ji -- yï-R
on trouvera aisément, par la définition de la fonction /, qu'on a
dx
en faisant
x = Xa et c =
Vi +
Donc le module c est plus petit que l'unité, et comme on a b = Y^ — ^^? ^ sera son complément.
On trouvera aussi
(Oïl eue y I dd
2 J^ V(l—œ^)ll — c^x^) Jo yi — c«sin««
a j f dœ j r dd
Si Ton fait
(4) x^a = \i—Va, X''a = yï^^^ï^~a, on aura encore
(5) ^« = 9(2 — iaj, ra = ii^(y — iaj, et en faisant
de
on a, en vertn de (3)
(7) -'i = -ï' ai = ha}\ m = hm'.
Considérons maintenant d'abord la formule (185) p. 176*), qui donne la valeur de fa. Pour en déduire celle de la fonction iL«, il suffit de
mettre ^ ha à la place de a. Faisons donc « = ^ hB^ et posons pour
abréger,
Oji ta'
alors la fonnule (185) donne sur le champ
^'^ "~ • V" (1 + r«-+»)* -i- (çr- — ^-1 »•-+»)« ' OÙ
Or on a
(1 ,.»-+!)« (çr" — (>-' r"+')* = (1 — (»V*") (1 — (»-» ;•*-+*)
(1 j r«-+»)* -f- ((,r- — (*-*»•-+•)« = (1 -j- pV»-) (1 -f- (.-* r»"+»),
par conséquent l'expression de kd deviendra, en développant,
Avec la même facilité on tirera des deux formules (184) et (186), en y faisant o = -ô ^^>
*) p. 346 de cette édition.
(m l'R — A' 1^ (l-ç*r)(l-ç-sr)(l-ç^r3)(l-e-*r»)^
nn va— A" .1^- (l + g» r) (l + g-' r) (l + g»r») (1 + g-V») . ■ ■
^ ^ «/—A • 1+y (i+g«»-«)(i+g-M)(i + g='»-*)(i+g-=îr*).r.
où 4', A" sont donnés par les formules
(13) yi"=r
On pourra trouver pour J., A'^ A" d'autres expressions beaucoup plus simples et qui donneront des fonnules ti*ès remarquables.
Si l'on fait, dans la fonnule (9), ^ = -^ -[--jj-z', on aura
donc en substituant,
c'est-à-dire, en vertu de la fonnule (8'),
d'où
En faisant, dans Texpression de X'6^ Oz=z-^ -X- - i^ on a
donc
C 'Il — ri — T^
d'où Von tire, en vertu de Téquation (12),
Enfin si Ton fait dans la formule (11) ô=z -? on trouvera
donc
h=.4A"yr[\+:^.\±^;,-..f=4A''yr.A%
et par suite
En comparant ces valeurs de A^ A\ A" à celles données plus haut, on en déduira ces formules:
-jL^ * 1 [-75 "1 | ^5
(15) >/-, -y^-l'-- i-vi,:»-ï:r7.6'--'
dont l'une est une siiite des deux autres.
Si dans l'expression de Xd on fait 6 = 0, après avoir divisé les deux membres par
et qu'on remarque que ==1, pour 6 = 0^ on obtiendra
De là on tire, en substituant la valeur de yc:
^8^ l/^(l+r)(l-r«)(l + r»)(l-r^)... K^°) V yp — (1 y) (1 + r*) (1 — r») (1"+ r*) . . ;
A l'aide des formules (16, 14, 18) il est facile de trouver l'expression des produits infinis
En effet, si l'on fait pour abréger
( P = (l + r)(l + r')(l+r«)..., (P'=(l+0(l + r^)(l+r«)..., et qu'on ait égard à la formule
les fonnules (14, 16) donneront sur le champ
yc----p-^, 1/6 = 1/2. Vr.-^, d'où Ton tire
(-20) i'=h.fe. i" = ï^!^-.î--
On connait donc les produits P et P\ En les multipliant entre eux, il viendra
V2c,Vr
De même la formule (18) donne, en substituant les valeurs de P, P',
et de là:
formule due à «M. Jacohi (Tome IIJ. p. 193, oîi ce géomèrtre en présente plusieurs autres très remarquables et très élégantes).
Des fommles démontrées précédenunent on peut aisément en tirer un grand nombre d'autres. En voici quelques unes des plus remarquables.
Si l'on fait pour abréger
on aura
/o^N J <"' \ 2 *, ■ . l—2q»C0B2x-\-q* 1 — 2«*co8 2.F + a»
(24) A(-x) = ^^: . Vg . sin X . r-2rco8 2x^13» ' F^Tg- 3^2^+76
(2M rl-^x]-2l/^'.^</ cosx ^-^''>A2'α?M±Vco8 2^ + î»
^ ^ l ^^ / 1 — 2qco&2x-{-q' 1 — 2^^co82^ + î
Ces fomiules ont été déduites respectivement des fonnules (11, 10, 9), en changeant c en 6, et en faisant ensuite
En comparant ces valeurs à celles que M. Jacobi a données pour les mêmes fonctions à l'endroit cité, on pai'viendra à des résultats remarquables. Ainsi, en faisant dans la formule (3) de M. Jacobi^ h=^c^ on aura
1 + 2 q Qov>2 X -^-2 q^ QQ^^x -\-2 q^ ces 6^+ • • • . . , 1 — 2q(io%2x-\-2q^ iio^^x — 2q^ cosG.c-j- • • •
(l + 27C08 2.t'4-y»)(l + 2<y«co82a? + gg)(l + 2g^co82a; + iy^Q)... ~ (ï — 2^' C08 2 ^+7')(1 — 2^* C08 2.T + ^«)7ï— ~2^^"co8 2a? + ^^^^^
formule qui doit avoir lieu pour des .valeurs quelconques réelles de ic et g^, en supposant q moindre que l'unité.
En prenant les logarithmes des valeui's de >L — x\ etc., on trouvera après quelques réductions faciles:
(28) logÂJ'^-xJ = log2 — ^logc— l-^;7r + logsina:
+ 2 cos 2x- . r— r h 4- cos Ax . r-y-ô + \ cos &x . ^, — = +•••]»
(29) logÀ' ^x =log2-|--^log6 — |logc — ^-^,rr-j-logcosa;
+ 2 (cos 2a;. j-^+ J co8 4x.-j-|-^,-|- J cos6». j--^^ -f-
(30) logr(^x)==ilogi + 4(cos2a;.j-^-^-, + ico.s6x.j^^,+
En faisant a: = 0, on trouvera:
(31) •iog(A)^8.(3--i-, + i,^-:?.' +i.î:S-o+---
(32) log(^) = ^-^,-:.-21og2 + 4(^-^--i.^-^--, + ^j|'^3
En posant dans les fonnulea (206) et (207) t. II, p. 180*): a = l— —, on
trouvera les expressions suivantes:
(33) l\—x\ = — ^ . V<7 . 1 sin a: . z. \- sin 3x . :r--—^ 4- sin 5x . :r-^ — -. -A —
^ ^ \ 7C . I CIO ' ^ \ 1 — q ^ 1 — q^ ^ 1 — ^'-^ '
(34) i'j-^;^^x) = ^^V2.(cosa:.j-^^ + cos3x.j-^-, + cos5^.jp|^^^^
Ces foraiules sont peut-être les plus simples qu'on puisse trouver pour exprimer les fonctions elliptiques en quantités connues.
Voici encore deux autres formules qu'on déduira des équations (204)
et (205) t. II, p. 179*), en y faisant a = -^ œx:
Cû}'
(36) rK.)=-^f ■+.Ç--^^li^+'-'l±4?- . . .)
r désignant la même chose que précédemment.
Il est à remarquer que les quantités r et q sont liées entre elles par l'équation :
(37) log r . log q = .T^
A l'aide des expressions des modules c et 6 données plus haut, on pourra trouver une relation générale entre les modules de deux fonctions elliptiques qui sont réductibles l'une à l'autre. En effet on pourra démontrer, conmie je l'ai fait dans un des derniers numéros des „Astronomische Nachrichten" **) , qi^e si deux fonctions elliptiques réelles
*) p. 350 de cette édition.
**) Mémoire XX do cette édition.
dont les modules c et c sont moindres que l'unité, sont réductibles Tune à Vautre à Taide d'une relation algébrique entre sinO et sind', on peut trouver deux nombres entiers m et 72, tels que Féquation
yi— Z-'^sin^é»
n de n de
soit satisfaite; 6' est le complément de r/, savoir 6'=ryi — cf^.
Si cette condition est remplie, on pourra toujours déterminer sînô' algéhriqicement en sind de sorte que
oh a est un coefficient constant.
Cela posé, désignons par co", a)", r', q' les valeurs de œ\ a)', r, q qui répondent au module c\ on aura en vertu de la fonnule (14)
r' étant égal k e ^' ' . Mais l'équation (39) donne
donc
c'est-à-dire que
Donc on a ce théorème:
Une fonction elliptique réelle étant proposée, si son module c est donné par la formule:
on aura le module de toute autre fonction elliptique réelle, réductible à la
première, en mettant au lieu de r la puissance r", où n et m sont deux nombres entiers et positifs quelconques; autrement dit, on aura, en désignant par c' le module de la nouvelle fonction.
En faisant
on aura encore la formule suivante:
(44) i^ = ri . (r*) - ■ 'i'-; ■ i+-'-.; ■ '-^Ç. ■■■■
Dans le cas particulier où le module c est Y\, on a a)' = (o', donc
De là il suit que le module c de toute fonction elliptique réelle, qui est ré-
r do
ductible à la fonction / , > est donné par la formule:
JoVl — i.sin^d ^
où a est un nombre rationnel quelconque.
D'ailleurs, dans ce cas c pourra toujours être exprimé en termes finLs à Taide de radicaux.
Si Ton suppose i' = c, on a c' = i, a)^' = G>\ m" = œ] mais
donc
De là nous concluons:
Si deux fonctions elliptiques réelles dont les modules sont complémens l'un de l'autre, sont réductibles entre elles, le module sera donné par la fonnule :
(4G) yc =
et son complément h par celle-ci:
(47) yî = -^
oh u est un nombre rationnel quelconque. Nous ajouterons qu'on a en même temps
f48) F{h,6') = kfii.F{c,e),
où k est un autre nombre rationnel. Cela donne înmiédiatement le théorème suivant : '
Si l'équation différentielle (49) ^^^--,- = a. ^
Va — By* + C'y* VA+Bx*-\- 6'.r*
est intégrable algébriquement, il faut nécessairement que le coefficient a soit égal à la racine carrée dHun nombre rationnel et positifs en supposant que les quantités A^ B^ (7, a soient réelles ; et si rx est de cette forme, on poun-a trouver une infinité de valeurs convenables pour A^ 5, C.
Nous tenninerons ces remarques par la démonstration d'une formule curieuse, qu'on tire de la première des équations (20), savoir de la formule
(l + r)(l+r»)(l+r')...=y2.,^^. " En y changeant c en 6, i se changera en c, et r en ç, donc:
Vbc En comparant ces formules, on voit que l'équation
(50) J;:-(i+^-)(i+^^)(i+0 • • • = 2^(i+îz)(i+2^)(i+î^) ....
a lieu toutes les fois que les quantités r et q sont moindres que l'unité et liées entre elles par l'équation
logr . logg = 71*.
Il existe un gi^and nombre de relations semblables entre q et r^ par exemple la suivante:
qui est due à M. Cauchy (Exercices de mathématiques). On pourra la déduire de la formule
donnée par M. Jacohi^ en y changeant c en h.
