SOLUTION D'UN PROBLEME GENERAL CONCERNANT LA TRANSFORMATION

Astronomisehe Nachrichten, herausgefçeben von Schumacher, Bd. 6, Nr. 138. Altona 1828.

Dans le n® 127 de ce journal M. Jacohi démontre un théorème très élégant relatif à la transformation des fonctions elliptiques. Ce théorème est un cas particulier d'un autre plus général, auquel je suis parvenu depuis longtemps sans connaître le mémoire de M. Jacohi. On en trouve la démonstration dans un mémoire inséré dans le journal de M. Creïle^ et qui a pour titre "Kecherches sur les fonctions elliptiques." Mais on peut envisager cette théorie soils un p)int de vue beaucoup plus général, en se proposant comme un problème d'analyse indéterminée de trouver toutes les transformations possibles d'une fonction elliptique qui peuvent s'effectuer d'une certaine manière. Je suis parvenu à résoudre complètement un grand nombre de problèmes de cette espèce. Parmi eux est le suivant, qui est d'une grande importance dans la théorie des fonctions elliptiques:

"Trouver tous les cas possibles dans lesquels on pourra satisfaire à l'é-

"quation différentielle:

"en mettant pour y une fonction algébrique de x, rationnelle ou irra- "tionnelle."

Ce problème, vu la généralité de la fonction y, paraît au premier

394 SUR LES FONCTIONS QUI SATISFONT A L'ÉQUATION ff^ -\- ffy—^^{x,fy + yf^)- OU

xljx=^2h-\'aa log(a*-}-a:).

L'équation de condition devient donc k-\-aa log {a-\'X)-\-k-\-aa log {a-\-y)

ce qui a effectivement lieu, car les deux membres de cette équation se réduisent à

2fc -\- aa log (a* -\- ax -\- ay -\- xy).

La fonction (px est trouvée ci-dessus sous forme d'intégrale. On peut aussi trouver une forme finie pour cette fonction par des logarithmes, en supposant la fonction fx connue. Soit

fx-\-nx=zv et fx — nx=^t^ réquation (12) donne

donc d'où

Or fx = ^(v-^t) et nx=z:^(v — t)^ donc

(an a — n \

^ ^ in - a' — n

d'où l'on tire en différentiant

ïn — 2n

On trouve de même ou bien

dx = ! } — K-"^r- . a"^"' î;"'+» ! tZt».

/a: + a'x = (« + «') J 2- " 2;:(^+-;ij «"^'" « """ j ^ ? donc

SUR LES FONCTIONS QUI SATISFONT A L'ÉQUATION ÇT^ + ^^ = l/'O^/y + y/^). 395

dx dv

fx -|- ct'x (w -j- a') V

ce qui donne en intégrant,

1 , (px

fx -f- «'^ w 4" «' «a

OÙ c est une constante arbitraire. En mettant donc pour v sa valeur /x-j-rix, on aura

(13) ifx -- ^-^"^^^ log {pix + c/ir) .

Dans les deux cas a'zr^cx)^ et 9Î—-0, la fonction /x prend une valeur particulière. Pour la trouver, il faut recourir à l'équation différentielle (11).

Soit d'abord n — :0, Téquation (11) donne, à cause de m^^= — n*,

fx {fx + a'x) — a'fx -- 0.

Soit

fx — zx^

on trouvera

dx dz{z-\-a!) dz a^dz

log c^ -4- log x^^=^ — log z-\ — 7 ou log {c'xz) =^- — ?

fx ou, puisque 2 —

\og{c'fx) = j^, ou a'x=fxAog{c'fx).

Pour X = 0, on a 0 = a log c'a, donc c'a = 1 et c' = - ? donc

(14) a'x=^fx.\Qg

où

Cette équation détermine donc la fonction fx dans le cas où « = 0. L'équation (13) donne dans ce cas

ç,a; = J^ log (c/a;) = ^ log (ca) + ^ log [ ^ j ;

39fi SUR LES FONCTIONS QUI SATISFONT A L'KQUATION (f^^ -{~ (fy :=Hp{,C f y -\- y f a').

en vertu de (14) on a

aa 1 , aax

donc

(15) ipx = ^: log ca + ""^ .

De plus

(16) V/x = 9(0) -fr/) ( *^- j = ^^'!" loo- ca + -y^ c •

L'équation de condition devient donc

c'est-à-dire qu'on aura

Pour examiner cette équation, nous mettrons au lieu de ic et de y leurs valeurs - -,- log' " et --^- log ■ tirées de l'éciuation (14), ce qui donne

(18) «/j- ■ „„, " \=fy.fx = afr, en faisant pour abréger

Il s'ensuit

2 log « 4- log ^ = log {fx ./y).

Or en vertu de l'équation (14) on a log = — = -,^, donc en substituant, (20) 21og« + ^ = log(/a:./2/).

Mais puisque fr = —-^^ (18), on a en vertu de (19) L-"!- i == r,

donc y- = log ' ' ';^ ? et par conséquent : 2 log « -[- log | ---^^ j ^^^^Sif^'fy)^ ^^ V^^ ^ effectivement lieu comme on le voit aisément.

SUR LES FONCTIONS QUI SATISFONT A L'ÉQUATION </'•'''+ ^/'^ = */'(''*^/^ + //.A^)- 397

Soit eiKsiiitc a' =.00. ICn mettant dans ce cas l'éqnjition (11) sous la fonne

il est clair qu'on doit avoir xf'x — yx = 0, lorsque m est fini. Il faut

donc que

f'x.dx dx r,

- > — = — j ou fx=zcx.

. fx X "^

on a Soit

on aura ou donc

VI = — j>a'

xf'x — j)x — fx=^0.

fx = xz^ ' x(xdz-\-zdx) — [px-\-xz)dx=zO^

X dz = p dx ;

Z=J) l()0- rx=: j

et par suite

fx =px log ex.

Pour trouver (px^ on substituera la valeur de la fonction fx dans l'équation (3); on aura, à cause de f^x=z2)\ogcx-\-p^

V!/{ Py ^^S ^y ~h yP ^^S ^•^^ ~h-Py) — V'^' {^px\ogcx-\- xp loo- cy -\-px) = O ; donc, en divisant par p{^ogc^xy -\-l)^

donc

^ kdx

x(p'x = h et d(px=^ ' ?

d'oîi

(fX=:lc log mx.

L'équation de condition donnée deviendra donc

Je log mx -\- h log my = i// {xpy log cy -[- ypx log- ex) ,

k \ogm^xy = y^{pxy log ('^xy)j

ou, en faisant pxy ]og e^ xy =^ r et xy = v^

408 SOLUTION D'UN PROBLEME GÉNÉRAL CONCERNANT LA TRANSFORMATION etc.

de x™ dans p — çy, il est donc de la fomie f-^gy^ oh f ot g sont dès constantes. On aura par conséquent

De là on déduira une expression de y en d, en attribuant à x une valeur particulière, ou bien en comparant les coefficiens d'une même puissance de X dans les deux membres. Une telle expression de y contiendra ti-ois quantités constantes inconnues, et le problème se réduit maintenant à trouver tous les cas dans lesquels ces trois quantité^s poun'ont être déterminées de telle sorte que l'équation proposée soit satisfaite. Or nous allons voir tout-à-l'heure que cela sera toujours possible, quelles que soient les quantités a^, «g, ... «y, en déterminant convenablement deux des quantités a, <3^, c^. Mais avant de considérer le cas général nous allons conunencer par celui où ^ et 2 sont du premier degré, car un théorème qui en résulte nous sera utile pour parvenir à la solution du problème général.

Soit donc

on en tire

*^ g' + gx - ^^ 9 +9-<!

Par là l'équation (1) deviendra, en substituant,

.fg'—f'g dx

w^w-in j/(i.^i:;>..) (i.,^.;.)(i.;t;;/,) (1.;=^:.)

On trouve aisément que cette fomiule ne peut être satisfaite que de Tune des manières suivantes:

(10) y=ax, cî=^' ^' = >'

SOLUTION D'UN PROBLÈME GÉNÉRAL CONCERNANT LA TRANSFORMATION etc. 409

1 — x'^ec 1 V^— VT

\-\-xieG ^* ic + Ve

Ou peut prendre les quantités c, e, ^ô, ye avec le signe qu'on voudra.

Cela posé, reprenons l'équation (9). En désignant par /' et (/' les coefficiens de ic"*~^ dans p et ç, on aura

d'où l'on tire, en faisant pour abréger

(13) ^ô = xe-^X{d + a,)^X{e-{^a^)-\ +A(é> + «,),

équation qui pourra servir à détenniner la fonction y, excepté dans le cas où (fO se réduit à une quantité constante.

Selon l'hypothèse, y doit être une fonction rationnelle de ic, donc la fonction (pO doit l'être de même. Il faut donc examiner d'abord dans quels cas cela pourra avoir lieu.

Soit i,(d-\-'a) une quelconque des quantités A(d-[-ai), k{d-\-a^)^ . . ., il suit de ce qui précède que X{6-\-ka) sera de même égale à l'une d'entre elles. Or soit X{0 -\-na)=^XO^ ce qui a toujours lieu en déterminant convenablement le nombre entier ti, on aura, en mettant 6 — a au lieu de d, l\0-\-{n — l)a\=iX{0 — a); donc liO — a) sera encore contenue parmi les quantités dont il s'agit. Il suit de là que si X(6 — a^ est diflérente de >L(d-}-«J, la quantité X{d — a^ sera égale à l'une des quantités X{6-\-a^ ^(^-[-«3), . . .. Cherchons donc d'abord les valeurs de a qui donneront X{d — a)=il{d-\-a)\ c'est-à-dire A(d -j- 2 a) = XO. D'après l'équation (7) on aura

où m -[- m' est un nombre pair. En donnant à tti et m' à partir de zéro toutes les valeurs entières telles que m-\-7a soit pair, X{6-\-a) prendra les valeurs suivantes:

410 SOLUTION D'UN PROBLEME GENERAL CONCERNANT LA TRANSFORMATION etc.

, x(<? + c«), x{e^co), ^jé>+-^-+|:),.A(é>4-^^+f)

X{6 -\-it)-\-io)^ etc.,

iiiaLs, d'après le théorème II, il est clair que les seules de ces valeurs qui soient dift(érentes entre elles sont celles-ci

donc, puisque X{6-\-a) doit être différent de Àd, X{6-\-a) ne pourra avoir que Tune de ces tn)is valeurs

En exceptant ces quantités, il répond donc toujours à X{d-\-a) un autre tenne X[d — a). De là il suit qu'on pourra écrire l'expression de (pO comme il suit:

(15) yd = A<? + fc.Â(<? + «,) + fc'a(<? + f + |-) + fc".A(ô + Ç + i^'

OÙ fc, k\ h" sont égaux à zéro ou à l'unité.

Pour avoir maintenant l'expression de (pO en x, il faut recourir à la

formule (3). En y faisant d'abord d' = -g-j on aura Ad'=z — , donc ^{6*) = 0, et par conséquent

2/ -^ c 1 — eU»«' or JO = y{l — eV) (1 — c*x% donc

On aura de la même manière, en faisant d' = - ,

La première formule donne

(16) W<?-) = Wô+-

SOLUTION D'UN PROBL£M£ GENERAL CONCERNANT LA TRANSFORMATION oto. 411

donc, eu mettant ^-^-ô" *^^^ ^^^^ ^^ ^î

En multipliant xlO — a- par ^l- ^ "h -|- '

ou aura

d'oïl Ton tire, en mettant d-j--^- et O-}--^- au lieu de d,

ec X

2 / ee X{B-\~io) ec x

La fonuule (3) donne encore, en faisant 6' = aj

On voit par là que Texpreasion de (pd - sera toujours une fonction rationnelle de Xj savoir

(21) y»=(i t). + *i..l + ;ïj-A-^„

en employant pour abréger le signe^ de sommation -2*.

Cela posé, il faut considérer plusieurs Ciis, selon les valeurs différentes de Jcj fc', k'\

Premier cas. Si k:=k' =.k^ :=0.

Si les trois quantités fc, k\ Jc\ sont égales à zéro, l'expression de (pO deviendra

(22) (pe — l0-{'X{0-\-a,)^X{0 — a,)-{-i.{0-\-a,)-{-X{0 — a,)^

.+^(<^ + ««) + ^(«-«») et

(23) <pe = xi-2x2Y^,%-^,.

Donc lîi première condition, que y soit i-ationnelle en a;, est remplie. Il faut

412 SOLUTION D'UN PROBLEME GENERAL CONCERNANT LA TRANSFORMATION etc.

maintenant substituer son expression dans l'équation projK)sée et voir si elle pourra être satisfaite.

On tire d'abord de l'équation (14)

Cela posé, désignons par rT, d\ €, «' des valeurs de 0 qui répondent

respectivement à 2/ = -| ? y=^ » y = H ' V^^^ ' ^^ ^^^*

avoir

En vertu de ces équations les valeurs de 1 — Cjy, l-|-c^y, 1 — e,?/, l-}-e,y deviendront, en faisant pour abréger

(25) g'-^gcpe = r:

(26) ( r \ fil

En substituant dans 1 — ^- l'expression de (pO en x, on obtiendra un résultat de la forme

q^e l ^ AtO! + Ajo;' -\ h ^an+i^*''+^

q>ô ~ (l — e^cn^a^,v^)(i—e^cn^a^.x^) • • . (1 — e^ c^^ 0^0;^)

En faisant d = â le second membre s'évanouira, mais il est clair par ce qui précède que (p{d) ne change pas de valeur si Ton met au lieu de 0 Tune quelconque des quantités d ± «i , ^ ± «^ . . . ^ ± «„ . Donc le numérateur du second membre doit s'évanouir toutes les fois que x a Tune des valeurs AJ, ^((^±«1), X{â±a^)y . . . X{â±a„). Donc, puisque le nombre de

SOLUTION D'UN PROBLÈME GÉNÉRAL CONCERNANT LA TRANSFORMATION etc. 413

ces valeurs, en général toutes différentes entre elles, est 2 n -|- 1 , il s'ensuit que

...11—...": .]fi— ■''

donc en substituant et faisant pour abréger,

il viendra

formule qui a lieu pour des valeurs quelconques de â et 0.

A l'aide de cette formule il sera facile de trouver les cas dans lesquels on pourra satisfaire à l'équation proposée. On peut écrire cette équation comme il suit:

(29) V(l-cïy*)(l-eV) = I -I- Vâ^ VKÏ^ITV) ,

ce qui nous fait voir que l'une des quatre fonctions lic^y, 1 + e^y doit s'évanouir en attribuant à x une des quatre valeurs ± — 7 ± — ? c'est-à-dire

à 0 une des valeurs ±-^j ±-^'

Supposons d'abord 1 — Ci y = 0 pour 0= ^^ l^c^y^O pour 0 = — -^j 1 — e^y = 0 pour 0 = -^, l-^e^y = 0 pour d = s-' on pourra

prendre J = -^5 (î' = s-' « = -9-' «' = 9-' En substituant ces va-

leurs dans les équations (24) et remarquant que q) (p\—-^]=~(p\^-], on en tire

CO \ lu)

On satirfaît à ces équations en prenant

414 SOLUTION D'UN PROBLÈME GENERAL CONCERNANT LA TRANSFORMATION oto.

(30) ff=f' = 0, -{,=Ît. «1= 7~n' ^ = -^'

oh k est arbitraire.

La valeur de y deviendra

(31) y = Tf^

et l'on aura ensuite

^(î) "^ Ht)

w . ct;

Cela posé, faisons dans la formule (28) â = ±^ y ±-,z j on obtiendra

1 — .-^^^wi ■'^

or aK^- zrz: -j et d'après la fonnule (16) on aura A -^ -J-a == A - — a\ donc

H-î) ' * Kt-«-)' ' Ht—.)

On aura des expressions analogues pour 1 -| ^—^ 5 1 ± —j—^r en faisant

En faisant donc pour abréger

SOLUTION D'UN PBOBLEME GENERAL CONCEUNANT LA TRANSFORMATION etc. 415

on- trouvera

(35) l-clf = {l-c*x*)-^\-, l-ely' = {l-e*x')Ç,

et de là

(36) y(ï-z:7îFjXr="ef7) = ± |; |/("r:-Vx*)(i-«V).

Maixiteuant les deux équations (35) nous montrent que if^-r- est une fonc-

tion entière de ic, qui est divisible par les deux fonctions entières t et ^'; donc, puisque ces fonctions n'ont point de diviseur commun, il en résulte

que (f^-i-, ^^^^^ divisible par leur produit; mais le degré de la fonction p*-^- est précisément le même que celui de la fonction tt'^ savoir an. Donc

l'expression se réduit à une constante. En la désignant par a, on

aura donc

(37) dy=^a—^dx^

et par suite l'équation (36) donnera

c'est-à-dire l'équation proposée.

Pour détenniner le coefficient a faisons dans (37) x infini, on obtiendra, d'après les valeurs des fonctions p, f, t\

(^-e^cy-,l^a,.,.l^a,.X'{^^--a,).,.X^{^''--a,^^

mais d'après la fonnule (18) on a '^^[-^ « .il* -| a\ = -^-^j

donc

dy a 1

^^^^ dx ~ X^a^ . X^a^ . . . X^a^ ' (e^c^y '

or, en différentiant l'équation

(40) y=l-cp0 = ^(x^2x^ T^tM^^ )

416 SOLUTION D'UN PROBLEME OÉNÉUAL CONCERNANT LA TRANSFORMATION etc.

et en faisant ensuite x = -rr^i on aura -,- = ~ç • En égalant cette valeur à la précédente on en tire

(41) a = {e^cy^i.^a,.l^a^ . . . X*a^.

On poun'a donner à l'expression de y une autre forme plus simple à quelques égards. En nuiltipliant les deux membres de Téquation (28) par (pâ et faisant ensuite â = Oj il viendra

oh A est une quantité constante. En attribuant à a: la valeur J^, après avoir divisé par x, on trouvera

(42) A = (e*c*)" .X^a,.X^a^. . . X'a^ = ak. L'expression de y deviendra donc

Il y a encore une autre manière d'exprimer y qui est très simple. En faisant dans (28) a; = ^, après avoir divisé les deux membres par a;, on trouvera

(c*c*)»A*«j.À*a, . . . A*a„.À<J.A(a,4-(J)A(aj — J) . . . A(o„-|- J)i(a, — J) = Aj j^(^|«,)4 X((J«^)| ^^(^^.„,)|i(^„,),

formule qui a lieu pour une valeur quelconque de d.

En mettant donc 6 au lieu de (J et multipliant par -,-> on aura y exprimé comme il suit:

(45) y = X W" h.Xd.X{a^-\-0). X{a, — 6)... X{a^ -\-e).X{a^ — 0),

où Ton a fait pour abréger

(46) h=zX^a^,X^a^.X^a^ . . . X^a^.

SOLUTION D'UN PROBLÈME GÉNÉRAL CONCERNANT LA TRANSFORMATION etc. 417

En faisant 0==-\-~^j 0 = -^-—-, les valeurs correspondantes de y semnt — et — ? donc:

9n ^ïn— 1

aA.X

Si donc les quantités c^^ e^^ a^ y ont les valeurs exprimées par les équations (41), (43), (45), (47), l'équation (1) sera satisfaite en détenninant convenablement le signe du second membre. Il faut remarquer que ce signe n'est pas le même pour toutes les valeurs de x\ mais il sera toujours le même pour des valeurs de x comprises entre certaines limites. On doit prendre le signe -j- si x est très petit; et alors on doit conserver le même signe jusqu'à une certaine limite. Dans tous les cas le signe qu'il faut prendre se détermine par l'équation (36).

Le théorème de M. Jaeohi est contenu comme cas particulier dans ce qui précède. En effet on l'obtiendra en faisant a^ = ^ . > c = 1 , Ci = 1 .

Alors on trouvera «9 = 7^ — r-ï-' «s = ii — ^t-â'»

2nio "'2n+l '

\2n+l' / \2n+l / \2«+l' / \2rt+l /

L \^2n + l 2/ V^n+l 2/ \2«+l ijj

ili-y*){l-e\y*)

^ = ±ade.

Il faut prendre le signe supérieur si x est compris entre les limites

418 SOLUTION D'UN PROBLEME GENERAL CONCERNANT LA TRANSFORMATION etc.

i./4m+lw\ ^ ,-/4?n + 3a;\ ^, . •/»/•

I ^ o u 1 "ô~ ®* "F ''' ci. i 1 -o- ®t 1® Signe iiiiéneur si x est compris

entre les Innites A L ^ — , - . « ^t A ^ — ,~ir -^

En faisant dans notre fonnule générale «1 = — ^y \~\ — ' ^^ 7/i -|r- 7/i' est

un nombre pair et où les trois nombres w, 7»', 2n-\-l ne sont pas divisibles par un même facteur^ on aura une fonnule plus générale que celle de M. Jacobij savoir celle que j'ai démontrée dans les ^Recherches sur les fonc-

tions elliptiques." On aura dans ce cas, en faisant a = — c^—-,—^ — ? «• = a,

a^=:2aj «3 = 3a, . . . a„=:7za, ce qui suffit pour déterminer les quantités Cl, e^, a et y.

Dans ce qui précède nous avons démontré qu'on aura une valeur convenable de la fonction y, en prenant, dans l'expression générale de cette

fonction i/=z'- • ' f—j f =g = 0. On peut aisément trouver toutes les

autres solutions possibles à l'aide des formules (10), (11), (12). Soit

et désignons par c^, e^, les valeurs correspondantes de c^ et e^^ on doit avoir

mais en faisant y=.-(pd, le second membre sera, d'après ce qui précède, éffal à +—^ - ; -r=--z^^:; - ■— r- , donc on doit avoir

V(i-«|s'î)(i-«|yî) '^ V(i — cîy=')(i— efi^*)

où /

D'après les équations (10), (11), (12) on satisfait de la manière la plus générale à ces équations en prenant

SOLUTION D'UN PROBLÈME 6ËNEKAL CONCERNANT LA TRANSFORMATION etc. 419

Ces trois formules, en y faisant ?/ = t- ç)d , contiendront donc toutes

les manières possibles de satisfaire à Téquation (50).

On peut sans nuire à la généralité faire fc=l. La première de ces

formules est la même que celle qui résulte de y=z-j~(pO, La seconde en

résulte en mettant . au lieu de y. Les modules restent par cette

substitution les mêmes. La troisième est en général différente des deux premières.

Deuxième cas. Si k est égal à zérOy et Vurie des quantités k!^ h" égale à Vunilé.

Si, k étant égal à zéro, l'une des quantités fc', k" est égale à l'unité, il faut nécessairement que l'autre soit égale à zéro. En effet si Ton avait

fc' = fc" = 1 , les racines l\0-\ — "X — h ^ ^ H ^ — donneraient celle-ci

i.\0 -\ -^-^— — — ^— ] = ^{0-\-'^^)^ donc k ne serait pas égal à zéro

comme nous l'avons supposé. Désignons donc par /î Tune des quantités — o — ' — ô — ' l expression de (p0 deviendra

(53) (pO = X0 -^ l{e -^ /3) -\- i.{e -\- a;) -\- X{e — a^) -\

+ À(<? + a„) + ^(<? — «„), ou, en rexpriniaut en fonction de «,

Soit 'comme dans le premier cas 1 — e^y==0 --ponr x = — ■, on aura

420 SOLUTION D'UN PROBLEME GÉNÉRAL CONCERNANT LA TRANSFORMATION oti*.

(55) i.j,3^/l^C[i__(|«yj.

Maintenant, de la même manière qu'on a démontré précédemment la formule (28), on établira la suivante:

•'■11 — -.^. ri— ""

oîi l'on a fait pour abréger:

(57) (f = ±ecx{l— e'cn'a^ •«*)(! — e*c*X*a^ . a;») ... (1 — e'c'Ji'a, . x*).

En faisant (y = ±-^> on aura les valeurs de 1-1 7— r et 1 T-r» Qiû

multipliées entre elles donneront celle de 1 — | , , | • Cette valeur substituée dans l'expression de 1 — cly^ (55) donnera

et par conséquent, si Ion fait

on aura

(59) f 1 - cïi/"» = ■^''C-- < f (1 - «'«=')(! - «'^Ô- Cette valeur, mise dans l'équation (29), donne

(60) yï^eW = -Zkl- - ^ -? .

On voit donc que |^1 — e\y^ doit être une fonction rationnelle de x.

SOLUTION D'UN PROBLEME GÉNÉRAL CONCERNANT LA TRANSFORMATION otc. 4^1

Il n'est pas difficile de démontrer qu'on satisfera à cette condition, en supposant que 1 — ely^ s'évanouit pour x=^±ki- t,— ; on aura alors

Les équations (24) donneront dans ce cas

/' = f *lf =1*, 2

auxquelles on satisfera en prenant

De là il résulte:

(62) c^=k.ip\^l-y «.=fc.9>(-7--)

1 , ec

Connaissant ainsi une solution de l'équation proposée, on aura toutes les autres à l'aide des formules (10), (H), (12). Le cas le plus simple CvSt

celui où n = 0. Alors on aura, en faisant c^ = c = 1 , (3= -^ "f" "o" '

2Ve

y(l-y»)(l-«ît/») ^ ^ V(l—«=')(i -«"*•*)

4Ô2 SOLUTION D'UN PROBLEME GÉNÉKAL CONCERNANT LA TRANSFORMATION etc.

Troisième cas. Si kzzl.

Dans ce cas Texpression (15) de (p0 deviendra, (^d = AÔ-f.A(d + ai)+A(é? + «J + A(ô-«J-| f.A(ô + ««) + À(d-«„).

Or cette quantité se réduit à zéro pour une valeur quelconque 'de ô, ce dont on pourra se convaincre aisément, en remarquant que (p6 doit rester le même en changeant 6 en d-\-io.

La fonction (pô étant égale à zéro, si Ton désigne par ^{f — g' y) le coefficient de x*""^ dans le premier membre de Téquation (9), on aura, en faisant pour abréger

d'où Ton tire,

Maintenant il n'est pas difficile de trouver toutes les solutions relatives à ce troisième cas en se servant de l'expression (64). Je ne m'arrêterai pas ici à développer les formules mêmes; je vais seulement faire connaître un théorème plus général que celui exprimé par les formules (48).

Théorème. On aura

'^^___ . = ± «^^__ -=±ade,

OÙ

n étant un nombre entier quelconque, -^ = / — — — - - - — — •

En supposant n impair, la formule (65) est la même que celle que nous avons ti'ouvée (4S).

Si l'on fait ic = siny, ?y = sini//, on obtiendra

SOLUTION D'UN PUOBLEMK GENERAL CONCEKNANT LA TRANSFORMATION etc. 423 (66) - -^-^ = n. ^y ,

oîi l'on pourra exprimer la quantité ^ comme il suit:

(67) 1^ = y -|- arc tang < tang y . [/ 1 — e^l^

-|- arc tang < tang (p.y 1 — e*À* - - >

-|- arc tang | tang (p.\/ 1 — e^X^i ^ [ '

En supposant n = 2 on aura

y/z=(p-^ arc tang (tang (p -Yl — e* ) ,

ou bien

tang (ip — (p)^= tang (p . y 1 — e^ .

(Voyez Legendre Exercices t. I, p. 84).

Si l'on suppose n très grand, on aura à peu près «1 = 0, donc

a -, 7t ^ j ^ w 1 1 1 w TA

boit w = -^, on aura yj = n-^, donc w -^ = a ,. ? donc — = De

là il résulte, en faisant ?z infini,

/ -7. --^ . t^ = - ^ / arc tang (tang <p . f 1 — e^x ) dx.

Nous avons vu précédemment que le nombre des valeurs inégales de l'expression ^(0 -\-k^a^-\-k^a^-\- • • • -j-fcyCZy) est toujours fini. On peut dans tous les cas trouver ces valeurs conmie il suit.

Soient

X{e-{-n^ay) = k{e-}-m,a,-\-7n^a^-\ \-m^ia^^,),

424 SOLUTION D^UN PROBLEME GÉNÉRAL CONCERNANT LA TRANSFORMATION etc.

OÙ Wi , n^j W3 , ... riy sont les nombres entiers les plus petits possibles qui puissent satisfaire à des équations de cette fomie, Wi, m^, . . . my, étant des nombres entiers, qui pourront être différens dans les différentes équations. Cela posé, je dis qu'on aura toutes les valeurs inégales de l'expression i'iO -^k^a^-{-Jc^a^-\- • • • -{-k^ay) en attribuant à fcj, fc^, . . . fc^ toutes les valeurs entières et positives respectivement moindres que 7^^, w^, , . . 7^y. En effet, si Ton avait

sans avoir à la fois

en mettant 0 — k^a^ — k^a^ — • ■ • — ^m-i^^m-i — kja^ — ^«+i«m+i — • • kytty

au lieu de d, on en tirera

i.[o-\-{K-K>.] = x[0-\-{W-k,)a, H h (fc'-i-fc^.)«,.-i],

où Ton a supposé que k„ — kj est la première des quantités ky — fc^', ky__i — fc'v i, • • • qiii soit différente de zéro. Or en supposant, ce qui est permis, que k„ — kj soit positif, ce nombre sera en même temps moindre que n^j ce qui est contre Tliypothèse. Le nombre total des valeurs inégales de Texpression X(0-\-kia^-\-k^a^-\' • • • -f-fc^tty) sera donc égal à

car il est clair qu'on n'aura pas de valeurs nouvelles, en attribuant à fc^, &2, . . . fcy des valeurs respectivement plus grandes que w^, w^, . . . w^.

Le degré de l'équation p — qy=:0 est donc

m = 7^l?^27^3 . . . Hy

Si donc ce degré doit être un nombre premier, on doit avoir r=il et tw = tIi . Les racines de l'équation 2^ — 9^y=^^ deviendront donc dans ce cas

k(0-\-na) = xej et a = ~ ,

m et m^ étant deux nombres entiers dont la somme est un nombre pair et qui n'ont pas un même diviseur commun avec n.

On doit remarquer qu'à la même valeur de m répondent toujours plusieurs solutions différentes du problème général. Le nombre total de ces solutions est en général égal à 3 m.

SOLUTION D'UN PROBLÈME GÉNÉRAL CONCERNANT LA TRANSFORMATION etc. 425

On peut de ce qui précède déduire un grand nombre de théorèmes remarquables sur les fonctions elliptiques. Parmi ceux-ci ou doit distinguer les suivans.

a. Si l'équation (1) peut être satisfaite en supposant y = yj(x)=:-—

où le degré des fonctions entières p et q est égal à un iiombre composé mn^ on pourra toujours ti'ouver des fonctions rationnelles (p et / telles qu'en faisant

x^ = (px'—^^ , on ait y=f{x,) = ^-,

dx^ dx

^ — ai —

i{\-c\y^){\-e\y^) " V{S-o\^X)(X-e\xX)

le degré des fonctions entières ^' et g' étant égal à l'un des facteurs w, n^ et le degré de ^i et q^ étant égal à l'autre.

b. Quel que soit le degi'é de l'équation p — qyzz^O^ on en pourra toujours tirer la valeur de x en y k l'aide d'opérations algébriques. Voilà donc ' une classe d'équations qui sont résolubles algébriquement. Les racines auront la forme suivante:

(Ail L\

(70) a: = fonct. ration, [y^ rj"', r,"', rj"» . . . r/»'],

riiy n, , . . . Uy étant des nombres premiers entre eux dont le produit est égal au degré de l'équation en question, et les r^ , r^ , . . . r^ étant de la forme

(71) s+tr{l-cly'){l-ely*),

OÙ f et f sont des fonctions entières de y.

c. Il y a un cas remarquable du problème général; c'est celui où l'on demande toutes les solutions possibles de l'équation

du dx

y (1 c2y2) (1 — e«y2) y(l — c^x^) (1 — eKx^)

On aura à cet égard le théorème suivant;

42fi SOLUTION D'UN PROliLEME GÉNÉRAL CONCERNANT LA TRANSFORMATION etc.

Si réquatioii précédente admet une solution algébrique en x et y, ^ étant rationnel en x ou non, la quantité constante a doit nécessairement avoir la forme

où a et a désio^nent deux nombres rationnels, le dernier étant essentiellement positif. Si Ton attribue à a une telle valeur on pourra trouver une infinité de valeurs différentes pour e et c, qui rendent le problème possible. Toutes ces valeurs sont exprimables par des radicaux.

Si donc on suppose que a soit une quantité réelle il faut qu'elle soit en même temps rationnelle. Dans ce cas on sait d'ailleurs qu'on pourra satisfaire à l'équation différentielle dont il s'agit, quelles que soient les valeurs des quantités c et e.

d. Du théorème précédent, on peut par un simple changement de variables déduire celui-ci:

Si l'équation

du dx

où h^=i\ — c*, admet une solution algébrique entre a: et y, le coefficient a doit avoir la forme suivante:

fi' et fi ayant la même signification que précédemment. Si donc on veut que a soit réel il faut qu'il soit égal à la racine carrée d'une quantité rationnelle. Cette condition remplie, le problème a une infinité de solutions. Comme cas particulier on en déduit ce théorème:

Si en supposant (p et ip réels et le module c moindre que l'unité, l'équation

a une intégrale algébrique en sin (p et sin yj^ il faut nécessairement que a soit égal à la racine caiTée d'une quantité rationnelle et positive.

Ainsi par exemple, si dans la fonnule (65) on suppose ej == 1 — e*,

on aura a^Vn conmie nous allons voir. En faisant 0 = ^— dans l'ex-

SOLUTION D'UN PROBLEME GENERAL CONCERNANT LA TRANSFORMATION etc. 427

pression de ?/, on trouvera, en vertu de la valeur de fc, y=l, donc

Hû)

dx ait)

(73) r r -'---- =af

en remarquant qu'on doit, dans le second membre de Téquation (65), prendre le signe supérieur depuis x = 0 jusqu'à a; = il h^— • Cela posé, en remarquant que A d -| =: ;, p^ ^ OU il est clair qu'on aura

en multipliant cette valeur par celle que donne la formule (65), on aura, en faisant usage de la fommle

qu'on obtiendra à l'aide du théorème 1 :

En faisant maintenant x=py^l^ y = z^ — 1, on aura, en supposant p réel, pour toutes les valeurs de cette quantité,

r dz r dp^

Jo y(T+^'^)Xi +^]^ ~ Jo V(i +V) (ï + ^'p') '

mais si l'on fait pz=^^ on aura de même 2; = ^, donc

n dz^ n

+^*)(l+eV)

Le premier membre de cette équation est la même chose que -^> et le se-

cond la même chose que a / , =: > ce qui est facile à prou-

ver, donc

428 SOLUTION D'UN PROBLEME GENERAL CONCERNANT LA TRANSFORMATION otv

10 f dy

Jo va -h

V(l-!/')(l-el2/') Cette écjuation combinée avec (73) donne

10 aco

c'est-à-dire

Christiania le 27 mai 1828.

Astronoinische Nachrichten, lierausgogeben von Schumacher, Bd. 7, n« 147. Altona 1829.

Dans le numéro 138 de ce journal j'ai fait voir comment on pourra trouver toutes les transformations possibles, réelles ou imaginaires, d'une fonction elliptique proposée. Les modules c, e, c^^, e^ pourront être des quantités quelconques. Le cas le plus remarquable est celui où Ton suppose les modules réels. Dans ce cas le problème général poun'a se résoudre par une méthode particulière, entièrement différente de celle que nous avons donnée dans le mémoire cité. Puisque cette nouvelle méthode est remarquable par sa grande simplicité je vais l'indiquer ici en peu de mots.

Le problème général que nous allons complètement résoudre est le suivant :

^Trouver tous les cas possibles où l'on pourra satisfaire à l'équation .différentielle :

r-v di/ da

„par une équation algébrique enti'e les variables x et y, en supposant „les modules c et c^ moindres que l'unité et le coefficient a réel ou ^imaginaire."

En désignant par kO la fonction inverse de celle-ci:

430 ADDITION AU MÉMOIRK PHECEDENT.

de sorte que x = XO^ on aura, en vertu de la fonnule (4) du numéro 138, oïl les quantités constivntcs (o, lo' sont détenninées par les fonnules

0/ r ' fix

2 ~ J 0 y(l — .r») (1 - cV") ■

Dans le cas que nous considérons, la quantité to est réelle, mais m' est ima-

ginaire. On aura en eftet

^^ ~jo -^(î— ^■^) (1 ^*.K*) "^ j 1 y(i —7») (1 - c«*«) '

c'est-à-dire :

w' £t> 1^ 1 / — ^- r ' iLr

où il est clair que le coefficient de y — 1 est une quantité réelle. En faisant x = — - .-1 oh. J = V î — c* , ou trouve yi/,»y» ' '

oîi

Le théorème II du numéro 138 donnera donc celui-ci:

„0n satisfera de la manière la plus générale j\ l'équation

xe' = Î.6 „en prenant

(4) e'=i{—\Ye-{- mio 4- m'm V— T ,

„oîi m et m' sont des nombres entiers quelconques, et o) et fiî deux „quantités réelles données par les formules (2) et (3)."

Cela posé, soit

l'équation algébrique xîntre y et x qui doit satisfaire à l'équation différentielle

(1). Si ron fait x^-XQ et y=iX^6\ où 6 et 0' sont deux nouvelles variables, et X^ la fonction elliptique qui répond au module Cj, de sorte que

(6) -.^.^^__ ^.- = de' pour y = 1,0', l'équation (1) deviendra

de' = ±ade,

d'où l'on tire en intégrant: 0' = e±aOj où e est une constante. On a donc

!/ = Ai(« ± (lO),

ou bien, en mettant -\-a pour +a,

(7) ^ = Âi(£ + ad).

L'équation (5) enti'e x et y donnera donc celle-ci

(8) f[X,{e + aO), X0] = O

qui ne contient que la seule variable d, et qui aura lieu quelle que soit la valeur de cette quantité.

Il ne serait pas difficile à l'aide de la fornmle (8) de trouver la fonction f(y, x) ; mais pour notre objet il suffit de connaître le coefficient a et une certaine relation entre les fonctions complètes. Voici comment on y parviendra. En mettant 0-\~2moj au lieu de 0, et en remarquant qu'en ^ vertu de l'équation (4)

l{0-\-27mo) = xe,

on obtiendra cette autre équation

(9) /[;ti(6-f-2maa>-fal9), X0] = O.

On aura de même, en mettant 6 -|- miOi pour d , où i = Y— 1 ,

(10) f[X,{e + mam-^ aO), 10] = 0.

Dans ces deux équations m pourra être un nombre entier quelconque. En faisant x = kO on voit donc que l'équation algébrique

est satisfaite en mettant pour y une quantité quelconque de l'une des deux formes :

A^ (fi -f- 2 maœ -\- aO) , Aj (« -)- maïQi -|- aO) ;

mais m peut avoir une infinité de valeurs, tandis que l'équation dont il

s'agit n'a qu'un nombre liniitt' de racines; il faut donc qu'on puisse trouver deux nombres entiers h et h* tels que

(11) ^1 (« H- 2 h'aœ -|- aO) = l^{t-\-2 kaw -f aO) , et deux autres v et v' tels que

(12) À/é -f- r'am-^aO) = X^{t-\- yaG>i-\-ae).

En vertu de la formule (4) ces deux équations donneront respectivement

12¥no) = 2k(WJ -\-27na},-4- fuw, V — 1 , r'aiot = raîùi -\-2fno^-\- jn'vD^ y — 1 ,

oîi Wj et w^ désignent les valeurs de w et cD qui répondent au module c^, c'est-à-dire qu'on a