Si la fonction

da

dont le module c est réel et moindre que l'unité, peut être transformée dans une autre

J -Jijf,

dont le module c' est réel ou imaginaire, en mettant pour y une fonction algébrique quelconque de ar, il faut nécessairement que le module c/ soit déterminé par l'une des deux é(|uations

h -1/2 Va (i + gî)(i + yî)(i+yî)---

où ^, = 5""» i" étant rationnel; on, ce qui revient an même,

fi et fi' étant des nombres rationnels quelconques.

8. La théorie de la transformation devient très facile à l'aide des propriétés les plus simples de la fonction kO. Pour en donner un exemple, soit proposé le problème: satisfaire de la manière la ])lus générale à l'équation

dt/ dx

en supposant c et c moindres que l'unité et y fonction rationnelle, réelle ou

imaginaire, de x.

Soit x^=l0^ 7/ = i'ô', en désignant par l' la fonction qui répond au

iiKxlule r/. L'équation différentielle se changera dans ce cas en dd' = êd9^

d'où

«' = fd + a,

a étant une constante. Cela posé, soit

on aura

En mettant 0-\-2G}, ô-{-(oi au lieu de 6, kd ne change pas de valeur et par conséquent on doit avoir

X'{ee-\-2e(S-\-a) = X'{td-{-a),

k'{ee -\-twi -\- a) = i.'(ee -\- a).

Donc, si l'on désigne par G)' et to' les valeurs de £5 et co qui répondent au module c\ on aura en vertu de l'équation (2):

ce qui donne

G ^ 2 a œ co

donc

ou bien

Maintenant, si c est indéterminé, cette équation ne pourra subsister à moins qu'on n'ait ou n = 0^ W = 0, ou w' = 0, m = 0. Dans le premier cas e

est réel et égal à

et dans le second cas ê est imaginaire et égal à

n 10' . ex , a' '

Supposons e réel. Alors on aura ce théorème:

„Sî deux fonctions réelles peuvent être transfonnées l'une dans l'autre, il faut qu'on ait entre les fonctions complètes a), c«, G}\ (o' cette relation:

où w' et m sont des nombres entiers."

On pourra démontrer que si cette condition est remplie, on pourra effectivement satisfaire à l'équation •

/dy a' r dœ

Rien n'est plus simple que de trouver l'expression de. y. Il suffit pour cela de chercher • les racines des deux équations yx = 0, fx = 0.

Désignons par kâ et kâ^ deux racines quelconques appartenant respectivement à ces deux équations, on aura, pour déterminer â et â\ ces deux équations :

ce qui donne

+ *-a,' + (fc' + i)4t

c'est-à-dire :

h et h' étant des nombres entiers. Pour déterminer a, il suffit de remarquer que lO ne change pas de valeur en mettant W — 0 au lieu de 6. On aura donc

r(«cZï — éd + a) = r(fd + a),

ce qui donne

Dans le cas oh m est impair, on pourra toujours faire a = 0.

Connaissant les valeurs de ô Q>t d\ on aura immédiatement les racines des deux équations yx = 0, fx = 0^ et par suite l'expression des fonctions (px et fx en produits de facteurs. Les fonnules les plus simples répondent aux cas de m=l ou n' = 1 , et elles sont les seules nécessaires, comme il

On pourra aussi se servir

des expressions de la fonction XO en produits infinis rapportées plus haut. Je Tai fait voir dans un mémoire qui a été envoyé à M. Schumacher pour être inséré dans son journal*).

9. Le cas oh un module c peut être transfonné en son complément yi — c^=:bj mérite une attention particulière. En vertu de Téquation

est aisé de le voir par l'équation — ;- =

on aura alors

* to ^ n

et

mn

Le module c sera déterminé par une équation algébrique, qui paraît être résoluble par des radicaux; au moins cela aura lieu si -- est un carré parfait. Dans tous les cas il est facile d'exprimer c par des produits infinis.

En effet, si — = |/ — , on a

^) Mémoire XX do ccitte. édition.

PItÉCIS DUNE THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 527

Si deux modules c' et c peuvent être transformés l'un dans l'autre, ils auront entre eux une relation algébrique. Il ne paraît pas possible en général d'en tirer la valeur de c' en c à l'aide de radicaux*), mais il est remarquable, que cela est toujours possible si c peut être transformé en son complément, par exemple si c' = ^.

Les équations modulaires jouissent d'ailleurs de la propriété remarquable, que toutes leurs racines peuvent être exprimées raiionnell&tnent par deux d'entre elles. De même on pourra exprimer toutes les racines par l'une d'elles à l'aide de radicaux.

10. On pourra développer la fonction XO de la manière suivante:

A V :i — : — T7 AT- 7— rrr^^-T

OÙ le numérateur et le dénominateur sont des séries toujours convergentes. En faisant

ces deux fonctions auront la propriété exprimée par les deux équations

*) Dans le cas par exemple où y est de la forme:

y^f V ' (1— r'a^ai«)(l— c«aî

Féquation entre c et c est du sixième degré. Or je suis parvenu k démontrer rigoureusement, que si une équation du sixième degré est résoluble k l'aide de rcuiicaïuc, il doit arriver l'un de deux, ou cette équation sera dccomposable en deux autres du troisième degré, dont les coefficiens dépendent d'une équation du second degré, ou elle sera décomposable en trois équations du second degré, dont les coefficiens sont déterminés par une équation du troisième degré. L'équation entre c' et c ne parait guère être décomposable de cette manière.

<p{d' + e) . ifie' - 6) = {(pe ./ey - {<pe' ./ey, /(<?' + 0) .f{e' -d)= {je ./ey - c\<p6 . <pey,

OÙ 0' et d sont deux variables indépendantes. Ainsi par exemple si l'on fait d'=:9j on a

f{^e)={jey-c\<p6y.

Ces fonctions jouissent de beaucoup de propriétés remarquables.

11. Les formules présentées dans ce qui précède ont lieu avec quelques restrictions, si le module c est quelconque, réel ou imaginaire.