx=:^ 7
et par suite
fx =: J7X log ex.
Pour trouver (px^ on substituera la valeur de la fonction fx dans l'équation (3); on aura, à cause de f'x=z2)\og cx-\-p^
ip'tj {py log cy -\-yp log ex -\-py) — tp'x ( px log ex -f xp log ey -{-px) = 0;
donc, en divisant par p{\ogc^xy -^V)^
y if' y — X if'x = 0 ,
donc
^ /: dx
xif/x=^h et d(fx=^ - 5
d'oh
(px = h l()o- mx.
L'équation de condition donnée deviendra donc
h log mx-\-h log my = xjf {xpy log cy -j- ypx log ex) ,
ou
k \ogm}xy=^x^f{pxy \oge^xy)^
ou, en faisant pxy]oge^xy = r et xy = v^
398 SUR LES FONCTIONS QUI SATISFONT A L'ÉQUATION q^-\- (py ^-^^i^fy -\- yfx).
xpr = k\ogm^v.
Par le iiiênie procédé, qui a donné ci-dessus les fonctions qui satisfont à Téquatîon
on peut trouver les fonctions inconnues dans toute autre équation à deux quantités variables. En effet, on peut, par des différentiations successives par rapport aux deux quantités variables, trouver autant d'équations qu'il est nécessaire pour éliminer des fonctions quelconques, de sorte qu'on parviendra à une équation qui ne contient qu'une seule de ces fonctions, et qui sera en général une équation diflFérentielle d'un cei'tain ordre. On peut donc en général trouver chacune de ces fonctions par une seule équation. Il s'ensuit qu'une telle équation n'est que très rarement possible. Car, comme la fonne d'une fonction quelconque contenue dans l'équation de condition donnée, en vertu de l'équation même, doit être indépendante des formes des autres fonctions, il est évident qu'en général on ne peut considérer aucune de ces fonctions comme donnée. Ainsi par exemple l'équation ci-dessus ne pourrait plus être satisfaite, si la fonction fx avait eu une forme différente de celle qu'on vient de trouver.
xYin.
NOTE SUR UN MEMOIRE DE M. L. OLIVIER, AYANT POUR TITRE "REMAR- QUES SUR LES SÉRIES INFINIES ET LEUR CONVERGENCE."
Journal flir die reine nnd angewandte Mathematik, heransgegebcu von CreUe, Bd. 3, Berlin 1828.
On trouve p. 34 de ce mémoire le théorème suivant pour reconnaître si une série est convergente ou divergente:
"Si l'on trouve que dans une série infinie le produit du /^***"* terme, ou "du n^"** des groupes de termes qui conservent le même signe, par w, est "zéro pour n = oo, on peut regarder cette seule circonstance comme une "marque, que la série est convergente; et réciproquement, la série ne peut "pas être convergente si le produit n.a„ n'est pas nul pour n=:oo."
La dernière partie de ce théorème est très juste, mais la première ne semble pas l'être. Par exemple la série
I ^ \f\cr A I A. \r\re Al 'm Irkrr <n I
2 log 2 ' 3 log 3 ' 4 log 4 ' ' w log n
est divergente, quoique na^=. - soit zéro pour n=:oo. En effet les
logarithmes hyperboliques, dont il est question, sont toujours moindres que leurs nombres moins 1, c'est-à-dire, qu'on a toujours log{l-\-x) <x. Si a; > 1 cela est évident. Si x < 1 on a
log{l + x) = x-x'{i-ix)-x'{i-ix)-
donc aussi dans ce dernier cas log(l-]-x) < x, puisque -J- — -J-x, ^ — -^x . . . sont tous positifs. En faisant x = — ? cela donne
400 NOTE SUK UN MÉMOIKK 1)K M. OLlVIEtt.
OU
donc
log 1 -f~ ~ < " 011 hii^n log
log ( 1 -h «) < -J + l"g « = ( 1 + «log « ) '^^' « ?
log log (1 -\~ n) < log log M -|- log j 1 -f- --J-- -
Mais puisque log (1 -j-x) < x, ou a log 1 -|- . ] < -.-- > doue, eu vertu de l'expressiou précédente,
log log (1 + n) < log log n ■\- -^ -^ •
En faisant successivenieut »i = 2 , 3 , 4 , . . . , on trouve
log log 3 < log log 2 -|- ^ j— 2 ,
log log 4 < log log 3 + y ^^^^ jj ,
log log 5 < log log 4 + j-j— ^ ,
log log (1 -\-n) < log log « -|- ^^j^^^^^ ,
donc, en pi'enant la sonuue,
loglog(l+«)<loglog2 + ^jJg2 + 343 + 41og4+ • * ' +ubg«- Mais log log (1 -|-w)=:tx; pouF w = cxj , doiic la soinnie de la série proposée
«r — .^ -hôï -.» 4-^rT -v H- • • • H i U . . . est infiniment grande, et par
2 log 2 ' 3 log 3 ' 4 log 4 ' ' w log n ' ^ ' ^
conséquent cette série est divergente. Le théorème énoncé dans l'endroit cité est donc en défaut dans ce cas.
En général on peut démontrer qu'il est impossible de trouver une fonction ç)7^ telle qu'une série quelconque a^-\- a^-\- a^-\- a^-\~ • • • -f-a^-j- • • •? dont nous supposons tous les termes positifs, soit convergente si (pn,a^ est zéro pour n = ^'^ et divergente dans le cas contraire. C'est ce qu'on peut faire voir à l'aide du théorème suivant:
Si la série «o "f" ^i "f- ^s H~ ' ' ' ~l™ ^n 4" • ' • ^s* divergente, la suivante
