Xy(i-W(i
Cela j)osé, les équations (13) donneront, en y mettant v pour k' — k et v' poui* v' — v,
a = -i —^ 4- " - - » iCTi V tu ' 2v to ' '
^1 1^ iîiiCIT
d'oîi, en comparant les parties réelles et imagînairas,
m Wj jw' i3j ^ m' «3^ 2f.i co^
V io V* ûi ^ 2v ù) V (b
Ces deux équations donneront celles-ci:
f^rt\ ^^^ 1 w?«' v'* lol 1 m^fÀ
^ ^ O^ 4 jUfi' r^ ' (Sj 4 mfi
Maintenant y est une fonction continue de c, donc les équations (17) ne
sauraient avoir lieu que pour des valeurs particulières des modules c et c^. Si donc on suppose c indéterminé il faut que l'mie des équations
(19) m = iii' = 0
ait lieu. Les équations (15) et (16) se réduiront dans le premier cas à
et dans le second cas à
„ = ^: '»i. yzn = !('- i>y=:ï
Wj 1 mW (3
Mais si la valeur du module c est telle que la première des équations (17) ait lieu, on doit avoir en même temps
(oo\ C(i 1 y^ 1/ mm' c^i 1 1 / ^y
^^ û>~2 V y ^ju' ' <à^~2y mil'
et alors a est donné par Tune des équations (15). ^
Quant aux nombres m^ m\ ^, ,a', y, v' il faut les prendre tels que co, Wi, 6J, 6Ji soient, selon leur nature, des quantités positives. Si donc on suppose, ce qui est permis, v et y' positifs, il faut que m et fi' soient de même signe et m' et fi de signe contraire. On pourra d'ailleurs sans diminuer la généralité supposer m^, m et fi' positifs et jjl négatif.
De ce qu'on vient de voir on déduit immédiatement ce théorème:
Théorème I. Pour que Téquation (1) ait une intégrale algébrique en x et y, il faut nécessairement que les modules c^ et c soient liés entre eux de
telle sorte que Tune des deux quantités ~ et -— soit dans un rapport rationnel avec — ; c'est-à-dire qu'on doit avoîr l'une des équations
OÙ k et k' sont des nombres rationnels. Si la première de ces équations a lieu, mais non la seconde, on aura en même temps
434 ADDITION AU MÊMOIKE PliÉCKDENÏ.
oîi (ï est un nombre rationnel. Si la seconde équation a lieu mais non la première, on aura en même temps
(25) « = c^-^if-l.
Enfin si les deux équations (23) ont lieu en même temps, les modules c et Cl seront tous deux déterminés, savoir respectivement par les équations
et alors le coefficient a doit avoir la forme
où (^ et c^' sont des nombres rationnels.
Les conditions indiquées dans ce théorème doivent donc nécessairement être remplies pour que l'équation (1) ait une intégrale algébrique. Il reste encore le point le plus important, savoir de déterminer si ces conditions sont suffisantes. Or c'est ce que nous allons faire voir à Taide de la formule (65) du numéro 138. Cette formule peut facilement être démontrée en faisant effectivement la substitution de y; mais il existe une autre démonstration, tirée de considérations entièrement différentes et que nous allons donner ici, en nous servant d'une formule démontrée dans les j^Reckerches sur les fonctions elliptiques^' Il s'agit de la formule (185) de ce mémoire (Crelle^s Journal filr die reine und angewandte Mathematik, Bd. 2, p. 176), savoir
(28) fa = n.
oîi
arc lo' rr
les quantités m et Q)' étant données par les équations
a' r ' dx
y (1 — e^x*) (1 + X*) On a de plus
(31) fa = fi-x' où X est lié à a par l'équation
Si ron fait e = -— ^ i^zz -- , x = yi — y^ . on trouvera
da=i — h — =1
l/(l-y=')(l-cV)
d'où
maintenant Téqiiation x = yiT — y* donne y = yX^ x* z=.fa^ donc
d'où, en mettant i ^ ia à la place de a,
(33) Aa=/[&
Cela posé, si Ton posé dans la formule (28) h -^ ha au lieu de «,
on trouvera, après quelques réductions faciles,
\^o^) Aa—^ ^^^ ^ -^^ ^^ ^ t^r^yil 4- t-^r^) (1 + th^'') (1 + /-^r-*) . . . '
OÙ
(35) t = e •', r = e " et A une quantité indépendante de a. Si l'on fait pour abi'éger
(35') ^^^I = VH,
on aura donc
(36) Aa===^.t//[a-Jj.i/;(w + a)^-V/.(a> — «)-J-i/;(2a> + Si Ton fait maintenant successivement
on aura les valeurs de id , >t ^ -| • • • il d -| — io , qui multipliées
ensemble donneront sur le champ
oîi l'on a fait pour abréger
(38) â = -'-e, ^- = li^;
or si l'on pose dans la fonnule (36) le module c^ au lieu de Cj et si Ton désigne les valeurs correspondantes de
X0J coj SJ, A
respectivement par il viendra
7t i X K Tt , ^ 7t
Le second membre de la formule (37) est donc là même chose que r^^^ = -j- ^l"! -;;;r ^ » c* P^i' conséquent on aura la fomiule suivante :
cette équation a donc toujours lieu si le module c^ est tel que
(40) ^ = -^' quel que soit d'ailleurs le nombre entier n.
Si Von fait XO = Xy Xii—^0\=yj on aura l'équation
/Ai\ ^^y Q.dx j^
(41) — - =-7 -A- =zm^de.
^ ^ V(i-yO(i-^îy') t/(i-^»)(i-c^^*) '
qui par conséquent est satisfaite par l'expression algébrique
(42) y=AL,xeA{e-^^] . . . xiey^-^œ
71 l • rt
La valeur de y est toujours une fonction algébrique de x. En effet, si n est un nombre impair, on a
• HZ • : '■ : • • • y
l^e^;L«Q..r« i-cn'('^T^"'-]'œ'
et si n est un nombre pair
'iî)-^' ^i'^i)-^' yi-=^
l.cU«(^)a;» l cU«(^fi^).tr» Vï
Considérons maintenant les trois cas de notre problème général.
Premier cas. Si a est réel.
Dans ce cas on doit avoir, comme nous Tavons vu, a = (J — ~ = — — ^ oh fi et V sont des nombres entiers; l'équation proposée deviendra
dy H' ^i ^
(0^ 1 co ma)
On doit avoir de plus -^ =k— = » m et n étant entiers. Si Ton
fait x=zl{ymd) et y=:Aj(/x«>^d), 0 étant une nouvelle variable, Téqaation
(45) sera satisfaite, car les deux membres se réduiront à fiiD^dO. Pour avoir une intégrale en x et y il faut donc éliminer 0 des deux équations
(46) x = X{vœ0)] y — X^{fim^e).
Nous allons voir que le résultat de Vélimination sera une équation algébrique en a; et y.
Soit c un nouveau module et désignons par
les valeurs correspondantes de
X0J (Oj G}j A.
Cela posé, si Ton suppose le module c' tel que -y = — -r- > on aura en vertu de la formule (39), en mettant /lyôiD au lieu de d
(47) X\}ivUi'e) = j[ l{uvme) . liuyme -f. -^ j . . . xi firme -f --^^
maintenant, ayant —7= ^ et ^ = ? on en tire ■ , = ^ ;
donc la même formule donnera
(48) À>i'fl>'d)=:-^^ À.0n'<D,<9).A,(//,'©,d + -2 ) . . . A,(//rfiJ,d +
En égalant entre elles ce« deux expressions de ï