SORTE DE FONCTIONS TRANSCENDANTES
Juamal fiir dio reine und angowandte Matlieniatik, herausgogehen von CreU^, Bd. 3, Berlin 1828.
yjx= I
Si ^x désigne la fonction elliptique la plus générale, c'est-à-dire si
rda
vr
où r est une fonction rationnelle quelconque de x, et 5 une fonction entière de la même variable, qui ne passe pas le quatrième degré, cette fonction a, comme on sait, la propriété très remarquable, que la somme d'un nombre quelconque de ces fonctions peut être exprimée par une seule fonction de la même fomie, en y ajoutant une certaine expression algébrique et logarithmique.
Il semble que dans la théorie des fonctions trancendantes les géomètres se soTit bornés aux fonctions de cette forme. Cependant il existe encore pour une classe très étendue d'autres fonctions une propriété analogue à celle des fonctions elliptiques.
Je veux parler des fonctions qui peuvent être regardées comme intégrales de différentielles algébriques quelconques. Si Von ne peut pas exprimer la somme d'un nombre quelconque de fonctions données par une seule fonction de la même espèce, comme dans le cas des fonctions elliptiques, au moins on pourra exprimer dans tous les cas une pareille somme par la somme d'un nombre déterminé d'autres fonctions de la même nature que
REMRRQUES SUR QUELQUES PROPRIETES QENËRALES etc. 445
les premières, en y ajoutant une certaine expression algébrique et logarithmique*). Nous démontrerons cette propriété dans l'un des cahiers suivans de ce journal. Pour le moment je vais considérer un cas particulier, qui embrasse les fonctions elliptiques, savoir celui des fonctions contenues dans la foimule
R étant une fonction rationnelle et entière quelconque, et r une fonction rationnelle.
Nous allons d'abord établir le théorème suivant:
Théorème I. Soit (px une fonction entière de Xj décomposée â!une manière quelconque en deux facteurs entiers cp^x et (p^x^ de sorte que (px = (f^x.ip^x. Soit fx une autre fonction entière quelconque^ et
dk a est une quantité constante quelconque. Désignons par a^, a^, a^ . . . ^0 7 ^1) ^27 • • • ^^ quantités quelconques^ dont l'une au m^ins soit variable. Cela posé^ si Von fait
(S) I (^ + ^^^H h^»^")"?^!^ — (^o + Ciic^ {-c^x'^ycp^x
I = A{x — Xi) {x — x^ {x — x^...{x — x^ ,
oh A ne dépend pas de a:, je dis qui! on aura
(4) êiV/a^i -f €ai//X2 -f B^\\)x^ -| . -[-. €^i//x^
ifpa (a^ -f a^a -j- . . . 4- a^a"^) V(p^a — (c^ + c^a -| (- c^a"») Vç),»
oà C C5^ une quantité constante^ et r le coefficient de — dav^ le développement de la fonction
suivant les puissances descendantes de x. Les quantités ^i, «a, ... « sont
*) J'ai présenté un mémoire sur ces fonctions à Facadémie royale des sciences de Paris vers la fin de Tannée 1826.
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égales h -\-l ou h — \^ et leurs valeurs dépendent de celles des quaniùés
Désignons le premier membre de Téquation (3) par Fx^ et faisons pour abréger
j 0 X = ttQ -\' a^x -\- a^x* '\- • • • -|- a„a:",
nous aurons
(0) Fx = {Oxy (p,x — {e,xy(p^x.
Cela posé, soit x Tune quelconque des quantités x^^ x^^ . . . x^^ on aura Téquation
(7) Fx = 0.
De là, en différentiant, on tire
(8) F'x.dx^dFx = 0^
en déxsignant par F^x la dérivée de Fx par rapport à x, et par dFx la différentielle de la même fonction par rapport aux quantités «oî ^m ^7 • • • <^07 ^u ^3î • • • Or, en remarquant que (p^x et (p^x sont indépendans de ces dernières variables, l'équation (6) donnera
(9) dFx=.2ex.(p^x.iyex — 26^x.(p^x.de^x^ donc en vertu de (8)
(10) F'x.dx = 26^x. (p^x . âO^x — 20x. (p^x . âOx.
Maintenant, ayant Fx = 0 = {dxy(piX — {0ixyq)2X^ on en tire
(1 1) 0xY<piX=z eOixYcp^x , où £ = ± 1 . De là il vient
0x . (piX = «ôi^y^iic . (p^x = eO^xY^x^
O^x.cp^x = eOx^cp^x.ipiX = eOx Y^px^ donc l'expression de F'x.dx pourra être mise sous la forme
(12) F'x.dx=2B(ex.se^x — e^x.dex)Y^.
fx 1 1
Cela donne, en multipliant par e- -^~ ?
yffx J^ ^ *^ — ce
/^ç^\ fx,dx 2fx{px,8B^x — B^x.àBx)
^ ^ ^ {x—ol)iffx \x — d)F'x
REMARQUES SUR QUELQUES E»R0PR1KTES GENERALES etc. 447
En faisant pour abréger
(14') x{x)=2fx{ex.(ye^x — e,x.dex),
il viendra
^ ^ ^ ^ {x—a) Vy^ ~ (^ — aJF'x '
kx étant une fonction entière par rapport à x. Désignons par 2:rx la quantité
Tx,^ rx,-^ rx,-[ \-rx^,
et remarquons que l'équation (14) subsiste encore, en mettant rune quelconque des quantités x^^ x^^ . . , x^ ^m lieu de ic; cette équation donnera
(15) 2:b-^'-—. = 2:. — ^—- = dv.
^ ^ {x—a)-}/(px {x — a)i\x
Cela posé, on pourra chasser sans difficulté les quantités x^^ x^^ . . . x^ du second membre,
En effet, quelle que soit la fonction entière kc^ on peut supposer
(16) lx=^{x — a)X^X'\-la^
X.X étant une fonction entière de x. savoir En substituant cette
valeur dans (15),- il viendra
(16') $v = 2'^'--\-la:^j-^-^y^-^^-
Maintenant on aura, d'après une formule connue,
(^^) ■ ^lx-^)F'x^~'F^'
en remarquant que l'on a
Fa =iA{a — x^ (a — x^ ... (a — x^ ; donc
K^"^) "^ Fa^ F'x
X X n reste à trouver -S*-,}, -• Or cela peut se faire à l'aide de la fonnule (17).
En effet, en développant selon les puissances descendantes de a, il
viendra
448 REMARQUES SUR QUELQUES PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES etc.
d'où Ton voit que -S'-,^— e.st égal au coefficient de -j^^ dans le dévelop-
pement de -^-> ou bien à celui de - dans le développement de ,^— • De
là on voit aisément que -2'-t,V— ' ^ù ^i^ ©st une fonction quelconque entière de X, sera égal au coefficient de - - dans le développement . de la fonction
-^ selon les puissances ascendantes de -• Si pour abi'éger on désigne
ce coefficient relatif à une fonction quelconque r, développable de cette manière, par 77r, on aura
Or la fommle (Ifi), en divisant par {x — a)Fx^ donne
^ ^ (x — a)Fx hx
en remarquant que 77 ^ stët- ©s* toujours égal à zéro. Donc l'expression
(16') de Sv deviendra
^ ^ Fa ^ {x — a)Fx
Maintenant on a (14')
ïjj: =z 2fx . {Ox . âd,x — e^x . ôOx),
donc, en mettant a au lieu de iP,
Xa = 2/a . (0a . âdia — O^a . âda).
En substituant ces expressions dans la valeur de âv^ et mettant pour Fa sa valeur {Bayip^a — (^i«)*y2«, on obtiendra
^ 2fa.(ea,de^a—e^a.âea).2fx ex.ôe^x — d^x .ôOx
(Say.f^a — i^i^y-ffi^ ^ — « (Sxy.ifj^x — (Sj^xy.f^x ,
On trouvera aisément l'intégrale de cette expression ; car, en remarquant que y», 9^1 a, y^a, fx^ X — a, (fiXj (p^x sont des quantités constantes, on aura, en vertu de la fornmle
REUABQUE8 SUB QUELQUES PBOPUI^TiS OiNÉBALES etc. 449
Cpdq — qdp 1 j pV^+gVw.
j p'm — q*n 2i'mn ^ pVm — qVn'
(23) v=:C-J^\og gfLV>T^ + '»x«y^
Or l'équation (15) donne
donc en faisant
(x — d)'^(pi
(24) yjix) =J
dx
(x — a)y(px
et désignant par «i , «2 , . . . ^^ des quantités de la fonne ± 1 , on aura la formule
«1 V^a^i -j-f «V/Xa + fj^/Xs -| \- € rpx
(25) ^ Yq^ ^ SaV^f^ — e^aV^
(x — a)y^x Oxytp^x — O^xYcp^x
qui s'accorde parfaitement avec la formule (4).
Les valeurs de «1, «»,... «^ ne sont pas arbitraires; elles dépendent de la grandeur de aJi, x^, . . . a:^, et celle-ci est déterminée par Téquation
équivalente aux équations
(26) ôxi y^^i^i = «1 6^X1 yïp^xi ; dXiY(p^i=€^d^x^y(p^x2] ...
D'ailleurs les quantités «1, ^a, . . . «^ conserveront les mêmes valeui-s pour toutes les valeurs de x^^ x^^ . . . x^, comprises entre cei-taines . limites. Il en sera de même de la constante C.
La démonstration précédente suppose toutes les quantités x^^ x^^ . . . x^ difiFérentes entre elles, car dans le cas contraire F'x serait égal à zéro pour
450 R£MAKQUES SUU QUELQUES PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES etc.
un certain nonibi'e de valeurs de x, et alors le second membre de la formule (14) se présenterait sous la fonne ^. Néanmoins il est évident que la fonnule (25) subsistera encore dans le cas où plusieurs des quantités x^, Xj, . . , x^ sont égales entre elles.
En faisant x, = iCi, o*n aura (26)
Qx^ y(piXi = e^d^Xi y(piX^ = e^diX^ Y^p^x^ ,
et cela donne, en supposant que d^x.ip^x et dx.ipiX n'aient pas de diviseur commun,
En vertu de cette i-emai-que on aura le théorème suivant: Théorème IL Si Von fait
(27) {Oxy(p^x — {0^xy(p^x=zA{x — x^'^'{x — x^'^' . . . (x — x^)"*/*,
les fonctions entières dx.cp^x et d^x,(p^x n^ ayant pas de diviseur commun^
B^m^\px^-\- B^m^\ljx^'\- B^m^rpx^-^- • • • -\-B^m^\px^
(28) ^ y^tpcc SaVq^^a — e^ayf^a
Si Ton suppose fx divisible par x — a, on aura fa = 0^ donc en mettant {x — a)fx au lieu de /x, il viendra:
Théorème III. Les choses étant supposées les mêmes que dans le Théorème II, si Von fait
/fx .dx
fx étant une fonction entière quelconque, on aura (29) eim^xpXi-\-ttm^\iJXt-\- ■ ' • -\-s^mi,\px^
= c+/7-;:^iog -!-?>=
y (fx Bx^fp^x — B^x^tp^x
REMARQUES SUR QUELQUES PROPRIETES GENERALES etc. 451
Si dans la formule (28) on suppose le degré de la fonction entière f{x) moindre que la moitié de celui de tpx^ il est clair que la partie du second membre affectée du signe 77, s'évanouira. Donc on aura ce théorème :
Théorime IV. Si le degré de la fonction entière {fxy est moindre que celui de (px^ et si Von fait
dx (a — 0)"^ qix
(30) e^m^rffx^ + *2^2 V^^a + ' * ' + «a«^/*V^^^
Q Jg^ . I ejn[q^^a + e^cn[^
En faisant fa=l dans le théorème précédent et diiférentiant k — 1 fois de suite, on aura le théoi'ème suivant:
Théorème V. Si Von fait
dx
\px
(a — a)^y (px
on aura
t^m^\^ix^-\- f^m^xfjx^-^- • • • '\'e^m^\})x^
