W' + VU
' On voit par là, que pour obtenir toutes les valeurs différentes de v et p, il suffit de donner à a les valeurs:
SUR LE NOMBRE DES TRANSFORMATIONS DIFFERENTES etc. 461
Or toutes les solutions ainsi obtenues seront eflfectivenient diflférentes entre elles; car si Ton attribue à a et à a^ deux valeurs différentes de la série (10), il est clair qu'on ne pourra satisfaire à Téquation
a' = hœ -[- W(d' ± fia^
qui exprime une condition nécessaire de l'identité des deux solutions qui répondent à a et à a\
Donc le nombre des solutions différentes qui répondent à y = —>^ est
2n-\-2. Maintenant si Ton attribue à a toutes les valeurs (10), les formules (9) donneront 12(2w-}-2) solutions, et il est évident que toutes les 12(2?î-}-2) valeurs correspondantes de y seront nécessairement différentes enti'e elles. Cependant il ne répond à ces 24(r2-f-l) solutions que 12{n-\-l) valeurs du module. Il faut observer que la conclusion précédente n'a pas Heu pour le cas particulier oh n=:0. En effet, dans ce cas y n'aura que douze valeurs différentes, car les deux valeurs a=:£o, a = (o\ auxquelles dans ce cas se réduisent les quantités (10), donnei'ont pour y une même valeur, savoir y = x. Il faut remarquer également que le module c ne doit
pas avoir les valeurs zéro ou un. Dans ces cas la fonction / - n'est plus
une fonction elliptique, mais cii'culaire ou logarithmique.
On pourra mettre les huit dernières valeurs de y (9) sous une autre forme qui est à quelques égards plus élégante. En effet on pourra démontrer qu'on a
v — âp = {l—x.y'c){l — 2k,xyii-^c.x^){l — 2k^xy~c-\-cx^) . . .
v-(ypy-i = {l-xy-c){l-2Jc,'xY-c^cx'){l^2k,'x]/--c-cx^)...
, . . {1^2k,'xy^~c-'cx').
En changeant le signe de ic, on aura des expressions semblables pour
V -^ dp et 2; -(- dp ^— î. Les (quantités fcj , fcj , fcj , . . . /c„ sont données par la formule
On a pareillement
J{G) désignant la quantité
462 SUR LE NOMBRE DES TRANSFORMATIONS DIFFERENTES etc.
Donc le numérateur et le dénominateur de la fraction (3), qui exprime la valeur de y, se trouvent décomposés en facteurs dans tous les cas.
Dans le cas où le module c est moindre que l'unité, les équations (9), nous font voir que généralement les modules des transformées sont imaginaires, excepté ceux qui répondent à
10 , . to' — co
2n-\-l zn-\-l
et en même temps à Tune des solutions I, II, III, IV. Il n'y a donc que huit modules réels. Si Ton ne désire que ceux qui sont moindres que l'unité, on n'en aura que quatre. Cependant il pourra arriver, c ayant des valeurs particulières, qu'un plus gi'and nombre des modules transformés soient réels. Je ferai voir dans une autre occasion, comment on pourra trouver toutes ces valeurs particulières. Pour le moment je ferai connaître une manière d'exprimer toutes les valeurs du module c' à l'aide de produits infinis.
Si c est moindre que l'unité, co sera une quantité réelle, (o^ au contraire sera imaginaire; car on a
Jo ^ ^ ^ Ji y(.r^-l)(l-c*;r*)
c'est-à-dire que, si l'on fait
OÎl
on aura
co' = a> -|- â> y — 1 ,
a? étant une quantité réelle comme co. Cela posé, les 2n-\-2 valeurs de a
deviendront :
10 (î){-\-co éDi-|- (2w-|- l)c(j
2n+i ' 27r+r' " ' ' 2rr+T
A la place de ces valeurs on pourra aussi mettre celles-ci:
10 Oi G){-{-2(0 (di-\-4io 0i-{'in(o
oh t = Y—i.
SUR LE NOMBRE DES TRANSFORMATIONS DIFFÉRENTES etc. 463
En faisant c=l, « = 7- (formule 189 t. II, p. 177*), et mettant ensuite hœ et hua au lieu de eo et cD, et enfin a ==1 & dU on trouvera
ld=:fa^ et la fommle donnera après quelques réductions faciles,
(12) .« = ^.. V,} . ,i„ ( » « ) . [i--^'"!" f4^4 [±^'t!l'iï'^l*] - ,
y«'^ 1» ) [l-2,.oo.(-^?.l) + î'][l-2î'co.(-'i») + ,']...
o où qz=e '^'^ .
Pour calculer la valeur de « d'après Téquation (8), il suffit de chercher
les valeurs de A -^--f"»)? ^r^H"^^p • • • ^t -^--}-^^ ^^^ moyen de la formule précédente, et de les multiplier ensuite entre elles. Si Ton fait d'abord « = 7^ — r-^ on trouvera aisément
Zn-Y- 1
De même si Ton fait
et si l'on pose pour abréger
on parviendra à cette formule:
[ l + d^-j*-*! l + (dÇ.2«»+\) j
Donc on voit que pour avoir toutes les valeurs de «, il suffit de substituer dans l'expression
w- ll + q* 1 + 3* ! + <?«" Y
2to— 1
au lieu de q, les 2n-{-2 valeurs 3*»+^ 2^»+', (î^ 2'"+"', (TJ g^^+S . . . (^î'^j^'^+S 1, (^1, fTJ, . . . étant les racines de l'équation (^^""'^^ = 1. Deux seulement
•) Voyez p. 347 do cette édition.
464 SUR LK NOMBRE DES TRATSFORMATIOMS DIFFERENTES etc.
des valeurs de e sont réelles, savoir celles qui répondent à la substitution
de 2*""^* et 2*""*"S c'est-à-dire à
a = -.^ — r~.- et a=t
Il suit encore des fomiules précédentes que toutes les 2n-|-2 valeurs de € sont nécessairement diiférentes entre elles, excepté peut-être pour certaines valeurs paiticulières du module c. Ayant trouvé les valeurs de a, on aura celles du module c' à Taide des équations (9). Il est à remarquer que
l'expression (15) est précisément la valeur de yc, comme on peut le voir
en faisant 0 = -^' Dans le cas où l'on suppose y de la foniie — - ? le
module c' sera égal à «* d'après les formules (9), donc Yc' = €. Par conséquent dans ce cas le module c se changera successivement dans toutes les valeurs du module c', si l'on remplace dans la formule
(16) rc=^.y,.{T4-Hi
8n-fl 2i»-|-l «n+l^ in^l
q par q'-'^ V^, â.^q, âl\q, . . . âl'Yq.
Ce théorème s'accorde parfaitement avec le théorème énoncé par M. Jacohi dans le tome IIL p. 193 de ce journal. Seulement à l'endroit cité
la fonction de q^ qui exprime la valeur de ^c, est présentée sous une autre forme. Donc on trouverait immédiatement le théorème de ce géomètre, si l'on pouvait parvenir à démontrer l'identité des deux fonctions
(M\ Va (^-±l! ^ + g^ y q' + q' + q'+---
On pouiTa encore démontrer qu'on aura les 27^-l-2 valeurs de c', en mettant dans la fommle
ïii+l lln4-l S»-fl 2ii-f-l
les quantités r*"+*, y?", (^iVr, ô\y r ^ . . . âl^Yr, au lieu de r, la lettre r
ai jj
désignant la quantité e ^ . Cette quantité est liée à q par l'équation
log(|).log(|) = ^*.
SUR LE NOMBRE DES TRANSFORMATIONS DIFFERENTES etc.
Pour avoir la valeur du coefficient a il faut connaitre celle de ô (8). Or on pourra la déduire aisément de la formule (12), en y faisant d = a^ 2a, . . . wa. On trouve de cette manière que les valeurs de â qui répondent respectivement à
co
ai C)i-{-2co
sont égales à celles que prend l'expression
Bn+l 2n+l 2n^l 2n-\-l
en y substituant au lieu de q les valeurs 2*""*"^ Vî? ^M^î? ^iVî) • • • ^TYç.-
xxm.
THEOREME GENERAL SUR LA TRANSFORMATION DES FONCTIONS ELLIP- TIQUES DE LA SECONDE ET DE LA TROISIÈME ESPÈCE.
Joarnal fUr dio roine und angewandto Mathematik, lieransgogeben von CrtUe, Bd. 3, Berlin 1828.
Si une intégrale algébrique f(y^x)=iO satisfait à réquation
dij ' dœ
on aura toujours
oh -4, B^ n sont des quantités données, A'^ B\ m^ k -des quantités constantes, fonctions des premières, et /> une certaine fonction algébrique de y et x. Il est très remarquable que les paramètres m et n sont liés entre eux par la même équation que ?/ et x, savoir y(7/i,n) = 0. Dans le cas où n est infini, le premier membre deviendra seulement une fonction de la seconde espèce, et dans ce cas on pourra démontrer que
où V est une fonction algébrique des variables x et y.
Au reste il est aisé de démontrer la fonnule (a). Il n'y a qu'à différentier l'équation
/(Lr r dij
par rapport au module c. Je me réserve de donner dans un autre mémoire des développemens plus étendus sur le théorème ci-dessus.
Journal fOr die reine iind ange-vrandte Matbematik, herausgegeben von CreUe, Bd. 4, Berlin 1829.
Dans le second tome de ce journal j'ai donné plusieurs formules pour le développement des fonctions cpa^ fa^ Fa^ dans le cas oîi les modules e et c sont réels. Il sera facile d'en déduire des formules analogues pour le cas où e^ est une quantité négative, comme nous allons voir.
Soit pour plus de simplicité c = 1. Cela posé, si l'on fait (1) À«=/(-^— 5«), où b= ^
