ALGÉBRIQUEMENT

Journal filr die reine und angewandto Mathcinatik, herausgegeben von Crelle, Bd. 4, Berlin 1829.

Quoique la résolution algébrique des équations ne soit pas possible ^n général, il y a néanmoins des équations particulières de tous les degrés qui admettent une telle résolution. Telles sont par exemple les équations de la forme x" — 1 = 0. La résolution de ces équations est fondée sur certaines relations qui existent entre les racines. J'ai cherché à généraliser cette méthode en supposant que deux racines d'une équation donnée soient tellement liées entre elles, qu'on puisse exprimer rationnellement Tune par l'autre, et je suis parvenu à ce résultat, qu'une telle équation peut toujours êti-e résolue à l'aide d'un certain nombre d'équations moins élevées. Il y a même des cas où l'on peut résoudre algébriquement l'équation donnée elle-même. Cela arrive par exemple toutes les fois que, l'équation donnée étant in'éductible, son degré est un nombre premier. La même chose a encore lieu si toutes les racines d'une équation peuvent être exprimées par

x, Ôx, Ô*.^, Ô^x, . . . Ô"~^ic, où Ô*'x = ic,

Ox étant une fonction rationnelle de a-, et d*ic, ô'a;, . . . des fonctions de la même forme que Ox^ prise deux fois, trois fois, etc.

L'équation *— — - = 0, où n est un nombre premier, est dans ce cas;

car en désignant par a une racine primitive pour le module n, on peut, comme on sait, exprimer les n — 1 racines par

MÉMOIKE SUR UNE CLASSE PARTICULIERE D'ÉQUATIONS etc. 479

•fy^ X^X^QumtttX . Ou 2C ■ ■ ■ JT'm

c'est-à-dire, en faisant x^^^Ox^ par

X, Ox^ e^x, e^x, . . . ô"-'ic, où e''-'x=x.

La même propriété appartient à une certaine classe d'équations à laquelle je suis parvenu par la théorie des fonctions elliptiques.

En général j'ai démontré le théorème suivant:

„Si les rachies d'une équation d'un degré quelconque sont liées entre elles de telle sorte, que toutes ces racines puissent être exprimées rationnellement au moyen de Tiuie d'elles, que nous désignerons par :r; si de plus, en désignant par Ox^ O^x deux autres racines quelconques, on a

ee^x = e^ex,

l'équation dont il s'agit sera toujours résoluble algébriquement. De même, si l'on suppose Téquation irréductible, et son degré exprimé par

cil • CC^ • • • • CCo) j

où «1, «2 7 • • • «eu sont des nombres premiers différens, on pourra ramener la résolution de cette équation à celle de y^ équations du degré «i, de v^ équations du degré «g, de y^ équations du degré «3 etc."

Aprè.s avoir exposé cette théorie en général, je l'appliquerai aux fonctions circulaires et elliptiques.

Nous allons d'abord considérer le cas où l'on suppose que deux racines d'une équation irréductible*) soient liées tellement entre elles, que l'une puisse être exprimée rationnellement par Vautre.

Soit (1) (px=0

une équation du degré //, et x' et x^ les deux racines qui sont liées entreelles par l'équation

*) Une équation rprizO, dont les coefficiens sont des fonctions rationnelles d'un certain nombre de quantités connues «, l^, Cj . . . s'appelle irréductible, lorsqu'il est impossible d'exprimer' aucune de ses racines par une équation moins élevée, dont les coefficiens soient également des fonctions rationnelles de a, />>, c . . . .

480 HÉMOIKE SUR UNE CLASSE PARTICULIERE D'ÉQUATIONS etc.

(2) x' = dx^^

oîi Ox désigne une fonction rationnelle de x et de quantités connues. La quantité x' étant racine de l'équation, on aura y(a:') = 0, et en vertu de l'équation (2)

(3) 9)(dxi) = 0.

Je dis maintenant que cette équation aura encore lieu, si au lieu de x^ on met une autre racine quelconque de Téquation proposée. On a eflFectivement le théorème suivant*).

Théorème I. „Si une des racines d'une équation irréductible (px:=0 satisfait à une autre équation fx = Oy oh fx désigne une fonction rationnelle de iP et des quantités connues qu'on suppose contenues dans (px ; cette dernière équation sera encore satisfaite en mettant au lieu de x une racine quelconque de l'équation yx = 0."

Or le premier membre de l'équation (3) est mie fonction rationnelle de Xj donc on aura

(4) (p{^0x) = Oy si (px = Oy

c'est-à-dire que si x est une racine de l'équation (px = 0^ la quantité dx le sera également.

Maintenant, d'après ce qui précède, Oxi est racine de l'équation (fx = 0^ donc ddxi le sera aussi; OOOx^^ etc. le senmt également, en répétant l'opération désignée par 0 un nombre quelconque de fois.

*) Ce théorème se démontre aisément comme il suit:

Quelle que soit la fonction rationnelle fx, on peut toujours faire /.f=i ? où M et

N sont des fonctions entières de x, qui n'ont pas de facteur commun; mais une fonction entière de x peut toujours être mise sous la forme P-\-Q.(fXy oix P et Q sont des fonctions entières, telles que le degré de P soit moindre que celui de la

fonction y.c. En faisant donc 3/=:P+ Q-fjT»^? en aura fx = —''^r Cela posé, soit

xi la racine de (px=:0 qui satisfait en même temps k fxz=0] x^ sera également ime racine de Féquation P=i 0. Or si P n'est pas zéro pour une valeur quelconque de Xy cette équation donnera x^ comme racine d'une équation d'un degré moindre que celui de qrwcizO, ce qui est contre l'hypothèse; donc PrzO et par suite

fx zn (fxT^ j d'où l'on voit que fx sera égal k zéro en même temps que epx c. q. f. d.

MÉMOIKE SUR UNB CLASSE PARTICULIÈRE D'ÉQUATIONS etc. 481

Soit pour abréger

eex, = 0^x,] e0^d\ = 0^xr, ee^x^=:e^x, etc.,

on aura une série de quantités,

qui toutes seront des racines de l'équation tpx = 0. La . série (5) aura une infinité de termes; mais l'équation (px = 0 n'ayant qu'un nombre fini de racines difïérentes, il faut que plusieurs quantités de la série (5) soient égales entre elles.

Supposons donc

OU bien

en remarquant que d'''^'*Xi = 0'*0'^Xi,

Le premier membre de l'équation (6) est une fonction rationnelle de O'^x^'^ or cette quantité est une racine de l'équation (px = Oj donc en vertu du théorème énoncé plus haut, on pourra mettre x^ au lieu de d'^Xj^. Cela donne

oh Ton peut supposer que n ait la plus petite valeur possible, de sorte que toutes les quantités

(8) a^i, 0Xi^ d^Xi, . . . e^'-^x,

soient dififérentes entre elles, •

L'équation (7) donnera

0'0''x^ = e'xij ou d«+*a:i = ô*a:i.

Cette formule fait voir qu'à partir du terme ©""^a^i, les termes de la suite (8) se reproduiront dans le même ordre. Les n quantités (8) seront donc les seules de la série (5) qui soient différentes entre elles.

Cela posé, si ju>n^ soit x^ une autre racine de l'équation proposée, qui n'est pas contenue dans la suite (8), il suit du théorème I que toutes les quantités

I «7 I Xa n Cr Xq m \J Xvi , • . • " Uy^ , • • .

seront également des racines de l'équation proposée. Or je dis que cette

482 MÉMOIKE SUR UNE CLASSE PARTICULIERE D'ÉQUATIONS etr.

suite ne contiendra que n quantités différentes entre elles et des quantité,s (8), En effet, ayant O'^Xj, — Xj = 0, on- aura en vertu du théorème 1, 0''x^ = x^^ et par suite

Donc les seules quantités de la série (9) qui puissent être différentes entre elles, seront les n premières

(10) X,, 0x^, ÔVg, . . . «"-'x,.

Or celles-ci seront nécessairement différentes entre elles et des quantités (8). En effet, si Ton avait

oh m et y sont moindres que w, il en résulterait d'"Xj = d*'Xi, ce qui est impossible, car toutes les quantités (8) sont différentes entre elles. Si au contraire on avait

il en résulterait

donc

c'est-à-dire que la racine x^ serait contenue dans la série (8), ce qui est conti-e rhypothèse.

Le nombre des racines contenues dans (8) et (10) est 2n, donc /li sera ou égal à 2w, ou plus gi'and que ce nombre.

Soit dans le dernier cas x^ une racine différente des racines* (8) et (10), on aura une nouvelle série de racines

et l'on démontrera, précisément de la mênie manière, que les n premières de , ces racines sont différentes entre elles et des racines (8) et (10).

En continuant ce procédé jusqu'à ce que toutes les racines de l'équation (px = 0 soient épuisées, on verra que les ju racines de cette équation seront partagées en plusieurs groupes, composés de n termes; donc /i sera divisible par w, et en nommant m le nombre des groupes, on aura

Les racines elles-mêmes seront

MÉMOIRE SUR UNE CLASSE PARTICULIERE D'ÉQUATIONS etc. 483

•(>| m Cr aZ/i • Cr X^ • • • • Cf X^ m

•A/a ■ V Xa 7* V JUa ••••(/ «C/y ■

(12) { a^,, da^, d'x^, . . . d—^o:,,

\ *^m J "*^m 7 " '^m 7 • • • " Sî^ni •

8î w=l, on aui'a n = jn.^ et les ,«^ racines de l'équation (px = 0 seront exprimées par

(13) X,, ex,, e^x,, . . . d^-'a^i.

Dans ce cas l'équation q)x = 0 est résoluble algébriquement, comme on le verra 4ans la suite. Mais la même chose n'aura pas toujours lieu lorsque m est plus grand que l'unité. On pourra seulement réduire la résolution de réquation (px = 0 k celle d'une équation du n'^' degré, dont les coefiîeiens dépendront d'une équation du w'*"** degré; c'est ce que nous allons démontrer dans le paragi^aphe suivant.

Considérons un quelconque des groupes (12), par exemple le premier, et faisons

( {x - a;.) (x - ex,) {x - d'x,) . . . (x - d'-'x;)

les racines de cette équation seront

et les coefficiens -4/, ^/', . . . A^,^ seront des fonctions rationnelles et symétriques de ces quantités. Nous allons voir qu'on peut faire dépendre la détermination de ces coefficiens de la résolution d'une seule équation du degré m.

Pour le montrer, considérons en général une fonction quelconque rationnelle et symétrique de Xj, Ox^ O^x,, . . . O^'^^x,^ et soit

(15) y.=f(x,, ex,, e'x,, . . . e--'x,)

cette fonction.

En mettant au lieu de x^ successivement i^à, ^Tg, . . . ir,„, la fonction y,

1^1 MKMOIRE SUR UNE CLASSE PARTICULlÈttE D'EQUATIONS etc.

prcMulra tu valeurs différentes, que noiw désiguerous par ^,, y,, y,, ... y.. Cela porté, si Ton forme une «luation du degré jn:

dont les racines soient ?/i, j/j, y,, . . . y., je dl< que les coefficiens de cette Aiuatîon poumnit être exprimés nitionuellement par les quantités connues, qu'on suppose contenues dait** ri^juatî*»n pn»p*»>ée.

Les quantités #x,, tf'j",, . - . 0*~'Xi étant des fonctions rationnelles de Xij la fonction ifi le sera étralvu^/Tit- Si»ît

(17) ( nous aurons Ji':s>î

En mettant d..r,> : -v -J^r: - 1^>' successivement Ox^, tf'x^, tf'a-^, • . . #"~V^ au Tk-u :. -• . -î ^" remarquant que e''x^ = x^, d^^'x^^Ox^, O^^^x =z0^x 1%:. * -« *< < .x> jUe la fonction i/^ ne change pas de valeur;

on aura <l«'ni'

De mênu'

Orne

.^ 1^^.^ . vluiauo membre de ces équations à la r puissance, on

. • z.. ^ [(Fx,)- + {Fex.Y H 1- (FÔ'^'x,)'],

•■ ï II •- ^

./:.= l '[{Fx,Y-{-{FdxJ''+ . • • -{-{Fe-'x,)"]. t:» ajoutjuit ces dentières W|uations, on aura la valeur de

yï + yî + yîH ^-y'

MÉMOIRE SUR UNE CLASSE PARTICULIÈRE D'ÉQUATIONS etc. 485

exprimée en fonction rationnelle et symétrique de toutes les racines de Téquation ya: = 0, savoir:

(19) .f^^rf^J^f^J^ \.yl = ^2{Fxy.

Le second membre de cette équation peut être exprimé rationnellement par les coefficiens de (px et Ox^ c'est-à-dire par des quantités connues. Donc en faisant

(20) r, = yï + ?/$ + 2/$H hy«>

on aura la valeur ' de r^ , pour une valeur quelconque entière de v. Or, connaissant r^^ r^^ . . . r^^ on en pourra tirer rationnellement la valeur de toute fonction symétrique des quantités y^^ y^^ ' ' ' y^' ^^ pourra donc trouver de cette manière tous les coefficiens de Téquation (16), et par conséquent déterminer toute fonction rationnelle et symétrique de x^^ Oxij O^x^^ . . . d"~^Xi à Taide d'une équation du m'*"* degré. Donc on aura de cette manière les coefficiens de l'équation (14), dont la résolution donnera ensuite la valeur de x^ etc.

On voit par là qu'on peut ramener la résolution de l'équation ç)x' = 0, qui est du degré ^ = m . 7^, à celle d'un certain nombre d'équations du degré m et n. Il suffit même, comme nous allons voir, de résoudre une seule équation du degré m^ et m équations du degré n.

Soit xpXi l'un quelconque des coefficiens -4/, ^/, . . , ^f*^; faisons

(21) ty=yl'fx^-{'yl'fX2-\-yl*f^s'\ hy^V^^«-

Puisque y\\px^ est une fonction symétrique des quantités a:^, dx^^ . . . d"~*a;^, on aura, en remarquant que O^'x^^^x^^ d''^^x^-=Ox^ etc.

y\\px^=(Fxy .iiJx^=z{Fexy .xpex^= . . . ={id''-'^xy .xpe^'-^x^^

donc:

y\xpx,=-\'.[{Fxyxp^x^^{Fdxy^ex^^ \^{Fe^-''xyxp6--'x;\.

On aura de semblables expressions pour y^y^x^^ ylV^^s^ • • • yliV^^mi ^^

mettant Xg , 0:3 , . . . a:„ à la place de x^ . En substituant ces valeurs, on

voit que ty deviendra une fonction rationnelle et symétrique de toutes les racines de l'équation (px = 0. En effet, on aura

(22) t, = ^-2iFxyfx.

486 MÉMOIRE SUU UNE CLASSE PARTICULIÈRE D'EQUATIONS etc.

Donc on peut exprimer /,. rationnellement par des quantités connues.

Cela pose?, en faisant r=0, 1, 2, 3, . . . w — 1, la formule (21) don nera

On tirera aisément de ces équations, linéaires par rapport à tpx^ , \px^ ? • • ipx^^ les valeurs de ces quantités en fonction rationnelle de 7/i, //g, //g, . . • ?/„. En efiet, en faisant

(23) iv—!h){y—!h) . . . (y — y«)

on aura

^ ^ ^ ^ ~ i^o + Ayi + 5,:y î + • • • + i2.-2.vT-^ + .yr^ '

Les quantités i?o , i^ » • • • ^C-a sont des fonctions rationnelles de y^ , 3^3? ^4 7 • • • ^m? niais on peut les exprimer par y^ seul. En effet, en multipliant Téquation (23) par y — y^^ on aura

d'oii l'oa tirei'a, en comparant les puissances égales de y:

(25) ( K.*= Vi K-z +;'3 = y\ -\-piy\ -\-Ptyi +b » •

^0 =yr'+ihyi''+p,yr'^ |-2^«-i-

En substituant ces valeurs, Texpression de \px^ deviendra une fonction rationnelle de yi et de quantités connues, et Ton voit qu'il est toujours possible de trouver \px^ de cette manière, à condition que le dénominateur

MÉMOIRE SUR UNE CLASSE PARTICULIÈRE D'ÉQUATIONS ete. 487

ne sera pas zéro. Or on peut donner à la fonction y^ une infinité de formes qui rendront impossible cette ^ équation. Par exemple en faisant

où a est une indéterminée, le dénominateur dont il s'agit ne peut pas s'évanouir. En effet ce dénominateur étant la même chose que

(yi — ^i) (^1 — 3/s) . . . (yi—iin),

on aurait, dans le cas où il était nul,

c'est-à-dire

(« — Xi) (a — 6x^ . . . (« — d"~^iCi) = (a — Xj) {a — OXf) ... (a — d''~^Xf,)j

ce qui est impossible, car toutes les racines x^^ Oxij O^x^^ . . . O^^^x^ sont différentes de celles-ci: ic*, Oxj,^ O^^ui • • • ^""^^fc-

Les coefficiens A/, il/', . . . -4^*^ peuvent donc s'exprimer rationnellement par une même fonction y^ , dont la détennination dépend d'une équation du degré m.

Les racines de l'équation (14) sont

En rempla<;ant dans les coefficiens -4/, ^/ etc. y^ par ^a, ^3, . . • y^i on obtiendra m — 1 autres équations, dont les racines seront respectivement :

Xa , Cr X<a > • • • Cr Xa a

U^3 5 v U^3 , . . . Cr it'3 ,

X Bx O^'^r

Théorhne IL L'équation proposée yic = 0 peut donc être décomposée en m équations du degré n, dont les coefficiens sont respectivement des fonctions rationnelles d'une même racine d'une seule équation du degré m.

Cette dernière équation n'est pas généralement résoluble algébriquement quand elle passe le quatrième degré, mais l'équation (14) et les autres semblables le sont toujours, en supposant connus les coefficiens -4/, -4/ etc., comme nous le veiTons dans le paragraphe suivant.

488 MÉMOIKE SUR UN£ CLASSE PARTICULIERE D'ÉQUATIONS etc.

Daiifî le paragraphe prëcécleiit nous avons considéré le cas oîi ni est plus grand que Tunité. Maintenant nous allons nous occuper du cas où m=l. Dans ce cas on aura fi = nj et les racines de l'équation (px = 0 seront

Je dis que toute équation dont les racines peuvent être exprimées de cette manière est résoluble algébriquement.

Soit a une racine quelconque de l'équation «^ — 1=0, et faisons

(28) tpx = {x + aex-}-a^e^x-\-a^e^x^ |-a^-^#'*-*a:)^

yjx sera une fonction rationnelle de x. Or cette fonction peut s'exprimer rationnellement par les coefficiens de (px et 0x. En mettant O'^x au lieu de te, on aura

tpe''x=^{0''x + a0''-^^x+' . '+a^'-'^e^x + a^-"'^'0^-^'x+ • • • +a^-'d'*+"-'a-)'*;

maintenant on a

0^x = x, 0f*^'x=0x, . . . d^+"*~'u; = d'— 'ir,

(a^-'"u: + a^-'"+'dx+ • • • + a^-'0''-'x + 0''x + a0"'-^'x+ • • • +« ^-"-' <>''"' a:) ^.

Or «^ = 1, donc

ipe''x = [af'-"'{x-{-a0X'\-a*0^x^ |-a^"'Ô^"'x)]^

= a^^^-'">(x + adx-j \-a!'-^0^''xY,

donc, puisque a^^^~"*^=l^ on voit que

ip0'"x = xpx.

En faisant w = 0, 1, 2, 3, . . . ,u — 1, et en ajoutant ensuite, on trouvera

(29) ipx = -^ {fx-\-xp0X'\'tp0^x-\ . -}-v^Ô^-V).

ipx sera donc une fonction rationnelle et symétrique de toutes les racines de Téquation ya: = 0, et par conséquent on pourra l'exprimer rationnellement par des quantités connues.

MÉMOIRE SUR UNE CLASSE PARTICULIÈRE D'ÉQUATIONS etc. 489

Soit \fjxz=v^ on tire de Téquation (28)

(30) yv=x^aex^a^e^x-\ \- a^"-^ 0 ^-' x .

Gela posé, désignons les fi racines de Téquation

«^ — 1 = 0 par

(31) 1, cfj, cfg, «5, ... a^i, et les valeurs correspondantes de v par

l'équation (30) donnera, en mettant à la place de a successivement 1, «i,

^S î ^3 7 • • • ^fi—1 •

\Vo =x-\- ex -\- e*x -| 1- d'*-'a;,

y^, =u;-|- «,da; -f aîd*a; -\ \-a>i-^e>*-'x,

fvt =x-\- a^Ox -\- a\e*x -| -f aJ-'Ô"-*»;,

IZ

l ^/v^.^=x ■^a^,ex -\-al,e*x+ ■ ■ ; -\-a;z\d''-'x. En ajoutant ces équations on aura

(34) x = j. [-A-\-h +y7, + fF,+ . . . -\-}f^,] ,

OÙ l'on a remplacé yî^, qui est une quantité constante, par — A.

On connaît par là la racine x. Généralement on trouve la racine O'^x en multipliant la première des équations (33) par 1, la seconde par af"', la troisième par a^'* etc., et en ajoutant; il viendra alors

(35) e''x=j[-A-\-ar.}/v,-\-a^''.y^,-\ h«;r-i-fci]-

Eu donnant à 7n les valeurs 0, 1, 2, ... /t — 1, on aura la valeur de tontes les racines de Téquation.

L'expression précédente des racines contient généralement /t — 1 radi-

eaux différens de la forme J^. Elle aura donc /t^~^ valeurs, tandis que la

490 MÉMOIRE 8Uli UNE CLASSE PARTICULIERE D'ÉQUATIONS ete.

racine de Féquation (px = 0 n'en a que /t. Mais on peut donner à l'expression des racines une autre forme, qui n'est pas sujette à cette difficulté.

En effet, lorsque la valeur de y^i est fixée, celle des autres radicaux le sera également, conmie nous allons le voir.

Quel que soit le nombre //, premier ou non, on peut toujours trouver une racine a de l'équation a'* — 1=0, telle que les racines

puissent être représentées par

Cela posé, on aura

I yv[ z= X -\- a . dx -\- a* e* X -\ [-«''-*. «""'x,

d'où l'on tire

tv\.{\v^Y-' = {x^a'ex-\-a^^e^x-^ \-a'^-'^'e^-'x)

Xix^adx^a^e^x^ \-af'-^e''''xY'\

Le second membre de cette équation est une fonction rationnelle de x^ qui ne changera pas de valeur en mettant au lieu de x une autre racine quelconque d'^x^ comme on le veiTa aisément, en faisant cette substitution et en ayant égard à l'équation O^^^x^i^O^x. En désignant donc la fonction dont il s'agit par yjx^ on aura

fâ /M

^^.{Y^iY-''=ipx=tpex=ipe*x= . . . =ipe^-^x,

d'oîi

(39) fv, . (Vy, )''-* = -- {fx 4- ipdx -f- yje*x -j 1- t/fd^-'x).

Le second membre de cette équation est une fonction rationnelle et symétrique des racines, donc on peut l'exprimer en quantités connues. En le désignant par a^., on aura

(40) fe(fe)''-* = «*, d'où

MEMOIRE SUR UNE CLASSE PARTICULIÈRE D'ÉQUATIONS etc. 491

A l'aide de cette formule l'expression de la racine x deviendra

(42) a,==i(-^ + fe + «^(fo*+^(fr;:)»+...+^T:i(y^).-j.

Cette expression de x n'a que /tt valeurs différentes, qu'on obtiendra en mettant au lieu de j/t;, les /i valeurs:

La méthode que nous avons suivie précédemment pour résoudre Téquation (px = 0 est au fond la même que celle dont s'est servi M. Gauss dans ses ^^Disquisitiones arithmeticae" art. 359 et suiv. pour résoudre une certaine classe d'équations, auxquelles il était parvenu dans ses recherches sur l'équation x" — 1 = 0. Ces équations ont la même propriété que notre équation ç)2:=z:0; savoir que toutes ses racines peuvent être représentées par

x, Ox^ O^x^ . . . 0'^~^x^

Ox étant une fonction rationnelle.

En vertu de ce qui précède nous pourrons énoncer le théorème suivant:

Théorème III. Si les racines d'une équation algébrique peuvent êti-e représentées par

x^ OXj O^Xj . . . O^'^^x^

oh df'x = x^ et où Ox désigne une fonction rationnelle de x et de quantités connues, cette équation sera toujours résoluble algébriquement.

On en tire le suivant, comme corollaire:

Théorhae IV. Si deux racines d'une équation irréductible^ dont le degré est un nombre prevnerj sont tellement liées entre elles, qu'on puisse exprimer l'une rationnellement par l'autre, cette équation sera résoluble algébriquement.

En effet cela suit immédiatement de l'équation (11)

car on doit avoir m = 1 , si /i est un nombre premier ; et par conséquent les racines s'expriment par ir, Ox^ d^x^ . . . 0^'~^x.

492 MÉMOIRE SUR UNE CLASSE PARTICULIÈRE D'ÉQUATIONS etc.

Dans le cas où toutes les quantités connues de (px et dx sont réelles^ les racines de l'équation ipx=zO jouiront d'une propriété remarquable, que nous allons démontrer.

Par ce qui précède on voit que a^i peut être exprimée rationnellement par les coefficiens de (px et Ox^ et par a. Donc si ces coefficiens sont réels, «^i doit avoir la forme

oh y — 1 n'entre qu'à cause de la quantité a,. qui en général est imaginaire, et qui généralement peut avoir la valeur

a = cos

+ |crî . sin fl"- .

En changeant donc dans a le signe de y— 1 et désignant par a'^^ la valeur correspondante de a^i, on aura

Or d'après la formule (40), il est évident que a'^, = a^,i; donc ft=:0 et

Donc a^i a toujours une valeur réelle. On démontrera de la même manière que

v^^=^c-{'d^ — 1 et î;^i=:c — d^ — 1,

oh c et cZ sont réels.

De là on tire

(44) v, = C'\-y^^.Y^iJ^^'7^,

et par suite ^i^ -^ c^ z=zd\ d'oh Ton voit que '^a^' — c* a toujours une valeur réelle.

Cela posé, on peut faire

(45) c={y^YiiOHd, y^"— r!'=(yp)"sinfT,

oh (> est une quantité positive.

On en tire

AIÉMOIKE SUR UNE CLASSE PARTICULIERE D'ÉQUATIONS etc. 493

c'est-à-dire :

par conséquent p sera ëgal à la valeur numérique de a. On voit en outre que a est toujours positif, si fi est un nombre impair.

Connaissant p et (^, on aura

v, = {f^Y. (cos J -j- jClï , sin ô) et par suite

fe=yp.[cos(^+|^-^)+V=n:.8in(^+i"^

En substituant cette valeur de ^v^ dans l'expression de x (42), elle pi'endra la fonne;

/.^ 1 r . . -.f- I d-\-2m7t , ,/ — z- . ô-\-2mjt

(47) a; = -[^— 4 + yp.|cos^E [ y i . «m -JI

+ (/+^y-l ) (cos^('^^^) + r-ï . sin ^(^-tA-))

+ (ir+ Gt ym ) y p . ( cos ^('^ + ^^") + y::^! . dn ^1±?!^) )

+c/;+^.y-~i) (cos^i^+^^^) + y--=â . sin^-^-^-t^))

oh (fj Aj fj ffy Fy G etc., sont des fonctions rationnelles de cos - ? sin —

fJr fJr

et des coefficiens de (px et da:^. On aura toutes les racines, en donnant à m les valeurs 0, 1, 2, 3, ... ^ — 1.

L'expression précédente de x fournit ce résultat:

Théorème V. Pour résoudre l'équation q)x = Oj il suffit:

1) de diviser la circonférence entière du cercle en // parties égales,

2) de diviser un angle â^ qu'on peut construire ensuite, en fi parties égales,

3) d'extraire la racine carrée d'une seule quantité p.

Ce théorème n'est que l'extension d'un tliéorème semblable, que M. Gauss donne sans démonstration dans l'ouvrage cité plus liant, art 3 GO.

Il est encore à i-emarquer que les racines de l'équation (px = 0 sont

494 MÉMOIRE SUR UNE CLASSE PARTICULIERE D'ÉQUATIONS etc.

OU toutes réelles ou toutes imaginaires. En effet si une racine x est réelle, les autres le sont également, comme le font voir les expressions

6x, e^x, . . . e^-'xy

qui ne contiennent que des quantités réelles. Si au contraire x est imaginaire, les autres racines le sont aussi, car si par exemple d'^x était réelle, d^'^{d'^x)=^d^x=zx^ le serait également, contre Thypothèse. Dans le premier cas a sera positif et dans le second négatif. Si ft est un nombre impair, toutes les racines seront réelles.

La méthode que nous avons donnée dans ce paragraphe, pour résoudre l'équation (px = Oj est applicable dans tous les cas, le nombre fi étant premier ou non; mais si fi est un nombre composé, il existe encore une autre méthode qui donne lieu à quelques simplifications et que nous allons exposer en peu de mots.

Soit /i = m.n^ les racines

Xj ex, e^x, . . . e^'-'x

pouiTont être groupées de la manière suivante:

ex, e^'^^x, e^^'-^'x, . . . d<"-^>"+^a:,

e*x, e^'^^x, d»-+*ar, . . . d<-^>'"+«a',

En faisant pour abréger:

( ^«7 1 X " X^ , \fX ■■ X^ • U X ■■ ■■- X^ ,•••(/ X ' CCu, ,

on peut écrire les racines comme il suit:

Z ) Xq 9 C/« Xq m C7 1 Xq • . • . C/ « «Z/a >

'^ ) ^mj ^l^m? ^l^m'i * > > ^\ X„ ,

Donc en vertu de ce qu'on a vu (§ 2) on peut décomposer l'équation (px=:Oj qui est du degré m.n, en m équations du degré 71, dont les coef-

MÉMOIRE SUR UNE CLASSE PARTICULIÈRE D'ÉQUATIONS etc. 495

ticîens dépendront d'une équation du degré m; Les racines de ces m équations seront respectivement les racines 1', 2', . . . m'.

Si n est un nombre composé mi^i, on peut décomposer de la même manière chacune des équationa du degré n en m^ équations du degré tîj, dont les coefficiens dépendront d'une équation du degré m^ . Si n^^ est encore un nombre composé, on peut continuer la décomposition de la même manière.

Théorhne VI, En général, si Ton suppose

(51) ^ = mj . wig . iTij . . . m„ ,

la résolution de Téquation proposée ç)a; = 0 sera ramenée à celle de n équations des degrés

Il suffit même de connaître une seule racine de chacune de ces équations, car si Ton connaît une racine de l'équation proposée, on aura toutes les autres racines, exprimées en fonctions rationnelles de celle-ci.

La méthode précédente est au fond la même que celle donnée par M. Gauss pour la réduction de l'équation à deux termes, a;'" — 1 = 0.

Pour faire voir plus clairement la décomposition précédente de l'équation ç)x = 0 en d'autres de degrés moins élevés, supposons par exemple ^ = 30 = 5.3.2.

Dans ce cas les racines seront

Nous formerons d'abord une équation du 6**"** degré, dont les racines seront

ic, Q'^x, e^'^x, e''x, e^'x, e^x.

Soit B=0 cette équation, on peut déterminer ses coefficiens, rationnellement, par une même quantité y, qui sera racine dune équation du cinquième degré: P=0.

Le degré de l'équation B = 0 étant lui-même un nombre composé, nous formerons une équation du 3'**"* degré: jKi = 0, dont les racines seront

et dont les coefficiens sont des fonctions rationnelles de y, et d'une même quantité z, qui est racine d'une équation du second degré Pi = 0, dans laquelle les coefficiens sont exprimés rationnellement par y.

496 UÉMOXKE SUK UNK CLASSE PARTICULIERE D'ÉQUATIONS etc.

Voici le tableau des opérations:

Ou peut aussi commeucer par uue équation du 2**** degré eu x^' ou bien par une équation du 5'^* degré.

Reprenons l'équation générale (f'X = {). En supposant /t = 7w./?, on peut faire

OÙ y est déterminé par une équation du m**^* degré:

dont tous les coefficiens sont exprimés rationnellement en quantités connues. Cela posé, soient

fi = vil . rn^ . 7/^3 . . . vi^

(54) . { et

plusieurs manières de décomposer le nombre ^ en deux facteurs, on pourra décomposer Téquation proposée (px = 0 en deux autres des w manières suivantes :

I i^i(x, yi) = 0, dont les racines seront x^ d'^'x, d^^'a:, . . . ^^"•-^^"•'a:

(1) I et les coefficiens des fonctions rationnelles d'une quantité y^^ ray cine d'une équation yiyi = 0, du degré m^.

F^{x^yi) = Oj dont les racines seront x, O'^-Xy d*'"*^:, . . . ^('•«-^^'"tx

(2) l et les coefficiens des fonctions rationnelles d'une même quantité ^g, racine d'une équation f^y^z=zOj du degré m^.

F^{x,y,,) = 0, dont les racines seront x, O^'^'x, «""'"ir, . . . ^^"'''-'^"«a: (a>) \ et les coefficiens des fonctions rationnelles d'une même quantité y^y racine d'une équation f^oya) = ^f du degré in^.

Supposons maintenant que m^^ m^^ . . . ii\^ pris deux à deux, soient premiers entre eux, je dis qu'on pouri'a exprimer la valeur de x rationnelle-

MÉMOIRE SUR UNE CLASSE PARTICULIERE D'ÉQUATIONS etc. 497

ment par les quantités ^i, ^2, ^s? • • • ^w En effet, si m|, m^, . . . tw^ sont premiers entre eux, il est clair qu'il n'y a qu'une seule racine qui satisfasse à la fois à toutes les équations

savoir la racine x. Donc, suivant un théorème connu, on peut exprimer x rationnellement par les coefiiciens de ces équations et conséquemment par les quantités y^, y^^ . . . y^.

La résolution de l'équation proposée est donc ramenée à celle de a> équations: ^1^1 = 0; ^^ 2/2 = 0; . . , /^^y^^ = 0^ qui sont respectivement des degrés: w^, m^, . . . w^, et dont les coefiiciens sont des fonctions rationnelles des coefiiciens de (px et dx.

Si l'on veut que les équations

(56) /ii/i = 0, /,y, = 0, . . ./^y„ = 0

soient les moins élevées possibles, il faut choisir in^^ m^^ . . . m^^ tels, que ces nombres soient des puissances de nombres premiei-s. Par exemple si l'équation proposée yx=0 est du degré

(57) ^z=6Î' .6^» . . . e\ oîi «1, fg? • • • ^a> sont des nombres premiers diiférens, on aura

(58) Wi = €Ï', W2 = f;«, . . . m^=^B[

Tj'équation proposée étant résoluble algébriquement, les équations (56) le seront aussi; car les racines de ces équations sont des fonctions rationnelles de x. On peut aisément les résoudre de la manière suivante.

La quantité y est une fonction rationnelle et symétrique des racines de l'équation (52), c'est-à-dire de

(59) ce, e^'x, e^^'x, . . . e^''-'^"'x.

Soit

(60) y=Fx=f{x, e^'x, e^^'x, . , . e^^'-'^'^x),

les racines de l'équation (53) seront

(61) Fx-, F{ex)', F{e'x); . . . F{e^-'x)',

or je dis que l'on peut exprimer ces racines de la manière suivante:

(62) y, ky, l'y, . . . X^-'y,

'tu 5

•ta '

498 MÉMOIRE SUR UNK CLASSE PARTICULIÈRE D'ÉQUATIONS etc.

OÙ hj est une fonction rationnelle de y et de quantités connues. On aura

(63) F{ex)=f[ex, e{e''j:), #(^*«.c), . . . #(«<»-^>-x)i,

donc F(Ox) sera, ainsi que Fx^ une fonction rationnelle et symétrique des racines x, ^""x, . . . 6^*'~'^^'^x^ donc on peut, par le procédé trouvé (24) exprimer F{dx) rationnellement par Fx. Soit donc

F6x=iXFx = Xy^

on aura, en rempla(;ant (en vertu du théorème I) x par Ox^ O^x^ . . . O'^^^x^

FO'x = iFOx = l'y, FO'x = kFe'x = l'y,

Fe^'-'x = xFd'^-^x = r-'y,

Maintenant les racines de l'équation (53) pouvant être représentées par

on peut résoudre algébriquement cette équation de la même manière que l'équation (px = 0. (Voyez le théorème III).

8i m est une puissance d'un nombre premier, 7/i = e*", on peut encore déterminer y à l'aide de r équations du degré e. (Voyez le théorème VI).

Si dans le théorème VI on suppose que fi soit une puissance de 2, on aura, comme corollaire, le théorème suivant:

Tfiéorènie VII. Si les racines d'une équation du degré 2*^ peuvent être représentées par

ic, dxj d^x^ . . . d^"'~^Xy où ^***'iC = X,

cette équation pourra être résolue à l'aide de l'extraction de ai racines carrées.

Ce théorème, appliqué à Téquation - - = 0 , où 1 -}- 2 *** est un

nombre premier, donne le théorème de M. Gauss pour le cercle.

MEMOIRE SUR UNE CLASSE PARTICULIÈRE D'ÉQUATIONS etc. 499

Des équatiojis dont toutes les racines peuvent être exprimées rationnellement par

Vune â! entre elles.

Nous avons vu précédemment (théorème III) qu'une équation d'un degré quelconque, dont les racines peuvent être exprimées par

X, Ox^ e^x^ . . . e^-'x

est toujours résoluble algébriquement. Dans ce cas toutes les racines sont exprimées rationnellement par Tune d'entre elles; mais une équation dont les racines ont cette propriété, n'est pas toujours résoluble algébriquement; néanmoins, hors le cas considéré . précédemment, il y a encore un autre, dans lequel cela a lieu. On aura le théorème suivant: .

Théorème VIII. Soit ;fa: = 0 une équation algébrique quelconque dont toutes les racines peuvent être exprimées rationnellement par Tune d'entre elles, que nous désignerons par x. Soient Ox et d^x deux autres racines quelconques, l'équation proposée sera résoluble algébriquement, si l'on a

ee^x=d^ex.

La démonstration de ce théorème peut être réduite sur le champ à la théorie exposée § 2, comme nous allons le voir.

Si l'on connaît la racine x^ on en aura en même temps toutes les autres; il suffit donc de chercher la valeur de x.

Si l'équation

n'est pas in-éductible, soit

(65) <px — 0

l'équation la moins élevée à laquelle puisse satisfaire la racine x^ les coefficiens de cette équation ne contenant que des quantités connues. Alors les racines de l'équation (px = 0 se trouveront parmi celles de l'équation /aî=0 (voyez le premier théorème), et par .conséquent elles pourront s'exprimer rationnellement par l'une d'entre elles.

Cela posé, soit 6x une racine différente de a: ; en vertu de ce qu'on a vu dans le premier paragi'aphe, les racines de l'équation (px=:0 poun-ont être exprimées comme il suit:

ÔOU MÉMOIRE SUR UNE CLASSE PARTICULIÈRE DËQUATIONS etc.

•Z/J m %f X^ m Vf X^ m • • ■ C7 X-t m

et en formant Téquation

dont les racines sont Xj Oxj O^Xj . . . d""*x, les coefficiens A'^ ^'', . . . A^"^ pourront être exprimés rationnellement par une même quantité y, qui sera racine d'une équation in-éductible*) :

(67) r-hPiy'-'-hM"-*-] hi>-iy+p-=o,

dont les coefficiens sont des quantités connues (voyez § 2).

La détermination de x peut s'effectuer à l'aide des deux équations (60) et (67). La première de ces équations est résoluble algébriquement, en supposant connus les coefficiens, c'est-à-dire la quantité y (voyez le théorème III). Quant à l'équation en ?/, nous allons démontrer que ses racines ont la même propriété que celles de l'équation proposée (px = Oj savoir d'être exprimables rationnellement par l'une d'entre elles.

La quantité y est (voy. 15) une certaine fimction rationnelle et symétrique des racines x^ Ox^ d^Xj . . . d'^'^x. En faisant

y=/(x, ex, e'x, . .. e^-'x),

les auti'es racines de l'équation (67) seront

(68) < yi=/(^i, ox,, e'x,, . . . e^-'x,),

J/m—l J\^m—lJ ^^m— 1 î ^ X^i , , . , U X„i) .

*) On démontrera aisément que cette équation ne pourra être réductible. Soit 5 = 0 Féquatîon irréductible en y, et v son dogré. En éliminant y, on aura une équation en X du degré wv; donc Jiv^fi. Mais on a

donc

ce qui est impossible, car v est moindre que in.

MÉMOIRE SUS UNE CLASSE PARTICULIERE D'ÉQUATIONS etc. 501

Maintenant, dans le cas que nous considérons, x^, ... x^^ sont des fonctions rationnelles de la racine x. Faisons par conséquent

les racines de l'équation (67) auront la forme:

D'après l'hypothèse les fonctions 0 et d^ ont la propriété que

ee^x = e^dx,

équation qui, en veitu du théorème I, aura lieu en substituant à la place de X une autre racine quelconque de l'équation ^x = 0. On en tire successivement

e^e^x = ee^ex = e^e^x, e'e.x = ee.e'x = e.d^x,

L'expression de y^ deviendra par là

y^~f{e,x, e^ox, e^e^x, . . . e^e^'-'x),

et Ton voit que ^i, comme y, est une fonction rationnelle et symétrique des racines

X , WX , Vf X ,•••{/ aC •

Donc (§ 2) on peut exprimer y^ rationnellement par y et des quantités connues. Le même raisonnement s'applique à toute autre racine de l'équation (67).

Soient maintenant Ay, X^y deux racines quelconques, je dis qu'on aura'

En effet, ayant par exemple

Ay=/(^,cc, ee^x, . . . e^-^e^x),

si

y=f{x, Ox, .. . d'-'x),

on aura, en mettant $^x au lieu de x,

xy,=/{eidtx, ee^e^x, . . . e'-^e^e^x),

où

502 MÉMOIRE SUR UNE CLASSE PARTICULIÈRE D'ÉQUATIONS etc.

donc

et également

XiX7j=/{d^e,x, ee^e^x, . . . e^'-^e^e^x),

donc, puisque d^6^x=id^6^x^

Xl,y = X^Xy.

Les racines de l'équation (67) auront donc précisément la même propriété que celles de l'équation (px=zQ.

Cela posé, on peut appliquer à l'équation (G 7) le même procédé qu'à l'équation ç)x = 0; c'est-à-dire que la détermination de y peut s'effectuer à l'aide de deux équations, dont l'une sera résoluble algébriquement et l'auti'e aura la propriété de l'équation (px = 0. Donc le même procédé peut encore être appliqué à cette dernière équation. En continuant, il est clair que la détermination de x poun*a s'eflfectuer à Taide d'un ceitain nombre d'équations, qui seront toutes résolubles algébriquement. Donc enfin l'équation (px = 0 sera résoluble à l'aide d'opérations algébriques, en sup])osant connues les quantités qui avec x composent les fonctions

(fX^ dX^ ôlXj d^Xy . . . O^^iX.

H est clair que le degré de chacune des équations auxquelles se réduit la détermination de Xj sera un facteur du nombre fi qui marque le degré de l'équation q)x = 0'y et:

Tfiéorhne IX. Si l'on désigne les degrés de ces équations respectivement par

on aura

fiz=.n,ny^,ii^y . . . n^^.

En rapprochant ce qui précède de ce qui a été exposé (§ 3), on aura le théorème suivant:

Théorhnè X. En supposant le degré fi de l'équation (px = 0 décomposé comme il suit:

(69) /i = «ï'.fî«.fï- . . . e:%

où êi , êg , f 3 , . . . f „ sont des nombres premiers, la détermination de x pourra s'effectuer à l'aide de la résolution de v^ équations du degré f, , de r, équa-

MÉMOIRE SUR UNE CLASSE PARTICULIÈRE D ÉQUATIONS otc. 503

tîons du degré c^, etc., et toutes ces équations seront résolubles algébriquement.

Dans le cas où ^ = 2'', on peut trouver la valeur de u: à Taide de l'extraction de v racines carrées.

Application aux foncdcnis circuLaires,

2/r En désignant par a la quantité — ? on sait qu'on peut trouver une

équation algébrique du degré fx dont les racines seront les jji quantités

cosa, cos2a, cos3a, . . . cos/na^ et dont les coefficiens seront des nombres rationnels. Cette équation sera

(70) x'^^i,ux>'-' + ^^^''^^-x''-^-..-=0.

Nous allons voir que cette équation a la même propriété que Téquation ;fx = 0, considérée dans le paragraphe précédent.

Soit cosa = a:, on aura d'après une formule connue, quel que soit a,

(71) cos 7na = 0 (cos a) ,

oîi 0 désigne une fonction entière. Donc cos ma, qui exprime une racine quelconque de l'équation (70), sera une fonction rationnelle de la racine x. Soit d^x une autre racine, ]e dis qu'on aura

ed^x = e,dx.

En effet, soit O^x^^ cos m^a^ la formule (71) donnera, en mettant m'a au lieu de a,

cos (mm' a) = 0 (cos m'a) = dO^x.

De la même manière on aura

cos {rama) = 6^ (cos ma) = O^Oxj donc

ee^x=e,ex.

Donc, suivant ce qu'on a vu dans le paragraphe précédent,

X ou cos a = cos —

pourra être déterminé algébriquement. Cela est connu.

504 MÉMOIRE SUR UNE CLA88E PARTICULIERE D^EQUATIONS etc.

Supposons maintenant que ft soit un nombre, premier 2n-[-lj 1^ racines de réquation (70) seront

2/r A7t 4ti7c ^

COS rt -, i î COS ,c , . 7 • • • COS ,. —^ 1 COSZ7I.

La dernière racine cos27r est égale à Tunité; donc l'équation (70) est divisible par X — 1. Les autres racines seront toujous égales entre elles par

couples, car on a cos,^--. . -zzzcos^— ' -, - — » donc on peut trouver une équation dont les racines seront,

/^G%\ 2/r 4/r 2ii7f

Cette équation sera

(73) izî" + i a:"-' — j (n ~ l)a:"-* — H^^ — 2)^""'

-ri 6 iT2~ ' ^^ iT2 —

Cela posé, soit

cos -^- , . =x = C08a,

on aura d'après ce qui précède

cos ^^ — , ^ = c'x = cos i/ia.

L'équation (73) sera donc satirfaite par les racines

(74) X, ex, e^x, e'x, . . .

On a, quelle que soit la valeur de a,

6 (cos a) = cos ma.

De là on tire successivement:

6 ^ (cos a) = d (cos ?/i rt) = cos in * a ,

#*(cos a) = 0 (cos 77i*a) = cos m^a.

^''(cos a) = d(cus 711'""^ a) = cos ?/i^a.

Les racines (74) deviendront donc (75) cos a, cos ma, cosm^a, cosm^a, . . . cos/ri^'a, . . .

MÉMOIKE SUR UNE CLASSE PARTICULIERE D'ÉQUATIONS etc. 505

Cela posé, si m est une racine primitive pour le module 2n-j-l (voyez Gauss Disquis. arithm. art. 57), je dis que toutes les racines

(76) cosa, cosTwa, cos7/i*a, . . . cos m"~^a

seront différentes entre elles. En effet si Ton avait

cos 7/i -"a = cos m^a, oh fi Qt V sont moindres que w, on en tirerait

oh k est entier. Cela donne, en remettant pour a sa valeur ,z — r-j-^

donc

to" = ± m" + ifc(2 w + 1) ,

ffî'' :f îre" = 7n''(m''-'' q: 1) = ^(2» + 1)

et par conséquent rn}^^"^^ — 1 serait divisible par 2n-}-l, ce qui est impossible, car 2(/t — v) est moindre que 2n^ et nous avons supposé que m est une racine primitive.

On aura encore

cosm**» = cosa,

car 7/i*" — 1 ou (m** — l)(m'*-[-l) est divisible par 2n-\-\^ donc

et par suite

cos m"a = cos ( — a -|- fc . 2 Ti) = cos a.

Par là on voit que les n racines de l'équation (73) pourront s'exprimer par (76); c'est-à-dire par:

X, ex, e^x, e^x, . . . e^'-'x, où e''x=x.

Donc, en vertu du théorème III, cette équation sera résoluble algébriquement.

En faisant n = mi.m2 . . . w^^, on peut diviser la circonférence entière du cercle en 2n-{-l parties égales, à l'aide de œ équations des degrés m^ , 7/is., 7/I3, . . . m^. Si les nombres 7/ii, m^, . . . m^ sont premiers entre eux, les coeffîciens de ces équations seront des nombres rationnels.

En supposant ^=2*^, on aura le théorème connu sur les polygones réguliers qui peuvent être construits géométriquement.

En vertu da théorème V on voit que pour diviser la circonférence enr tière du cercle en 2n-\-l parties égales, il suffit •

où a = cos \-\ — 1 . sin — • En substituant pour x^ 6x^ . . . leurs va-

506 MÉMOmE SUR UNE CLASSE PARTIpULlÈKË D'ÉQUATIONS etc.

1) de diviser la circonférence entière du cercle en 2n parties égales,

2) de diviser un arc, qu'on peut construire ensuite, en 2n parties égales,

3) et d'extraire la racine carrée d'une seule quantité p.

M. Gauss a énoncé ce théorème dans ses Disquis., et il ajoute que la quantité dont il faut extraire la racine, sera égale à 2n-|-l. C'est ce qu'on peut démontrer aisément connue il suit.

On a vu (40, 38, 46) que p est la valeur numérique de la quantité

\- y — 1 . sm —

leurs cosa, cos ma^ cosw^a, ... on aura

±p = (cosa-|- a cos ma -|- «*cos//i*a -j- . . . -[-«""^cosm^^^a) X (cosa -}- a **~^ cos Tna-j- a""* cos m* a -f- • • • -}-acosm"~*a).

En développant et en mettant ± p sous la forme

on trouvera facilement

<^=zzcosa.cosw^a-f-cosma.cos7/i^'*^^a-|- • • • -[-cosm"~^~^a.cosm"~*a -j-cos?7i**~'^a.cosa-|-cos?/i'*~^''^'a.cosma-j- • • • -|-cosm*~^a.cosw'*~^a.

Maintenant on a

cos m^a . cos m^'^^a = ^ cos (?/i^"*'*'a -|- m^a) -|- ^ cos {m^'^''a — w^o) , donc

<^ = -J-[cos(m^-j- l)a-f-cos(w^-|" 1)^^^"!" ' ' * -f-cos(m'"-f- l)w""^a] -f- 4" [cos (m'* — l)a-{--cos(?w^— l)ma-|- • • • -j-cos(m'' — l)w"~^a].

Si l'on fait (w^-j- l)a = a', (m*" — l)a=:a", on aura

<^ = ^[cosa' +d(cosa') -f d*(cosa ) -\ |-d'^*(cosa')]

+ |[cosa"-f d(cosa")+é?*(cosa'')-j f-d"-*(cosa")].

Cela posé, il y a deux cas, savoir: fi est diflférent de zéro ou non.

Dans le premier cas il est clair que cosa' et cosa" sont des racines de l'équation (73), donc cosa' = d^x, cosa"=d*a;. En substituant, il viendra, en remarquant que d"cc = x:

MÉMOIRE SUR UNE CLASSE PARTICULIÈRE D'ÉQUATIONS etc. 507

donc

t^^=x-{'ex-{-é^x^ [-d''-'x,

c'est-à-dire que f^ est égal à la somme des racines; par suite, en vertu de réquation (73),

Dans le cas oîi ,a=:0, la valeur dé t^ deviendra:

tQ = \(cos2a-\-cos2ma-^ • • • -f-cos2m""~^a)-j--J^72;

or cos2a est une racine de Téquation (73), donc en faisant

cos2a = Ô^Xj on aura

coa2a-\-oo&27na-\- • • • -f-cos27w"~^a

par conséquent •

'o = i^* — i- En vertu de ces valeurs de t^ et t^ , la valeur de ± p deviendra :

mais a-|-a*-j- a* -[-••• -f- a**"^ = — 1 , donc

±(f = i^ + ij et puisque p est essentiellement positif,

Cette valeur de p donne

donc la racine carrée qu'il faut extraire est celle du nombre 2n-|-l, comme le dit M. Gauss*).

Christiania, le 29 mars 1828.

*) Dans le cas où n est un nombre impair, on peut même se dispenser de Fextraction de cette racine carrée.

Journal fur die reine und angcwandte Matliomatik, horaus^cfi^ebcn von Crelle, Bd. 4, Berlin 1829.

La fonimle donnée par M. Jqcohi dans le tome III p. 80 de ce journal peut être établie facilement à l'aide d'un théorème que nous allons démontrer dans ce qui suit.

En faisant (p6 = jr^ on aura, en vertu de ce qu'on a vu dans le § III du mémoire n® 12 tcmie II de ce journal*)

(1) (p{2n-]-l)Ô = Ii,

oh R est une fonction rationnelle de x^ le numérateur étant du degré (2??-|-l^' et le dénominateur du degi'é {2n\'Vf — L L'é([uation (1) est donc du degré (2n'\-\y et ses racines peuvent être exprimées par la formule:

en donnant à m et a toutes les valeui-s entières depuis zéro jusqu'à 2n. Soit pour abréger

l'expression des racines sera

(4) x=^(f{6 -^ma-^ fifl).

*) Mémoire XVI de cette édition.

Cela posé, nous allons démontrer le théorème suivant:

Théorème I. Soit \f)6 une fonction entière quelconque des quantités (p{6 -\- ma -^ f.i(ï) qui reste la même en changeant 0 en O-^-a et en 6-\'p. Soit 1^ le plus grand exposant de la quantité (p6 dan? la fonction tpO^ on aura toujours

(5) xije=p-\-q.f{2n-]-l)d.F(2n-]-l)6,

2? et 2 étant deux fonctions entières de ç)(2n-|-l)d, la première du degré V et la seconde du degré v — 2.

Démonstration. En vertu de la formule (10) tome JI p. 105*) on a

d'où il suit qu'on pourra exprimer \f)0 rationnellement en (pO et fO .F6. Or le carré de fO.Fd est rationnel en (p6^ car

donc on pourra faire en sorte que l'expression de ifj6 ne contienne la quantité fO.Fd qu'à la première puissance. On pourra donc faire

(7) yje = xp,{ipe)-\-xp,{ipe).fd.Fe,

OÙ ipi{(p9) et ipi{^p6) sont des fonctions rationnelles dé (p6.

Si l'on met o) — 6 à la place de 6^ on aura, en remarquant que (p{œ — e) = (pe, fUo — e)=—fd, F{œ — 6) = F6:

(8) %p{œ — 6) = ^p,{(p9) — if'2{(pO) ./e . Fe. Des équatioiiis (7) et (8) on tire

(9) V'iM) = i-M + V(«>-^)],

(10) tf>,{(pe).fe.Fd—^.[if)e — tf>{(o — e)].

Considérons d'abord la fonction xpi(ai6). En y mettant 6-\-a aii lieu de d , il viendra

or on a i// (^ -|- a) = i//d , et par conséquent aussi, en mettant œ — a — 0 au lieu de d,

*) p. 268 de cette édition.

tp{a} — 6) = \f){œ — a — ff)\ donc