PREMIER DONNÉ
Joumal fUr dio reine und angewandta Mathomatik, heransgegobou von Orelle, Bd. 8, Berlin 1828.
Soit pour abréger (1) //* = (! — a;*)(l — cV),' J'* = {l — i/){l — c'Y)
et supposons qu'on satisfasse à l'équation différentielle
(e,\ dy dx
en y substituant pour y une fonction rationnelle de x de la fonne
OÙ 2n-]-l est un nombre premier, et oh l'un au moins des coefficiens -4jj„+i et -fîgn+i €ist différent de zéro. En supposant, ce qui est permis, la fraction
précédente réduite à sa plus simple expression, nous dirons que — se transforme en a- Y par la substitution d'une fonction du degré 2/i-|-l.
Il s'agit maintenant de trouver toutes les valeurs différentes de y qui répondent à la même valeur de 2 n -|- 1 . Si l'on fait
... w Ç dx , Lo* Ç ^ dx
458 suit LE NOMBRE DES TUANSFORMATIONS DIFFERENTES etc.
et qu on désigne par X0 une fonction de d, telle que
dd = —j pour x = k6j et en outre
il suit innnédiatenient de ce que j'ai dit sur le problème général de la transformation des fonctions elliptiques dans le n® 138 du journal d'astronomie de M. Schumacker*)^ qu'on satisfei'a de la manière la plus générale à l'équa-
tion — ^ z=za~—. dans le cas où 52„+i = 0, en prenant
a =— - ^ [Aa.A(2a) . . . k{na)Y^ oïl « est une quantité de la fonne
m et m' étant deux entiers. Maintenant, ayant trouvé cette solution, il suit
encore de la fomiulc (51) du mémoire cité que toutes les autres valeurs de
y seront de la forme ^]£--î y étant donné par (5), f\ f^ g^ g' étant
des quantités constantes qui doivent satisfaire à l'équation
Cette équation donne vingt-quatre systèmes de valeurs différentes. On ti^ouve ainsi qu'à chaque valeur de a répondent 24 valeurs de y et douze valeurs du module c. Mais connue les valeurs de y sont deux à deux égales, mais de signes contraires, nous n'en compterons que douze. Par la même raison nous réduirons le nombre des valeurs de c^ à six. Cela posé, si l'on fait pour abréger:
*) Mémoire XIX do cette cdition.
SUR LE NOMBRE DES TRANSFORMATIONS DIFFERENTES etc.
on trouvera aisément ces valeurs coiTespondantes des trois quantités c', a, y:
1 — et\«
1 + et
et
a=±f T<y^ ±-|^(l + .)V, T-|;(l-*rt, ±^;(l + *^-)%T-,^(l-«trt,
dp e V
e V dp l + € v + ôp 1 — e t? + (îp 1 -\- ei v + âpi 1 — €i v + dpi
dent au premier cas, savoir c =b^ et y = — • -
lu n^> 1 — € V -\' ôp l-\- € V + dp 1 — €1 V -\' ôpi 1 -\- ei v ^ dpi de p V
(où ^z=yI^ï).
On voit qu'à chaque valeur de c' correspondent deux valeurs différentes de la fonction y. Maintenant si Ton attribue aux nombres m et m' des valeurs entières quelconques, on aura toutes les solutions possibles de notre problème. Or panni ces solutions il n'y aura qu'un nombre fini qui soient différentes entre elles. Cherchons d'abord les solutions différentes qui répon-
Pour les trouv^er, soit
a une valeur de a et désignons les valeurs correspondantes de y? i^y ^S <h € par i/\ 2^1 ^'î ^^ 1 ^' GiA^ posé, il est évident que si i/ doit être égal à + V, ^^n doit avoir
p =ip^ V =v, -^- = ±-.
Or en vertu de l'équation (8) on ne pouira avoir p' ==i>7 à moins que les quantités il* a. À* (2 a), . . . A*(na) ne soient, quoique dans un ordre différent, égales à celles-ci:
À'a', A'(2a'), . . . A'(na').
Soit donc
où jx est moindre que n. On en tire Xa' =,±l{fia)^ d'où, en vertu du théorème II du n® 138 du journal d'astronomie,
460 SUR LE NOMBRE DES TRANSFORMATIONS DIFFÉRENTES etc.
où k et /c' désignent des nombres entiers quelconques. Cela donne
et puisque A[ô -(- (2 w-(- !)«]=: Àd, et que 2n-\-\ est un nombre premier, il s'ensuit que
Donc les solutions qui répondent à a et a' sont précisément égales entre elles.
Soit d'abord m' = 0 en sorte que a=,i — -,--.- - Si Ton fait fc'=0, et qu'on détermine les nombres îc et a de manière à satisfaire à Féquation
- 2n+r"~ 2n+l ' on aura
mco
On voit par là que la solution qui répond à a= ^y —y est la même que
celle qui répond à a=,^ FT' ^^^^ ^^^^ '^^^* ^"
Supposons maintenant m' différent de zéro, on aura
Si Ton détermine les deux nombres entiers ft et k' par l'équation
et k par celle-ci:
où y est ' positif et moindre que -2 7i-\-l^ on aura
