V.[</'(<? + «)] = i [V^? + Vl
c'est-à-dire
Vi'L<^(<'+«)]=ViM)-
On aura de la même manière
La première de ces équations donne, en mettant successivement d-|-a, d-|-2«, ... au lieu de d,
(11) V;,[<^(<? + m«)] = ViM),
oh m est un nombre entier quelconque. De même la seconde équation donne
Vi[9'(<?+-"^)] = ViM»
d'où, en mettant O-^ma au lieu de 0^ et en ayant égard à l'équation (11) on tire
(12) y^dv{0 + rna-^^(3)] = '^,{cpe).
Donc la fonction y^i{(pO) reste la même, en y substituant au lieu de (pO une autre racine quelconque de l'équation (1). En attribuant à m et ^ toutes les valeurs entières depuis zéro jusqu'à 2n et en ajoutant, la formule (12) donne
(13) ^,(y<?) = 2 A^ . 1^ 2:^f,[<p{e-^ma-{-fi(ri].
Le second membre de cette équation est une fonction rationnelle et symétrique des racines de l'équation (1), donc on pourra l'exprimer rationnellement par les coefficiens de cette équation, c'est-à-dire par (f{2n-^l)6. Soit
la quantité p sera une fonction rationnelle de y(272-|-l)d. Or je dis que
p sera toujours entier. En effet soit (p{2n-\-' l)6=y et pz=~j oh p' et
q' sont des fonctions entières de ij sans diviseur commun. Soit y=sç)(2w~|-l)(y une racine de l'équation q' =iO\ la quantité p = -J^[t//d-|-i//(co — ^)] sera infinie en faisant 0 = âj donc on aura xpâ-\-yj{œ — (J) = ^; maintenant il est évident par la forme de la fonction i//d, que cette équation ne peut subsister à moins qu'une quantité de la forme
(p{â-\-nfa-\- jnfi) ou (p(a) — (T-j-wa -[-///?)
n'ait une valeur îiitiiiie. Soit donc (jp {(^ -]- 'n'i^ -\-' f^ft) = q ^ on aura en vertu de réquation (30) tome II p. 113*)
â = {m' -|- ^)œ -|- {n' 4- \)m — ma — /^/î,
où m' et n' sgnt des nombres entiers; or cette valeur de â donne
(p{2n+l)â = (p [{2n+ l)m' + w — 2m]co + [(2n+ l)n' + n — 2iLi]m+ ^^ + y'^ c'est-à-dire (26 p. 111*):
Mais cela est impossible, car une racine quelconque de Téquation q' = 0 doit être finie. On trouvera également que (p{w — (J -|- wa -|- ///9) = ^ donné (p(2n-\-l)â = ^. La quantité p est donc une fonction entière de (p{2n'-\- 1)0. Considérons maintenant Téquation (10). En divisant les deux membres par /(2n+l)d.i^(2n+l)d, on aura
% (yd) .fO.FS xpe — xlj(io — 0)
En vertu de ce qu'on. a vu (45) tome II p. 117*), on aura /(2n-(-l)d=/d.w, F{2n']-1)6 = F6 .v^ u et v étant des fonctions rationnelles de (p0] donc le second membre de l'équation précédente sera une fonction rationnelle de (pd. En la désignant par x(y^), on aura
/ ^N i ip6—ilj(io—6)
XvP^) — t'y(2n+l)6.F(2n+l)6'
En mettant d-|-a au lieu de d, il viendra
i//(d-|-a) = i//d, xp[(o—{e-^a)] = xfj{a} — e),
/(2«+l)(d + a)=/[(2«4-l)d + 2ma) + 2//âJz]=/(2n+l)d,
donc on anra
De la même manière on trouvera
x[<p{o+ft)] = x{^o).
On en déduit, comme plus haut pour la fonction y^i{(pO)') que x{^0) P^^* être exprimé par une fonction entière de (p{2n'\-l)d. Soit donc
^) Les formales citées se trouvent p. 275 — 281 de cette édition.
X{(fe) = q,
011 aura
et enfin
(14) yj0=jjJ^q ,f(^2n + 1)6 . F{2n + 1)0,
où p et q sont des fonctions entières de (p{2n-^l)8.
Pour trouver les degrés de ces fonctions, soit {(fOy .x^ le tenue de i//d, dans lequel (pO est élevé à la plus haute puissance, on aura, en supposant (fO infini,
ipe=iA. {(pd)%
A étant une constante. De même (m aura
if;{io — e)=A\{(pe)\
et par suite:
mais pour (pô infini, on a (p{27i-\-l)0-.— Ii.(pOj B étant une constante. Il suit de là que p sera du degré v par rapport à ip{2n-\-\)0. On démontrera de la même manière que la fonction q sera du degré v — 2, tout au plus.
Notre théorème est donc démontré.
Dans le cas où la quantité (pO ne monte qu'à la première puissance dans xjjO, on a y=l] par conséquent q sera du degré — 1 , c 'e^t-à-dire q:=0. Donc on a dans ce cas
(15) ipez=A-{-B.(p{2n-{-l)0,
oh A et B sont des quantités constantes, qu'on déterminera facilement en faisant *d = 0 et (pd=z^.
Soit par exemple tiO le produit d'un nomtre quelconque des racines de l'équation (1), et faisons
ip6 = ^. -2-^ n {e + ma + ^(3) ,
il est clair qu'on aura ip(6) = ip{d-\-a)=nfj{6-\- (3), en remarquant que
et
n[d-{-{2n-{- 1)I3 -\- ma] = ji{6 -j- ma).
Donc -
Un an 0 0
Il faut remarquer que Tune des quantités J. et J5 est toujours égale à zéro. On a -4 = 0 si le nombre des facteurs de nd est un nombre impair, et J3 = 0 si ce nombre est pair. Dans ce dernier cas la quantité ipd est indépendante de la valeur de d; par conséquent, en faisant ^ = 0, on a
(17) 2^2:^n{e-^ma-\-fi(i) = :S^:S^7i{ma-{-fi(i).
Si Ton fait par exemple
on a
2',^^9)(<9 + ma+^/î).9)[d + (m + fc)a + 0a + fc')/^] (18) ' " " '
= -T, -2; y (m« + ,u/3) . y [(m + fc)« + (.a -f 7c')/î] ,
où & et 7c' sont des nombres entiers quelconques, moindres que 2n-^l, Cependant on ne peut pas supposer à la fois fc=:0, ^' = 0. Car alors 7iO^=:{(pOy et par suite y = 2j tandis qu'on doit avoir
De la même manière que nous avons démontré le théorème précédent on pourra encore établir les deux suivans:
Théorème IL Soit ip6 une fonction quelconque entière des quantités de la forme /(d-[-wa-|-^t/?), telle que
on aura
oh p et q sont des fonctions entières de f(2n-\-l)0j la première du degré r et la seconde du degré y — 2 , tout au plus, en désignant par v le plus grand exposant de f9 dans ipd.
Théorème III. Soit ipd une fonction quelconque entière des quantités de la forme F{d'\-ma-\- fip)^ telle que
011 aura
OÙ ^ et gf sont des fonctions entières de F{2n-\-l)0j la première du degré y et la seconde du degré y — 2 , tout au plus, en désignant par y le plus grand exposant de FO dans ipO.
En vertu du premier théorème on voit sans difficulté que la valeur de
yK^— j— I L exprimée en fonction de (pd^ sera
où p^ et q^ sont deux fonctions entières de (pd^ la première impaire et du degré 27i-(-l, la seconde paire et du degré 27i — 2. D'ailleurs' ces fonctions sont déterminées par l'équation
où a^ est une constante.
Christiania le 27 août 1828.
xxTn.
