y - ^„ log ^±^ + C
Les fonctions y et ^y sont, connue dans le cas précédent, des fonctions rationnelles des variables Xj, x,, . . . iCg^ et des radicaux Jxy^^ jdx^^ . . . ^a^», et on démontrera de la même manière, qu'on aura pour des valeurs infiniment petites de Xj, Xg, . . . cCj,,
(26) î/ = xi4-a:a4- • • • +ic,„, Jy = -\-\,
si Ton suppose en même temps que les radicaux ^x, , Jx^^ . . . ^x^^ se réduisent à -|- 1 ; donc y s'évanouira simultanément avec les variables.
Les fonnules (25) pourront d'ailleurs être déduites sur le champ de celles du premier cas, en y faisant ir2„i = 0, et changeant ensuite n en
jB. Si Jx est pair et ipx impair, on parviendra à des formules semblables. La valeur qui en résultera pour la fonction y, sera égale à — ? où y
Ci/
est détenniné par la foi-mule (23).
On voit par les formules (15, 25), qu'on pouiTa toujours exprimer la somme d'un nombre donné de fonctions par une seule fonction de la même espèce, en y ajoutant, pour les fonctions de la première espèce, une œnsiante^ pour celles de la seconde espèce une certaine fonction algébrique^ et pour celles de la troisième espèce une fonction logarithmique.
Eu remarquant qu'une intégrale quelconque de la fbmie
Bx . dx
Jx
peut être réduite aux fonctions Wx et (BqX et à un certain nombre de fonctions de la troisième espèce, en y ajoutant une expression algébrique et logarithmique, il est clair qu'en faisant
dx
rpx on aura la relation
(27) yjx,J^xpx^-\-xpx^-\ =i^y-f î;4-C',
oîi V est exprimable par des fonctions algébriques et logarithmiques.
En vertu des fornmles (15, 25) il est clair que la fonction v ne change pas de valeur, si Ton ajoute à la fonction rationnelle Ox une quantité constante quelconque, de sorte qu'on peut supposer également
xpx =J{A + ex) ^
Je dis maintenant que la fonction xp est la seule qui puisse satisfaire à l'équation (27). En effet si l'on différentie cette équation par rapport à l'une des variables indépendantes a^i , a:, , . . . , par exemple à x^ , on aura
Cela posé, si l'on suppose toutes les quantités x^^ x^^ , . . y égales à des constantes déterminées, on aura, en mettant x pour x^j et en faisant
, j, dv du
^y=^^ dx=i*^ 4=^=
ijj 'lc . dx = A qdx -^pdx^ d'où l'on tire
ipx = J{Aq'\-p)dx.
La fonction ijjx ne pourra donc contenir qu'une seule constante indétennînée A^ et par conséquent
est son expression générale.
Les propriétés exprimées par les formules de ce paragraphe appartien-
538 rUÉClS dune TIIKOKIE des fonctions ELUPTli^UES.
lient donc aux seules fonctions elliptiques. C'est pourquoi je les ai nounnée« fondamentales.
Dans les fonnules que nous avons données, y a une valeur unique, mais on pourra satisfaire aux mêmes fonnules, en mettant pour y une expression algébrique contenant une constante arbitraire. En effet, pom* avoir une telle expression, il suffit de supposer une des variables aji, ic,, x,, . . . égale à une consti\nte arbitraire, et la valeur de y qu'on obtiendra ainsi, sei-a la plus générale possible, connue on sait par la théorie de l'intégration des équations différentielles du premier ordre, dont l'intégi-ale complète ne contient qu'une seule constiinte arbitraire.
A l'aide des fommles (15, 25) on pourra exprimer la somme d'un nombre quelconque de fonctions par une seule fonction. Il est facile d'en tirer les fonnules suivantes:
(28) / Ç ©0^1 + ''* «>«^« H h '!; «>«^» = ®oy — 1> + C ,
oïl /ij, /!,, . . . ;/„, fi désignent des nombres entiers quelconques, et oîi y est une fonction alyébrùjue des variables iCj, x, , . . . x„, de même que les coetHciens de fa et (pa. Pour avoir ces fomuiles, il suffit de supposer dans (13) et (21) un certain nombre des quantités x^^ x^^ . . . y égales entre elles.
Pour détenniner y, fx^ (px^ on aura cette équation
(29) {fxy — {cpxy (1 — X*) (1 — c^x^)
=, {j:^ — x\)^^ {x^ — xX)^* . . . {x^ — x^:)^{x^ — y^Y,
qui doit avoir lieu pour une valeur quelconque de x.
Application an ais où deiijc fonctions sont donnêea.
Pour réduire deux fonctions à une seule, il suffit de supposer, dans les fonnules (25), n=:l. On aura alors
fx = UqX -f- ic^, <px =1 b^ ,
et pour détenniner les deux constantes Œq et b^^ on aura les deux équations
a^x^ + ^î + h^^i = 0, «0^2 + ^» + K^^2 = 0 j qui donnent
Connai-ssant h^, on aura la valeur de y par la formule (23), savoir pour n=l
donc
ou bien, en multipliant haut et bas par x^Jx^-^a^Jx^
^î'^^î-rj
Si Ton exprime «o ®* ^o ^^^ ^m ^«y y? on aura ces expressions très simples: (32) h = x^x^y, a^ = :^(c^x\x\7f — x\ — x\ — y^).
L'expression de a^ se tire de l'équation
{a,xJ^xy-hl{\-x'){l-c'x') = {x'-xX){x'-xX){x'-y'),
en égalant enti-e eux les coefficiens de x* dans les deux membres.
Les fonctions a^ et y étant déterminées comme on vient de le voir, les fommles (25) donneront, en faisant w=l,
a)Xi -f- (Bx^ =. Wy '\- C^
(33) { moXi-^aio^==m^y — XiXitj-\-C,
Quant à la valeur du radical //y, elle est donnée par l'équation (24)
Jy = fl- = ''-'>y-p"-,
c'est-à-dire
Pour réduire la différence de deux fonctions à une seule, il suffit de chan-
ger le signe de x^ dans les formules précédentes, La valeur de y deviendra alors
Si dans les formules (33) on fait a;^ égal à une constante arbitraire, on aura la relation qui doit avoir lieu entre les variables de deux fonctions pour qu'elles soient réductibles l'une à l'autre. En faisant a?2 = e, x^-=^x^ on aura
(36) y=-''x-l^^{y «* mx=my^G. .
En différentiant, il viendra
L'intégrale complète de cette équation est donc exprimée par l'équation algébrique (36), e étant la constante arbitraire. Parmi les intégrales pai-ticulières on doit remarquer les suivantes:
1) y = x^ qui répond à 6 = 0, Jy^=Jx^
1 Jx
2) y=±-^-^ qui répond à 6 = ^, ^y = :F- -,
3) y = VY-~h'^' ^^^ '"^P^"^ à ^=1, z/y = (^^^]^,
4) y= cV i-i^' ^^" ^p^"^ ^ "= . ' "^y-ix-Jy:
AppUcatmi an cas où imites les fondions doiw^es soîU égales
Si l'on fait dans les formules (15, 25).
iTj = iCg = ^3 1= • • • = ,T, Jx^ = ,4x^ = /Éx^ = . . . = Jx^
on aura celles-ci:
fiWx = tDy -|- C, (38) \ t^(^^x = m^y—p-^C,
/r/7:r=/7y-/-log^J" + ^-4'+C.
' '^ 2 Ja ^ fa — (fa . Ja ' '
PBÉCIS D'ONE THÉOBIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 541
OÙ
(39) ifzY - {ipzy (1 2») (1 - c»z') = (z» - xy{z* -y') ,
z étant indéterminé.
La fonction y est détenninée par les équations (14, 23):
La première a lieu si ,a = 2n — 1, la seconde si fi=z2n. Les équations (13', 22), qui doivent déterminer les coefficiens a©? ^i? ^27 • • • ? ^o? ^m ^«5 • • •' se réduiront dans le cas que nous considérons à une seule, savoir
mais d'après les principes du calcul différentiel, cette équation doit encore avoir lieu, en la différentiant par rapport à x seul un nombre quelconque de fois moindre que fi. On aura donc en tout jli équations linéaires entre les f.t inconnues; on en tire leurs valeurs en fonction rationnelle de la variable X et du radical Jx. Connaissant a,,, a^, «g, . . ., &o? ^n ^a? • • •? ^^ aura ensuite la valeur de Jy par l'équation
On poun-ait ainsi déterminer toutes les quantités nécessaires, mais pour mieux approfondir les propriétés de la fonction y, nous allons traiter le problème d'une autre manière, qui conduira successivement aux valeurs de y qui répondent aux valeurs 1, 2, 3, etc. de //.
Désignons par x^, la valeur de y qui répond à jj. On aura
mx^ = C -\- jLiGfXj
«^K+m) = C' + wx^, + œx^ ,
mais si l'on fait
J 1 __ /»2 <»»Jî fl»*
on aura, en vertu des équations (31, 33)
donc
(41) ^x^^^ = G^my.
La valeur la ])lns générale de x^,^^^ qui satisfera* à cette éciuation est
oh e est une constante. Pour la déterminer, soit oc infiniment petit; on aura alors
x^ = 7Yix, x^z=ux, x^^^ = {m-{-^)x, .4x^ = /fx^=l', donc
L'équation (41^) donnera donc
(m -\- ^)x =:■ (m -^ fi)x J e -\- e^
donc e = 0, //e=l et par suite x^^^-=.y^ c'est-à-dire que
On aura de la même manière
(43) *"— = ll^«"iv»
La première de ces formules servira à trouver a:^+«, lorsqu'on connaît x^ et x^\ on pourra donc former successivement les fonctions
en remarquant que ajj = ir, /1x^^=-/îx. Si Ton fait m=l, on trouvera
En remarquant que
cette formule fait voir que x^ est une fonction rationnelle de x^ si ^u est un nombre impair, et que x^ est de la forme jy/lx^ où 'p est rationnel, si /i
est un nombre pair. Dans le premier cas ^ est rationnel, et dans le second /Ix^ le sera. On voit également que x^ s'évanouira en même temps que //ic, si fi est un nombre pair. Les quantités
sont donc des fonctions rationnelles de x.
Si l'on multiplie entre' elles les deux fornmles (42, 43), il viendra
PKÉCIS DUNK THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 543
équation qui paraît être la relation la plus simple qu'on puisse établir entre les fonctions x^. En y faisant m=^f.t — 1, on aura
De même si dans la formule (42) on fait m = jii, on aura
*'' ~~ 1 — c^ci
Ces deux fonnules paraissent être les plus commodes pour calculer successivement les fonctions x^^ x^^ x^^ , . .
Pour trouver les expressions les plus simples de x^^ supposons
où 2^^j <2fi sont des fonctions entières de x sans diviseur connnun. En mettant ces valem-s dans l'équation (46), on aura
Or il est évident que la fraction du second membre est réduite à sa plus simple expression; donc on aura séparément
En faisant les mêmes substitutions dans l'équation (45), on obtiendra
(49) ' ''^iPîf'r^ ^:^ Plq%-^ — q%P%-i . ^ ^ qt^-i q%qu-\ — (i^ p%pti-i
Or je dis que la fraction du second membre est nécessairement réduite à sa plus simple expression. En effet si l'on avait pour une même valeur de x
on aurait encore Mais on a en général
donc aussi
x^^ /Jx^i =■ x^i -^mX^ =■ \)j
544 PKKC18 D'UNE TUEOHUS DES FONCTIONS Et.LIPTlQU£S.
OU bien
ce qui est îuipossible, car il fallait
xl = ±
Cela posé, Téquation (49) donnera
(50) p,^ ,, = -- {plq'^-i — 9[M-i)j 22;.-i = ?* ÎÎ.-1 — c V'l>ïe i • Si donc on détermine successivement les fonctions
par les équations (48, 50), sera toujours réduit à sa plus simple ex-
pression.
On poun'a faire pi = Xj g',= l. D'après la forme des expressions (48, 50) il est clair que
1) l^m 1 ^^* ^lï^^ fonction entière et impaire de x du degi^é {2jii — 1)',
2) ptfi^^P'^^^ ^^ p 6st ^liG fonction entière et impaire du degré
3) q^ est une fonction entière et paire du degré /t* — 1 ou /t*, selon que fi est impair ou pair.
Les fonctions x^^i et a^g^ auront donc la forme suivante:
X (^0 + A^.v^ + A.tr^+-"+ ^(2^-i)«-ia:<^'*-^)'-i)
On aura par exemple
. s __ 2xJx __ 3 — 4(l^c^)j:^ + 6cKc^ — cKt^
(5e-5} x^ — Y z^^^^ ' X3 -^ ;C l^TGc'^r* + 4c^ (1 + c^y.t-^ -^TSc^» '
Il est facile de voir que les coefficiens A^^ A^^ . . . Al^ A\j . . , B^^ jy^j . . . -BJ, i^l, . . . seront des fonctions entières de c*. On a toujours
^^ = 2^—1, Bo=2fi et 4J = i?J = 0.
La fonction X2^ est, connue on le voit, irrationnelle; or ori peut facilement trouver une fonction rationnelle y qui satisfasse à l'équation
Jy ' Jx
Une telle fonction est la suivante
(54) l/^IE^^^^,
car on a, en vertu de la relation (37),
Jy Jxif^ '
et y est rationnel, puisque les fonctions Jx^^ et xl^ le sont. On se convaincra aisément que cette fonction y aura la forme
Pour u = 1 , on aura
Nous verrons dans la suite comment on pourra décomposer les fonctions x^ et y en facteurs et en fractions partielles.
Nous montrerons de même que les équations précédentes sont toujours résolubles algébriquement par rapport à x, de sorte qu'on peut exprimer x en x^ à l'aide de radicaux.
