yfc— 1) da

Si dans le théorème III on suppose le degré de (fx) moindre que celui de q)x diminué de deux unités, le second membre se réduit à une constante. Cela donne aisément le théorème qui suit:

Théorème VI. Si Von désigne par ifjx la fonction

(do + ôiX + diX^ + • • • + ôy'X^')dx

V/^O + fil« + fii^^ H h t^r^

OÙ v' = — ^ 1 si V est impair^ et y^ = -^ 2 si v est pair^ on aura

toujours

452 REMARQUES SUR QUELQUES PROPRIETES GENERALES etc.

(31) êimitpXi-\-€27n^tpx^'\' • • • -\- €^m^tpx^ = constante.

On voit que r a la même val em* pour y==:2m — 1 et pour y=:z2mj savoir

Soit maintenant

/rdœ

r étant une fonction rationnelle quelconque de x. Quelle que soit la forme de r, on pourra toujours faire

' l '^ I Ji*^ I I ./w^

ta

(32) r —fx-\- Ça:-a,y^ + (^- «,)*• ^ ^ (^ - ^

/x, /i-T, /gir, . . . f^x étant des fonctions entières. Cela posé, il est clair qu'en veitu des théorèmes III et V, on aura le suivant:

Théorème VII. Quelle que soit la fonction rationnelle r exprimée par la formule (32), en faisant

(33) rpx = r -= et <^^Vy^ + <^i^V^ ^ on aura toujours

:.,- (>^ log ...) .

en représentant par Fk le produit 1 . 2 . 3 . . . (fc — 1).

Nous avons considéré précédemment les quantités x^, Xj, . . . x^ comme des fonctions de a^ , «i , a^ , . . . Cq , Cj , Cj , ... Supposons maintenant qu'un certain nombre des quantités Xj, Xg, . . . a:^ soient données et regardées comme des variables indépendantes; et soient a^j, a:,, . . . a:^. ces quantités. Alors il faut déteiininer a©, aj, . . . Cq, c^, . . . de manière que le premier membre de l'équation (3) soit divisible par

REMARQUES SUR QUELQUES PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES etc. 453

{pu —"" «^l ) (2> "~— OC^) • • • (2/ — ~" •Cm')»

Gela ce fera à l'aide des équations (26). Les /t' premières équations, (35)

donneront ^' des quantités a© , «i , . . . c© , Cj , . . . exprimées en fonction rationnelle des autres et de a^i, a:,, . . . a:^, , y^Xj, y^^Ca, . . . y^x^.

Le nombre des indéterminées û^o j ^ ? • • • ^« ? <^o ? ^ ? • • • ^« ^* égal à m-[-w-|-2; donc, comme il est aisé de le voir par la forme des équations (35), on pourra faire fi' =^7n-\-n-\-l. Cela posé, en substituant les valeurs de ao, «1, . . . Cq, Cj, . . . dans les fonctions dx^ O^x^ • • •» 1^ fonction entière {dx^ip^x — {d^xy(p^x deviendra divisible par

\X '~~~ X^j \X """"■ X^f • • • \X — *^ii'/*

En désignant le quotient par i?, on aura

Donc les fi — fi' quantités ic^+i, ^c^'+a, • • • x^^ seront les racines d'une équation, J? = 0, du degré fi — ix\ dont tous les coefficiens sont exprimés

rationnellement par les quantités a:^, x^^ x^^ . . . x^,^ Y^ii mP^? • • •

Faisons

^/«,+l ^1 1 ^^,+2 iCg ^ . . . X^, X

(37) ^ V^^iH-V^2H hv^A..— W — V^^/ V'V

où î; est une expression algébrique et logarithmique. Les quantités Xj, a;,,

454 REMARQUES SUR QUELQUES PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES etc.

. . . £c^^; Xi% x^^ . . . x^l sont des quantités variables quelconques, et yi^y^j . . . ^y/ seront déterminables à l'aide d'une équation du degré v\

Maintenant nous veiTons qu'on pourra toujours rendre y' indépendant du nombre //i-}"/^» ^^^ fonctions données. En effet, cherchons la plus petite valeur de v\ En supposant indétcnninées toutes les quantités ao , a^ , . . . Tq , Ca, . . ., il est clair que /t sera égal à Tun des deux nombres 2n-\-ri et 2m-(-î^8, Vi et y 2 représentant les degrés des fonctions (fiXy ip^x. Soit par exemple

on doit avoir en même temps

^ = ou > 2m -\- i/g , d'où, en ajoutant, on tire

^ = ou > m-^y^-[^- g ';

or

y' = jLi — fj/ =ifi — m — n — 1, donc

1/'= ou > --^— 1, ou bien, en désignant le degré de (px par y^

(38) v'z=ou>y — 1.

On voit par là que la plus petite valeur de y' est — ^— ou -^ — 1, selon

que y est impaii; ou pair. Donc cette valeur est indépendante du nombre fii-^-fi^ des fonctions données; elle est précisément la même que le nombre total des coefficiens c^oj ^n ^«5 • • • dans le sixième théorème. On aura maintenant ce théorème:

-p^j oh r est une fonction rationnelle

quelconque de Xj et tpx une fonction entière du degré 2 y — 1 ou 2y, et soient x^ x^^ . . . x^^^ ce/, x/j . . . x^J des variables données. Cela posé^ quel que soit le nombre fi^ -\- fx^ des variables^ on pourra toujours trouver^ au moyen dune équation algébrique^ y — 1 quantités y^ , y» , . . . y^^i telles que

REMARQUES SUR QUELQUES PROPRIETES GENERALES otc. 455

V étant algébrique et logarithmique^ et f , , ^\ . i , ê,.i égaux h -\-\ ou

On peut ajouter que les fonctions 2/1, ^/a, . . . yy-t restent les mêmes, quelle que soit la forme de la fonction rationnelle r, et que la fonction v ne change pas de valeur en ajoutant à r une fonction entière quelconque du degré v — 2.

Les équations (35) qui déterminent les quantités a^, «i, . . . c,, Cj, . . . deviendront

(40) ^ dxgV^'ia:, = d,a;5,)/y,a;,, ^x/f^^ = — dia;,'yyj<, Pour déterminer e^, «j, , . . Cy i, on aura lés équations

^yiYv^i =— «1^1 yy»2/i,

%-l y<;Piyv-l = — fy-l^iyy-l ^(piUr-l '

Les fonctions y^^ y^, . . . yy i sont les racines de l'équation

(42) — (^</y ' (Ti!/ — i^i!/)* • (M Q

^ (y— •'^JCy— «2)---(y — ^//,)(y— V)(y— V)---(y— -«A..')

Le degré de la fonction dy est n = ^^'~^'''J *'', et celui de O^y est

La formule (39) a lieu si plusieurs des quantités a^i, Xg, . . . x/, X2j . . . sont égales entre elles, mais dans ce cas les équations (40) ne suffisent plus pour déterminer les quantités «o , ai , . . . r^o , Cj , . . , ; car si j)ar exemple x^ = X2=^ ' * ' =Xf,^ les k premières des équations (40) deviendront identiques. Pouf^ avoir les équations nécessaires dans ce cas, posons pour abréger

456 REMARQUES SUR QUELQUES PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES etc.

L'expression y—— — ^r^: doit avoir une valeur finie en faisant x = Xj^. On en déduit, d'après les principes du calcul différentiel, les k équations (43) lx, = 0, l'x^ = 0^ X"x, = Oj . . . X<'-'>x, = 0,

et ce sont elles qu'il faut substituer à la place des équations

Xxi = Oj Xx, = 0, . . . XXf, = Oy dans le cas où iCi = a?, = • • • = aî^^ .