CHAPITRE H

Sur la relation la plus générale possible entre un nombre quelconque de

fonctions elliptiques.

Après avoir établi dans le chapitre précédent les propriétés fondamentales des fonctions elliptiques, nous allons maintenant en faire l'application au problème général que nous nous sommes proposé. Nous ferons voir qu'on pouiTa en ramener la solution à celle de quelques autres problèmes plus simples.

Sur la forme quan pourra donner à Vintégrale <Vune différentielle quelconque algébriquCy en supposant cette intégi'cJe exprimable jxir des fonctions algébriquesy logarithmiques

et elliptiques.

Soient a:,, a:^, Xg, . . . x^ des variables en nombre quelconque, liées

entre elles par des équation^ algébriques dont le nombre est moindre que

celui des variable». Soient ^i? y»? • • • y^ des fonctions algébriques quelconques de ces variables et supposons que la différentielle

iJidx,-^ij^dx^-\ \-yf,dx^

soit complète et que son intégrale soit exprimable à laide de fonctions algébriques, logaritlimiques et elliptiques, de sorte que Ton ait

(57) f{j/tdx^-^y,dx^-\ ]ry^dx^)

= u-{'A^logv^'{-A^\ogv^'\ l-^^logz;^

-4j, J-a, . . . Ayj a^j a^, . . . «„ étant des quantités constantes, u^ v^^ v^^ . . . Vy^ t^j t^^ . . , tn des fonctions algébriques des variables x^j x^^ . . . x^^ et i//i, 1//^, V^3, . . . ipn des fonctions elliptiques quelC/Onques des trois espèces avec des modules et des paramètres quelconques. Désignons respectivement par Cj, Cj, . . . c„ les modules de ces fonctions, et faisons pour abréger

(58) ±y(l-x^)ll-cix*) = J^x, de sorte qu'on ait en général

(59) tf,„x=J-j~,

B' étant une fonction rationnelle de x* de l'une des trois fbnnes

as*

selon que xp^x est une fonction de la première, de la seconde ou de la troisième espèce. Nous pourn)n8 même supposer que 0' soit une fonction rationnelle quelconque de x.

On pourra regarder un certain nombre des quantités x^^ x^^ . , . x^ comme des variables indépendantes. Soient celles-ci les m premières:

alors toutes les quantités

seront des fonctions algébriques de u:, , ^r^, . . . ic«.

Cela posé, imaginons une fonction algébrique 0 telle qu'on puisse exprimer toutes les fonctions

PttKCIS D'UNE THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 547

ratioiinelleinent eu

(do) u^ x^^ x^^ Xqj , . , x^^ y^^ y^^ y^^ . . . y^.

Il existe une infinité de fonctions 0 qui jouissent de cette propriété. Une telle fonction sera par exemple la somme de toutes les fonctions (62), multipliées chacune par un coefficient indéterminé et constant. C'est ce qui est facile à démontrer par la théorie des équations algébriques. La quantité 0^ étant une fonction algébrique des variables x^^ x^^ . . , ^ pouiTa donc satisfiiire à une équation algébrique, dans laquelle tous les coefficiens sont des fonctions rationnelles de Xj , a^ , . • . . Or au lieu de supposer ces coefficiens rationnels en iCj , Xg , . . . , nous les supposerons rationnels en

car cette supposition permise simplifiera beaucoup le raisonnement. Soit donc ^

l'équation en 6] désignons son degré par â et supposons, ce qui est permis, qu'il soit impossible que la fonction 0 puisse être racine d'une autre équation de la même forme, mais dont le degré soit moindre que â.

Imaginons maintenant qu'on différentie l'équation (57) par rapport aux variables indépendantes x^^ x^, . . . x^. Il est facile de voir que la différentielle qu'on trouve sera de la forme

(66) p, dx^ +^2 dx^-\ f-p« dx^ = 0,

oh pij Pi^ ... p„ seront des fonctions rationnelles des quantités

ajj , X^j . . . X„^ ^m+l 7 • • • "^/M }/l^ y^l ' ' ' Uf*^ ^? ^1? ^2j ^3j • • • ^y?

^M ^27 . • • in-, ^l(^)y ^2(^2)7 • • • -^«(0-

Donc en introduisant la fonction d, 2hj Pij • - Pm deviendront des fonctions rationnelles de

(67) 0, Xi^ iCg, . . • x^j yxj 2/27 • • ' Vfi* Cela posé, l'équation (66) donnera séparément

(68) i>i = 0, i?sr = 0, 2^3 = 0, . . . p« = 0,

et il est clair que si ces équations sont satisfaites, l'équation proposée (57) le sera également. Maintenant les équations (68) sont autant d'équations en d de la même forme que F=0, ou pourront aisément être réduites à cette

forme; mais, d'après Thypothèse, V=^0 est ime équation irréductible en tf, donc il suit d'un théorème connu, que toutes les équations (68) seront encore satisfaites, en mettant pour $ une quelconque des racines de Téquation V=0. Donc l'équation (57) aura lieu quelle que soit la valeur de #, poui-vu qu'elle satisfasse à l'équation V=0, Désignons par

(69) #1, ^2, . . . ô^ les racines de l'équation F=:0, et par

(70) «', u\... «<*'; vj, vj-, . . . v^H^; C, L% • • • <î?

les valeurs correspondantes des fonctions u^ t?^, t„. Alors l'équation (57) donnera, en substituant dans le second membre d'abord les expressions des quantités t/ , Vj , î;^ , . . . f i , /j , . . , , //^ (t^) , J^ (t^) , ... en fonction rationnelle de Oy Xij x^j . . . aî^, ^1, yj, . . . y^, et ensuite au lieu de $ successivement les â valeurs ^i, ô», . . . ^,5, l'équation (57) donnera, dis-je, â équations semblables qui, ajoutées ensemble, conduiront à celle-ci:

(71) { +^i(logî;/+ logi;/'+ • • . + log i;f>)+ • . . +^(log V + log ?;/ + ••• + logr^'^O

■f «i(v^i^/+v^i<r+ • • •■+ v^i^^^H ' • • +«n(v^nC+v«c' + • • • +tpj^n'y

Le second membre de cette équation pourra être réduit à une forme beaucoup plus simple. Considérons d'abord la partie algébrique

Cette fonction est exprimée raiionnellement eii

mais elle ast en même temps symétrique par rapport à ôi, d^? • • • ^rï? donc en vertu d'un théorème connu sur les fonctions symétriques et rationnelles, on pourra exprimer la fonction U raiionnellement en fonction de

(73) ^\i ^1 ' ' • ^'fit Vu Vti • ' ' V/A

et des .coefficiens de l'équation 1^=0; mais ceux-ci sont eux-mêmes des fonctions rationnelles des quantités (73), donc la fonction U le sera également

Soit maintenant

(74) log F, = log vJ-\r^ogvJ^ 1- log v<-^\

PRÉCIS D'UNE THÉOBœ DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 549

Oïl aura

donc la fonction F„ est aussi une fonction rationnelle des quantités (73, 69) et symétrique par rapport à ôi , ô^ , . . . ^^ ; donc on démontrera de la même manière que F„ pourra s'exprimer rationnellement par les quantités (73) seules.

Il reste à considérer la partie elliptique de l'équation (71): or d'après les formules du chapitre précédent, on pourra toujours faire

où toutes les quantités

(76) ?;, ^m{T^), Pj qi, q,, ' > ' qv

sont des fonctions rationnelles des fonctions

or celles-ci sont des fonctions rationnelles des quantités (69, 73), et il est clair qu'elles seront symétriques par rapport à 0^^ 0^^ , , , 0,^^ donc enfin on pourra exprimer les fonctions (76) rationnellement par les quantités x^^

^2 î • • • ^/* 5 ViT V'^'t ' ' ' Vfi*

En vertu de ce que nous venons de voir, on pourra donc mettre le second membre de l'équation (71) sous la forme:

r + ^'logp' + ^Mogp''-] f-^(*nogp^*>

+ «l-V'/^i + «2-n^2 H h««-V^nï;.

Nous sommes ainsi parvenus à ce théorème général:

Tliéorème IL Si une intégrale quelconque de la forme

oh y^ , ^2 î • • • Viii s^^* ^^ fonctions algébriques de a:^ , ic^ , . . . x^ , ces derniers étant liés entre eux par un nombre quelconque d'équations algébriques^ peut être exprimée par des fonctions algébriques, logarithmiques et elliptiques de sorte qu'on ait

OÙ -4^, ^g, . . . ttj, «j, . . . sont des constantes, Uj v^^ v^^ . . . t^^ t^^ . . . des fonctions algébriques de x^^ x^ , . . . , et i/^^ , y/^ , . . . des fonctions elliptiques quelconques, alors je dis qu'on pourra toujours exprimer la même intégrale de la manière suivante:

+ .4^*^ log p^^> + «^ . v/, <?, + «,. v/.e, H h «. • V'.«« .

d étant im nombre entier; a^, a^, . . . «„ les mêmes que dans Téquation donnée; A'^ A'* ^ . . . des constantes, et

des fonctions rationnelles des quantités

Ce théorème est non seulement d'une grande importance pour la solution de notre problème général, mais il est encore le fondement de tout ce qui concerne l'application des fonctions algébriques, logarithmiques et elliptiques à la théorie de l'intégration des formules différentielles algébriques. J'en ai déduit un grand nombre de résultats nouveaux et généraux que je soumettrai au jugement des géomètres dans ime autre occasion.

Comme corollaire de ce théorème on doit remarquer le suivant: Théorème III. Si une intégrale de la forme

peut être exprimée par une fonction algébrique et logarithmique de la forme

on pourra toujoui's supposer que u^ v^^ v^^ , . . Vy soient des fonctions ra-

iionnelles de x^^ x^j . . . x^^ y^^ y^^ . . . y^. Si donc on a l'intégrale 1 ydx^

où y est liée à x par une équation algébrique quelconque, on pourra supposer que u^ v^'j v^ etc. soient des fonctions rationnelles de y et x*).

*) J'ai fondé sur ce théorème une nouvelle théorie de Fintégration des formules différentielles algébriques, mais que les circonstances ne m'ont pas permis de publier jusqu'à présent. Cette théorie dépasse de beaucoup les résultats connus, elle a pour but d'opérer tordes les rMiictions possibles des intégrales des formules algébriques, k l'aide des fonctions algébriques et logarithmiques. On parviendra ainsi k réduire au plus petit nombre possible les intégrales nécessaires pour représenter sous forme finie toutes les intégrales qui appartiennent k une même classe.

WtKClS D UNE THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 551

Application du Hvéorème du j>oT(igraplie précédent à la relation générale entre des fonctions

algébriques^ logaritlimiques et elliptiques.

Du théorème général démontré dans le paragraphe précédent on peut déduire immédiatement plusieurs propositions importantes, relatives à la théorie des fonctions elliptiques.

Soit

(77) a^V^^x^+a^W^x^-^ \'a^xp^x^=u-[-A^\ogv^-^A^\ogv^'\ [-^logz7,,

une relation quelconque entre les fonctions elliptiques

dont les modules sont respectivement c^, c^, . . . c^. Si pour abréger on

fait ±y(ï — a:*) (1 — c^x*) = z/„x', le premier membre sera la même chose que

OÙ i\^ r^, . . . r^ seront respectivement des fonctions rationnelles de x^^ x^^ . . . x^. Donc en vertu du théorème III on pourra énoncer le suivant:

Théorème IV. Si Téquation (77) a lieu en supposant que Uj v^j v^^ , . . Vy soient des fonctions algébriques des quantités x^^ x^j . . . x^j on pomTa toujours, sans diminuer la généralité, supposer que w, i; ,?;,... zj^ soient exprimées rationnellement en a;^, x-^, . . ..x^, "'i^i? -^2^27 • • • -^/n^ff •

En écrivant l'équation générale (77) de cette manière:

^ ' I \j~:- — I — jv"^ — '~^~r~

on aura, en vertu du théorème II, le suivant:

Théorème V. Si Téquation (77) a lieu, on en pourra toujours tirer une autre de la forme:

(79) âa^tp^x^-^âa^ifJiX^.-\ h^««V^«^« + «m+i«/'».+i^iH |-«^V^/'^/<-«

= r-f 4'logp'-f 4"logp"H [-^^*>logp^*>,

(t étant un nombre entier et les quantités

des fonctions rationnelles de

On aura encore comme corollaire:

Théorhme VL 8i une relation quelconque entre les fonctions elliptiques

V'i^i) V^a^8 7 • • • ^fi^fi ^^^ *^^î^ espèces a la forme exprimée par réquation (77), on en tirera une autre de la forme:

(80) Sa^.\fj^x= — a^.xp^e^ — a^.xp^e^— • • • — a^i.V'«id^i

+ r + 4'log(>' + ^Mog(>"-j [-^^*>logp%

â étant un nombre entier et toutes les quantités

des fonctions rationnelles de la variable x et du radical correspondant J„x. Toutes ces fonctions pourront donc se mettre sous la forme:

où ^ et 2 sont des fonctions rationnelles de x seul.

Voilà le théorème qui nous conduira, comme nous le verrons plus bas, à la solution de notre problème.

Si Ton suppose que toutes les variables ic^, a:^, . . . x^ soient égales entre elles et à ir, et en outre que les fonctions ^^j, V^,? . . . Va* aient le même module, que nous désignerons par c, alors le premier membre de Té-

/T dx -y- j OÙ r est une fonction rationnelle de x*^ donc en vertu du théorème III on pourra énoncer le suivant:

T'héoreme VIL Si entre les fonctions éDx, (BqX^ ^i^î ^^a^S • • • ^/«^j où fl^^^n^j ... 77^ désignent des fonctions de la troisième espèce, avec des paramètres quelconques, mais avec le même module c que les deux fonctions de la première et de la seconde espèce Gfx et 0>o'Xj on a une relation quelconque de la forme:

J aG>x-{'ao(B^x-{-a,n,x-\-ain^X'^ h«A^/*^

on pourra toujours supposer que les quantités

soient de la forme p-^qJx^ oh p et q sont des fonctions rationnelles de X seul. •

Ce théorème est aussi d'une grande importance dans la théorie des fonctions elliptiques. Nous en développerons dans le chapitre IV les conséquences les plus importantes pour notre objet.

Béducdoti du problème général.

Reprenons la formule du théorème VI. En la dilïérentiant, le résultat sera de la forme

OÙ p et Q sont des fonctions rationnelles de ce; donc on doit avoir séparément P=0, Q=zOj et par suite P — Q .J„x = Oj donc la formule (80) aura encore Ueu en changeant le signe du radical ^^x. Or en faisant ce changement et en désignant par d/, 02^ 0^' etc. les valeurs correspondantes de ôi? ôg, . . ., on aura

où pour abréger nous avons mis le signe de sommation 2^ v' étant la partie algébrique et logarithmique. En retranchant cette équation de l'équation (80), on obtiendra (82) 2 J «„ ^^x — :Sa {tp0' — yj0)-\-v — v\

Cela posé, désignons par c le module de la fonction i// et par Jx la fonction ± y(l — ^*)(1 — c^ic*); alors on aura, d'après ce qu'on a vu dans le chapitre I (35)

en faisant

v^' étant une expression algébrique et logarithmique. Soient maintenant

Q=Lp-^q/l^x^ je = r-\-Qj^x,

où p, g', r, p sont des fonctions rationnelles de x. En changeant le signe

du radical ^„cc, on aura les valeurs de 0' et Jd\ savoir

554 PKÉCIS D'UNE THÉOUIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES.

En substituant ces valeurs dans Texpression de y, il est clair que cette fonction prendra la forme

où t est rationnel en x. En vertu de la formule (34) on voit de même que Jy sera rationnel en ic.

Si Ton fait maintenant

1 — c^e^y* oh e est constant, on aura encore

\pd' — yj0 = yjz -\- Vi .

Or je dis qu'on pourra faire en sorte que z soit une fonction rationnelle de X. En effet il suffît pour cela d'attribuer à la constante e une valeur qui - armule Je,

Soit par exemple e = 1 , on aura

mais, connue nous venons de le voir, y* et Jy sont des fonctions rationnelles de Xj donc z le sera de même.

La forumle (82) prendra donc la forme suivante:

(85) 2âa^yj^x = 2:a.yjz-^V,

où V est une fonction algébrique et logarithmique, qui eu vertu du théorème II pourra se mettre sous la forme

toutes les quantités u^ t\j v^^ . . . étant de la forme p-^qJ^x.

En développant le second membre de l'équation (85), on aura aussi la foniuile

OÙ en vertu des deux équations (84, 83) toutes les quantités

PRÉCIS D'UNE THÉORIE DBS PONCTIONS ELLIPTIQUES. 555

sont des fonctions rationnelles de la variable x. Cette formule est donc une suite nécessaire de la formule générale (77). Il faut faire attention que 8 est un nombre entier et que les coefficiens a^, «a? • • • «a** sont précisément les mêmes dans les deux formules. C'est une remarque essentielle.

A l'aide de la formule (86) on pourra maintenant réduire la formule générale (77) à une autre plus simple. En efi'et, en éliminant la fonction \\)^x entre ces deux équations, on trouvera une équation de la même forme que la proposée, mais qui contiendra un nombre moindre de fonctions elliptiques. Faisons m = ,u et mettons x^ pour x dans la formule (86). On aura

En éliminant la fonction V^^cc^ entre les deux équations il viendra (87) «i(2(yv^iXi — v/i2i) -I Y «^-i(2(yv/^ia:^i — rp^^iZ^-i) = V\.

'Mais 2d étant un nombre entier, on pourra, en vertu de ce que nous avons vu dans le chapitre précédent, trouver des fonctions algébriques a?/, x^\ . . . ^fi-i telles que

2âxp^x^ — xp^z^ = yj^x,' -\- V, ,

2 (yXp2^2 — y^i^i = fi^2 + ^2

etc.

donc la formule (87) donnera celle-ci

/ggx ( «1 • v^i^?/ + «8 • y^9^' H h «/i-i • v^/.-i^Vi

V = z^' 4- .4/ log v/ 4- A^' log î^a' + • • • + A/ log v/.

Cette équation est précisément de la même fonne que l'équation proposée; seulement elle ne contient plus la fonction ip^. On pourra la traiter de la même manière et en chasser une autre fonction, par exemple V^^i. En continuant ainsi, on parviendra enfin à une équation qui ne contiendra que des fonctions algébriques et logarithmiques, et qui ne n'aura pas de difficulté. On voit donc que le problème général pouira être réduit à celui-ci:

Satisfaire de la manière la plus générale à V équation

\ -f.w + ^ilog?;irf AJogi;^^- .. |-^^logv^,

oà 1//, t^i, ^j, . . . «//„ désig7ient des fonctions elliptiques des trois espèces^

en supposant que

V^mV.

yn y«> • • • Vn

soient des fonctions rationnelles de x] et que ^i^/i? ^^Hti • • • ^nVn soient de la forme p/tx^ où p est rationnel en x^ et oh /Ix désigne le radical qui figure dans la fonction rpx.

Soient

Supposons que ces équations soient satisfaites, et soit

Oxj O^x^ . . , O^x étant toujours des fonctions rationnelles suivant la nature des fonctions y/, i/Zj, . . . y;^, on aura

/^m^/rn dy„, dx ^ p^ dœ ' Jx^

or --?--. -;?i? est une fonction rationnelle de x. donc Tintéffrale du second Pm dx 7 . &

membre pourra être réduite à la forme

tpn.y. = r^Aœx-\-A,(D,x-]-A'n{x,a')'\-A''n{x,a'')-\ ,

où r est une expression algébrique et logarithmique. En transformant toutes les fonctions y/x, i/^i^i, V^^y»? • • • ^^ cette manière, l'équation (89) prendra cette forme

(^90^ ( «®^ + «o«>oaî + «1 /7(^, ai) -f a, /7(rc, a^)-\ • + «;* n[{^j %)

En vertu de ce que nous venons de voir il est clair que la solution du problème (89) pourra être réduite à celle des problèmes suivans:

Problème A. Trouver tous les cas possibles où Ton peut satisfaire à l'équation

en supposant y et p fonctions rationnelles de l'indéterminée x, c et c' étant des constantes.

Problème B, L'équation (91) étant satisfaite, réduire les trois fonctions

f^{y,o% (Bo(j/,c'), n(y,c',a) à la forme

r-}-Asix-^A^a}oX-{-A'n{x,a')-\-A''n{x,a'')-\

OÙ r est une expression algébrique et logarithmique.

Problème C. Trouver la relation la plus générale entre les fonctions qui ont le même module et la même variable, c'est-à-dire: trouver les conditions nécessaires et. suffisantes pour qu'on puisse exprimer une fonction de la forme

par des fonctions algébriques et des logarithmes.

La solution complète de ces trois problèmes sera l'objet principal de nos recherches ultérieures. Nous allons commencer par le dernier qui est le plus simple.