CHAPITRE I

Propriétés générales des fonctions elliptiques.

Les fonctions elliptiques jouissent cpmme on sait de cette propriété remarquable, que la somme d'un nombre quelconque de fonctions peut être exprimée par une seule fonction de la même espèce, en y ajoutant une certaine expression algébrique et logarùkmùjue. La découverte de cette propriété est due, si je ne me trompe, à M. Legendre. La démonstration que cet illustre géomètre en a doimée, est fondée sur l'intégration algébrique de l'équation différentielle

dy d,r

L'objet de ce chapitre sera de démontrer cette propriété des fonctions elliptiques, mais eu nous appuyant sur des considérations différentes de celles de M. Legcndre.

Démonstration d'un tliéo^'hne fondamental.

Nous allons conunencer par établir un théorème général qui servira de

fondement de tout ce qui va êti'e exposé dans ce mémoire, et qui en même temps exprime une propriété très remarquable des fonctions elliptiques.

Théorème I. Soient fx et (px deux fonctions quelconques entières de a-, l'une paire, l'autre impaire, et dont les coefficiens soient supposés variables. Cela posé, si l'on décompose la fonction entière paire

{fxy-{ipxy{jx)

en facteurs de la forme x^ — xf, de sorte qu'on ait

(1) (jxy - {<f,xy {jxy =a{x*- xi) {x" - x\) {x* -xi). . . {x* - x^,

où A est indépendant de l'indéterminée x, je dis qu'on aura

a désignant le paramètre de la fonction /7a: , de sorte que

La quantité C est la constante d'intégration.

Démonstraiîon. Supposons d'abord que tous les coefficiens des diverses puissances de x dans les fonctions fx et (px soient les variables indépendantes. Alors toutes les quantités x^ x^j . . . x^ seront évidemment inégales et fonctions de ces variables. En désignant par x l'une quelconque d'entre elles, l'équation (1) donnera

(4) {fxy-{q>xy{jxy=o\

d'où

(5) fx-^ifx. Jx = 0.

Cela posé, faisons pour abréger

fx = (fxy — {ipxy {Jxy,

et désignons par xp'x la dérivée de cette fonction par rapport à x seul. De

même désignons par la caractéristique d la diiférentiation qui se rapporte

aux seules variables indépendantes. Alors on tire de l'équation (4) en diflférentiant

xp'x . dx -|- 2fx . Sfx — 2(px . d(px . {Jxy = 0 ;

mais en vertu de Téquation (5) on à

530 PKÉCIS D'UNE THKOUIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES.

fx = — ifX. Jx^

ifx{Jxf = — fx . z/x,

donc, en substituant,

\p'x .dx — 2 Jx{(px . dfx — fx . d(px) = 0.

De là on tire, en divisant par 1 ^ Jxj

chv 2(qp«r . dfx — fx . d(px)

/2 (fjp;» . <J /^^ — fx . ôq^^v)

En faisant maintenant x = Xi^ x^^ . . . x^j en ajoutant les résultats et en faisant pour abréger

2 {(px . dfx — fx . â(px) = OXj

on obtiendi'a

(6) /M4-/7x,-| \-nx^

6x^ I ^«^a I I ^^ft \

Maintenant 0x étant une fonction entière de x dont le degré est évidemment inférieur à celui de la fonction i//x, le second membre, d'après un théorème connu sur la décomposition des fonctions fractionnaires, se réduit à

2ipa

ou, en substituant la valeur de 0a et celle de ipa^ à

/fp<i . ôfa — fa . âcpa

Cette intégrale se trouvera facilement; en effet, Ja étant constant, on aiu^a en intégrant d'après les règles connues,

(J ^ i^^g^ fa + (pa.Ja ^

2 Ja fa — (fa.Ja

G étant la constante d'intégration. Cette fonction mise à la place du se« cond membre de l'équation (6), donne précisément la formule (2) qu'il s'agissait de démontrer.

La propriété de la fonction 77(x), exprimée par la formule (2), est d^autant plus remarquable, qu'elle aura lieu en supposant la fonction z/x racine carrée d une fonction quelconque entière et paire de x. En effet la démonstration précédente est fondée sur cette seule propriété de la fonction Jx. On a ainsi une propriété générale d'une classe très étendue de fonctions transcendantes*).

La formule (2) étant démontrée pour le cas où les quantités x^^ x^, . . , x^ sont inégales, il est évident qu'elle aura encore lieu en établissant entre les variables indépendantes des relations quelconques qui pourront rendre égales plusieurs des quantités x^^ x^j . . . x^.

Il faut observer que les signes des radicaux Jx^ , Jx^ ? . • • ^^fi ne sont pas arbitraires. Ils doivent être pris tels qu'ils satisfassent aux équations

(7) fx^-]-(pXi.Jx^z=0, fx^-\-(px^.//x^ = 0^ . . .fx^-\-(px^.Jx^ = 0,

qu'on tire de l'équation (5), en mettant pour x les valeurs x^^ X2j . . . x^.

La formule (2) exprime une propriété de la fonction de la troisième espèce IJ{x). Or rien n'est plus facile que d'en déduire des propriétés semblables des fonctions:

(8) ^=Jj^ «* ^o^^J^^-

D'abord si l'on fait a infini, on a TTx = (Qx ; mais il est clair que la partie logarithmique de la formule (2) s'évanouira dans ce cas; le second membre se réduira donc à une constante, et par conséquent on aura

De même si l'on développe les deux membres de l'équation (2) suivant les puissances ascendantes de — ? on aura, en comparant les coefficiens de

dans les deux membres.

(10) «Jo^Ji + ôîoiCa + • • • +«^o»/x = C'— Pî

OÙ p est une fonction alg&>rique des variables, savoir le coefReieni de -^ dans le développement de la fonction

*) Voyez sur ce sujet un mémoire inséré dans le tome III, p. 313, de ce journal. On trouve un théorème beaucoup plus général t. IV, p. 200.

2 Ja ° fa — (pa . Ja

suivant les puissances ascendantes de — •

En vertu des fonnules (2, 9, 10) il est clair, qu'en désignant par \px une fonction quelconque de la forme:

et , a.

Ov I dœ

on aura

— ^^^ loff --'— ^-^— * . . . .^^- loff f^-^-f^^r!^ On voit que cette équation a lieu quelle que soit la constante A.

Propriété fondamentale des fonctions elliptiques, tirée des formules précédentes.

Dans ce qui précède les quantités x^^ x^^ x^^ . , . x^ sont regardées comme fonctions des coefficiens variables dans fx et tpx. Supposons maintenant qu'on détermine ces coefïîcîens de manière qu'un certain nombre des quantités x^^ x^^ . . . x^ prennent des valeurs données mais variables. Soient

Xi^ X^^ , • , x^

des variables indépendantes. Alors les coefficiens dans fx^ (px deviendront des fonctions de ces quantités. En les substituant dans l'équation

le premier membre sera divisible par le produit

{x*-xr){x*-xl).--ix*-xl),

et le quotient, égalé à zéro, donnera une équation du degré fi — m par rapport à X*, dont les racines seront les /i — m quantités

qui par suite sont des fonctions algébriques de x^^ x^^ , , . x„.

Le cas le plus simple et le plus important est celui où le nombre }i — m a la moindre valeur possible. Pour avoir ce minimum, il faut donner aux fonctions fx et ipx la forme la plus générale pour laquelle le degré de Téquation {fxY — (yx)*(z/aî)* = 0 est égal à 2, a.

Il est facile de voir que le plus grand nombre de coefficiens qu'il soit possible à introduire dans fx et ipx^ est u. Mais, puisqu'en vertu de la forme des équations (7) on peut supposer un de ces coefficiens égal à lunité, sans diminuer la généralité, on n'aura réellement que ,u — 1 indéterminées. On pourra donc faire m = /Li — 1 , en sorte que toutes les quantités Xj , x^^ . . . x^^ excepté une seule, seront des variables indépendantes. Par là on aura immédiatement la propriété fondamentale des fonctions elliptiques dont il a été question au commencement du chapitre.

n y a deux cas dififérens à considérer, savoir /a pair ou impair.

Premier cas^ si jti est pair et égal à 2n.

A. Si la fonction fx est paire et (px impaire, il est clair que fx doit être du degré 2«, et (px du degré 2n — 3. Faisons donc

j fx=ao-\- a^x^ -\- a^x* -| 1- a,a;*"-' -\- a;*",

et .

(13) {fxy-{ipxy{l-x*){\-G*x^=:{x*-xX){x'-xX)...{x'-xl^,){x}-y\

oii nous avons mis y au lieu de Xj^, qui sera une fonction des variables Xi,

^j • • • ^'%n-\* Les coefficiens a©, a^, Ojj, . . . a„i, ioj ^17 • • • ^n-« sont déterminés en fonction de a^j, a?,, • . . à l'aide des fx — 1 équations (7), savoir :

(13') fx^ + ipx^ . Jx^ = 0, /x, + (px^ . Jx^ = 0, . . . /a;a„i + y Xg„i . /tx^^ = 0.

Ces équations, étant linéaires par rapport aux inconnues, donneront celles-ci en fonction rationnelle des quantités

Il est clair qu'on pourra donner aux radicaux /fx^ , Jx^ ^ • • • ^^nn-i d®^ signes arbitraires.

Pour avoir la valeur de y, faisons dans l'équation (13) a; = 0. Gela donne

(Zq X^X^ , . . X^n—i^y î

d'où Ton tire

La quantité y est donc une fonction rationnelle des variables x^ x^^ . . . et des radicaux correspondans. Si maintenant y a cette valeur et si Ton fait de plus

les formules (2, 9, 10) donneront

(Bxi -f- (Dxg + • • • "h ®^2n-i = ^y -f" Cj

(15) l "^O^^l + «^0^2 + • • • -\'^0^'2n-l = ^o!/—K-i-\-Oj

Quant aux fonctions (By, t5o2/? fT^yj îl f^^^* bien obsei'ver que le signe du radical Jy n'est pas toujours le même. Il est dans tous les cas déterminé par la dernière des équations (7) qui, en mettant pour x^„ et Jx^^ leurs valeurs y et — /fy^ deviendra

fy — (fy.Jy = 0.

On en tire

ce qui fait voir que le radical Jy^ comme y, est une fonction rationnelle des quantités x^^ x^^ . . . /fx^ , Jx^ , . .

La fonction y a la propriété d'être zéro en même temps que les variables x^j x^^ . . . x^n-i • ^^ ^^^^ sî l'oï^ f^i*

Xi = X^= ' ' ' =X^„.,i=zO,

réquation (13) ne pourra subsister à moins que tous les coefficiens a^^ a,, . . . ««-15 &0 7 ^17 • • • K-2 T^^ soient égaux à zéro, donc cette équation se réduit à

donc on aura y = 0.

On pourrait donner le signe contraire au second membre de l'équation (14). Celui que nous avons choisi est tel que le radical Jy se réduit à -|- 1, en supposant a^j = a::^ = X3 = • • • = a^2„i = 0, et en même temps //x^ = Jx^ = . . . = .ia:,„i = -|- 1. Pour démontrer celîi, supposons a^j , x^^ . . . x^i infiniment petits; on aura alors

et par conséquent les équations (13') font voir que Xj, ccj, . . . x^^^i satisfont à l'équation

(17) > 4- a^,x'^-' + K^.x''^-' -\ [•boX-\-a, = 0.

Cette équation étant du degré 2w, doit avoir encore une racine. En la désignant par Zj on aura

Gq Z • Xi • X^ • . • 2^n— 1 )

donc en vertu de Téquation (14),

L'équation est donc satisfaite en faisant ic = — y. Or cela donne

y*" + «n-ii^*»-" + • • • +«iy* + «o = (ôo + iiy'H \-b^,y"'-*)y,

donc en vertu de l'équation (16):

(18) Jy=-\-l.

On pourra encore remarquer que y se réduit pour des valeurs infiniment petites de x^j x^j . . . x^n^i à îCi -f- ic^ -f- • • • -f- X2„.i . On le voit par l'équation (17), qui, n'ayant pas de second tenue, donnera la somme des racines égale -à zéro, c'est-à-dire

a^i+a^îH -{-^in-i—y^o,

donc

(19) .y^a^i + Xg-j h^»n-i-

B. Si fx est impair et cpx pair, fx doit être du degré 2n — 1 et (px du degré 2/^ — 2. Donc on aura dans ce cas 2n — 1 coefRciens indéterminés, et on parviendra à des formules semblables aux formules (15); maïs la fonction y aura une valeur différente. Il sera facile de démontrer qu'elle

sera égale à — ? la valeur de y étant déterminée par l'équation (14).

Second cas^ si a est un nombre impair et égal h 2/^-|-l. A. Si fx est impair et tpx pair, on aura

( /a^ = («0 + «1^' + «ïiK* H h «n-ia:'"-* + a;*")aj,

(21) {fxy-{^x)\l-x'){l-c'x') = {x'-x^;){x'-x\)...{^^

(22) fxi-{'(pXi.Jx^ = 0^ fXi'\'(pXi.Jx^ = 0^ . . ./r2„4~y^*«-^^an = 0. La fonction y le sera par l'équation

qu'on obtiendra, eu faisant dans (21) x = 0. Enfin le radical Jy est déterminé par

Cela posé on aura

(25) < ^O^^l + «>oa^, + • h «^O^^în = S)oy — 6n-l + ^?