CLASSE DE FONCTIONS TRANSCENDANTES

Journal fUr die reine und angewandto Mathematik, herausgegeben von CreUe, Bd. 4, Berlin 1829.

Théorème. Soit y une fonction de x qui satisfait à une équation quelconque irréductible de la forme

où ^0 > 2^1 ? i^2 7 • • • Ph-1 sont des fonctions entières de la variable x. Soit de même

(2) 0=q,-\-q,y-\-q,t/-\ hî-i^-S

une équation semblable, Jo? îi? îa? • • • 2n-i étant également des fonctions entières de x, et supposons variables les coefficîens des diverses puissances de X dans ces fonctions. Nous désignerons ces coefficiens par a, a\ a" . . . En vertu des deux équations (1) et (2) x sera une fonction de a, a\ a", . . . et on en déterminera les valeurs en éliminant la quantité y. Désignons par

le résultat de l'élimination, de sorte que q ne contiendra que les variables ce, a, a', a", . . . Soit /m le degré de cette équation par rapport à ce, et désignons par

rrvi

516 DEMONSTRATION D'(JN£ PROPRIÉTÉ GÉNÉRALE etc.

ses f.1 racines, qui seront autant de fonctions de a, a', a'\ . . . Cela posé, si Ton fait

(5) xijx=jf{x,y)dx,

oii f{x^y) désigne une fonction ratiomielle quelconque de x et de y, je dis que la fonction transcendante y/x jouira de la propriété générale exprimée par l'équation suivante:

(6) v/iCi + v^Xg-l |-v^x^ = î/ + &ilogi;i-|-fc,logv,-| \-k^\ogv^,

^7 ^M ^8î • • • ^n étant des fonctions rationnelles de a, a', a'', . . ., et fc^, k^j . . . k^ des constantes.

Démonstration. Pour établir ce théorème il suffit d'exprimer la différentielle du premier membre de l'équation (6) en fonction de a, a\ a", ... ; car il se réduira par là à une différentielle rationnelle, comme ou va voir. D'abord les deux équations (1) et (2) donneront y en fonction rationnelle de Xj a, a\ a^j . . . De même l'équation (3) (f = 0 donnera pour dx une expression de la forme

où a, a\ a", . . . sont des fonctions rationnelles de a:, a, a\ a", . . . De

là il suit qu'on pourra mettre la différentielle f{x^y)dx sous la forme

/(x, y) dx = (px.da'\- (p^x . da' -|- (p^x . da" -["•••»

où (pXj (fiX^ . . . sont des fonctions rationnelles de x, a, a', a", . . . En intégrant, il viendra

tpx = / {(px . da -\- (fiX . da' "h ' • • )

et de là on tire, en remarquant que cette équation aura lieu en mettant pour X les /li valeurs de cette quantité,

(7) tf;x,-\-tpx^-\ l-V/iC^

— f[{(px,-\-(px^-] hy^^)^« + (yi^i + yi^«H \- <Pi^^i) d<i' -\ ].

Dans cette équation les coefficiens des différentielles rfa, da\ . . . sont des fonctions rationnelles de a, a\ a", . . . et de cc^, aîg, . . . cc^, mais en outre ils sont symétriques par rapport à iCi, cCg, . . . x^; donc, en vertu d'un théorème connu, on pourra exprimer ces fonctions rationnellement par a, a\ a'', . . . et par les coefficiens de l'équation (>=:0; mais ceux-ci sont eux-

DÉMONSTRATION D'UNE PROPRIÉTÉ GÉNÉRALE etc. 517

mêmes des fonctions rationnelles des variables a, a', a", . . ., donc enfin les coefficîens de da^ da\ da'\ ... de Téquation (7) le seront également. Donc, en intégrant, on aura une équation de la fonne (6).

Je me réserve de développer dans une autre occasion les nombreuses applications de ce théorème, qui jetteront du jour sur la nature des fonctions transcendantes dont il s'ao^it.

Christiania le 6 janvier 1829.

Jounuil fUr die roine und an^ewandto Mathematik, horausgefçeben'von CrelU^ Bd. 4, Berlin 1829.

Introduction.

La théorie des fonctions elliptiques, créée par M. Legendre^ forme une partie des plus intéressantes de Tanalyse. Ayant cherché de mon côté à donner de nouveaux développemens à cette théorie, je suis, si je ne me trompe, parvenu à plusieurs résultats qui me paraissent mériter quelque attention. J'ai cherché surtout à donner de la généralité à mes recherches^ en me proposant des problèmes d'une vaste étendue. Si je n'ai pas été assez heureux pour les résoudre complètement, au moins j'ai donné des moyens pour y parvenir. L'ensemble de mes recherches sur ce sujet formera un ouvrage de quelque étendue, mais que les circonstances ne m'ont pas encore permis de publier. C'est pourquoi je vais donner ici un précis de la méthode que j'ai suivie^ avec les résultats généraux auxquelles elle m'a conduit. Ce mémoire sera divisé en deux parties.

Dans la première je considère les fonctions elliptiques comme intégrales indéfinies, sans rien y ajouter sur la nature des quantités réelles ou imaginaires qui les composent. Je me servirai des notations suivantes:

de sorte que

(D (x^ c) , (Dq (x^ c) , U {x^ c, a)

remplacent respectivement les fonctions de première, de seconde et de troisième espèce.

Cela posé, je me suis proposé ce problème général: „Trouver tous les cas possibles dans lesquels on peut satisfaire à une équation de la forme:

«i«j(xi,Ci)-|-asjâj(xs,,C2)-| \-a^m{x^,c^

r. , + «/ cDo(ir/, c/) -f «/ 0>o(a:/, c/) -| [-a/ cDoKS C)

= U'\'Ay\ogVy-\-A^\ogv^'\ \-Ay\ogv^,

^1 » ^2 ? • • • ^n ? ^1 7 ^2 î • • • ^m î ^1 î ^8 î • • • ^ytt ? -^l 7 -^2 ? • • • -^v

sont des quantités constantes, x^^ x^,. . . iP„; Xi', x^\ . . . cc„'; a:/', x/ ^ , . . a;^" des variables liées entre elles par des équations algébriques^ et w, 1;^ , Vj , . . . Vy des fonctions algébriques de ces variables."

J'établîs d'abord les propriétés fondamentales des fonctions elliptiques, ou ce qui concerne leur sommation, en employant une méthode particulière, qui est applicable avec la même facilité à une infinité d'autres transcendantes plus compliquées. En m'appuyant sur ces propriétés fondamentales, je considère ensuite l'équation dans toute sa généralité, et je fais le premier pas en démontrant un théorème général sur la forme qu'on pouiTa donner à l'intégrale d'une fonction algébrique quelconque, en supposant cette intégrale exprimable par des fonctions algébriques^ logarithmiques et elliptiques^ théorème qui est d'un grand usage dans tout le calcul intégral, à cause de sa grande généralité.

J'en déduis, comme corollaire, le théorème suivant:

^î où r est une fonction rationnelle quelconque de x, est

exprimable par des fonctions algébriques et logarithmiques et par des fonctions elliptiques 1//, i/Zj, i/z^, . . ., on pourra toujours supposer

Q. r rdx

oh toutes l^s quantités i^, tfi, Ça, . . • î/j </«'? • • • y? ^u y»? • • • ^^^^ ^^ fonctions rationnelles de a;"*).

De ce tliéorème je tire ensuite celui-ci:

„Si une équation quelconque de la fonne {a) a lieu, et qu'on désigne par c Tun quelconque des modules qui y entrent, panni les autres modules il y en aura au moins un, c\ tel qu'on puisse satisfaire à Téq nation différentielle :

dij dx

en mettant pour y une fonction rationnelle de x, et vice versa."

Ces théorèmes sont très importans dans là théorie des fonctions elliptiques. Ils ramènent la solution du problème général à la détermination de la solution la plus générale de l'équation

dy dx

OU à la transformation des fonctions de première espèce. Je donne la solution complète de ce problème, et j'en déduis ensuite la transformation générale des fonctions de première espèce. Je fais voir que les modules doivent nécessairement être liés entre eux par une équation algébrique. On peut se contenter de considérer le cas où le dégi'é de la fonction y est un nombre premier, y compris l'unité. Si ce degi'é est désigné par ^, c' pouiTa avoir 6(,a-|- 1) valeurs différentes, excepté pour /i= 1, oîi ce nombre se réduit à 6. La seconde partie traite des fonctions à modules réels et moindres que l'unité. Au lieu des fonctions (t>(cc,c), (Dq{x^c)^ n{x^c^a) j'en introduis trois autres, savoir d'abord la fonction >L(d), déterminée par l'équation

C'est la fonction invei-se de la première espèce. En mettant a; = A<9 dans les expressions de iBQ{x,c), i7(a*,c,a), elles deviendront de la fonne:

mo{x,c)= fx^d.dd;

*) Ce théorème a également lieu, si J{x, c) est la racine carrée d'une l'onction entière d'un degré qtielcouque.

Sous cette forme, les fonctions elliptiques ofirent des propriétés très remarquables, et sont beaucoup plus faciles à traiter. C'est surtout la fonction Xd qui mérite une attention particulière. Cette fonction a été Tobjet d'un mémoire qui est inséré dans les tomes II et III de ce journal*), oîi j'en ai démontré le premier quelques-unes des propriétés fondamentales. On en trouvera davantage dans ce mémoire. Je vais indiquer rapidement quelques-uns des résultats auxquels je suis paiTenu:

1. La fonction kO jouit de la propriété remarquable d'être périodique de deux manières différentes, savoir non seulement pour des valeurs réelles de la variable, mais encore pour des valeurs imaginaires. En effet si l'on fait pour abréger

Ç^ dx ù) r^ dx

où 6=:yi — c^ et y — 1 = i , on aura

2. La fonction X6 devient égale à zéro et à l'infini, pour une infinité de valeurs réelles et imaginaires de d

oîi VI et n sont des nombres entiers quelconques, positifs ou négatifs. De même on a

le' = xe,

cette relation est nécessaire.

3. La propriété fondamentale de kO est exprimée par l'équation

OÙ d^ et d sont des variables quelconques, réelles ou imaginaires.

4. La fonction Xô pourra se développer en facteurs et en fractions de beaucoup de manières; par exemple si l'on fait pour abréger

*) Mémoire XVI de cette édition.

on a

U(ini\- ^ Vn nh. (^(i\ [1 - 27* COB (2fl.r) + q'] [1 - 2g* cob (2tf^) + ^"J . . . *(.«"";— y^ yg.su^Tip; [1 — 2î co8(2fl7f) + 3«][l— "2g»co8(2fl7ir) + î«] ...

.(^-^8m(d^)+j-£-,8in(3<?;i) + -j-^^,8in(5(?^)+ • • •

i Y ] ~ y c ' (1 +>e-*"'^) (ï +;>e""'0 (1 +;)»é!-=^-'^) (l +P«^^^)"TT: '

On pouiTa exprimer d'utie manière analogue les fonctions de seconde et de troisième espèce. Les deux fonnules précédentes sont au fond les mêmes que les fonnules (c).

5. Une des propriétés les plus fécondes de la fonction ïA est la suivante: [On a fait pour abréger: iQ = ± f (1 '^VB) (1 — c'Vff) ] . ,,Si l'équation

est satisfaite, en mettant pour 6 2n quantités ^i, ^g, . . . ^««, telles que k^Oi^ Ji^O^j . . . k^Ofn soient différentes entre elles, on aura toujours

les coefïiciens «q, a^, . . ., Ôq? ^i? • • • pourront être quelconques, et il est facile de voir qu'on pourra les déterminer de sorte que Biy 0^^ . . . 6^^^ soient donnés."

Voici une autre propriété plus générale:

„Si l'on fait

2)' — q'{i — x'){i — c'x') = A{x — )iô,){x — ie,) . .. {x-xe;},

oh p et q sont des fonctions entières quelconques de V indéterminée Xj on pouiTa toujours prendre les quantités 6^^ 6^^ , . . 6^ telles que Texpressiou

soit égale à zéro ou à rintini." Ainsi par exemple, si

(cZ) p^ — n\l~x^){\ —c^x') = A\x^ — k^eY,

Turfe des fonctions p ^t q étant paire et l'autre impaire, on aura

1) si p est pair:

A(^ud) = 0, si fjL est pair et

Xi^fid)^=^^ si ^ est impair;

2) si p est impair:

X[ji6)-=^Qi^ si fi est impair et X(^d) = ^, si /i est pair.

De là il suit encore que, si Téquation {â) a lieu, on aura toujours

où m et w sont entiers et moindres que fi.

6. Il existe entre les quantités A [L ". V ) ^t l^s racines {2fi-\-l)^" de l'unité des relations bien remarquables, savoir si Ton fait pour abréger

on aura, quels que soient les nombres entiers m et /a:

+ ■•■+*-■. ^('-^Ifti^)-

D'ailleurs toutes les quantités l - "V ^— sont les racines d'une même équation du degré (2^a-f-l)^, dont les coefficiens sont des fonctions rationnelles de c*.