SOLUTION DE QCELQ. PROBL. À L*AIDE D'INTÉGRALES DÉP
donc
ils
et en intégrant
dt=-- ,
y a — le J Va — .r
Pour avoir T on doit prendre l'intégrale depuis x=-a jusqu'à a: = 0, on a donc
Jx=o Va — ^
Or connne T est égal à i//a, l'équation devientt
Jx=o Va — «
Au lieu de résoudre cette équation, je vais montrer comment on peut tirer s de l'équation plus générale
OÙ w est supposé moindre que l'unité, afin que l'intégrale ne devienne pas infinie entre les limites données; yja .est une fonction quelconque qui n'est pas infinie quand a est égal à zéro. Posons
s = -Za^^^x",
où -2'a^'"^x" a la valeur suivante:
En diflFérentiant on obtient
donc
(a — xy (a — j?)» (a — .r)»» '
En intégrant on a
Or
SOLUTION DE QUELQ. PROBL. k L'AIDE D'INTÉGRALES DÉP. 13
donc, puisque / ^ ^^^^y = ipa:
La valeur de l'intégrale
se trouve aisément de la manière suivante: Si l'on pose x = at^ on a
{a — xy^ = {a — aif = a\l — /)%
Or on a
ml > N = mar \ -r. ^c- .
jo («—'•)" jo (l-O''
jo '(i-ty-~r(m-n+iy
oh TfYi est une fonction détenninée par les équations
r{in-\-l) = mrm, r(i) = i.*)
En substituant cette valeur pour l'intégi'ale / ^^- .-, et remarquant que mrm= r{7n-\-l) on a
Jo (« — ^)" r(m — n+1)
En substituant cette valeur dans l'expression pour y/n^ on obtient
' ^ ' / (in — «+!)
Soit
on a
*) Les propriétés de cette fonction remarquable ont été largement développées par M. Legewire dans son ouvrage, Exercices de calcul intégral t. I et IL
14 SOLUTION DE QUËLQ. PROBL. A L'AIDE D'INTÉGRALES DÉF.
Pour ((lie cette équation soit satisfaite il faut que m — 7i = kj donc m = ??-[- A:, et que
rlonc
Or on a
.?(*; ''(1 -lO n^n + 1) ^ ..; r(l- ^0 l> + ^ + 1) ,.)
~ /XI — ^0 /'ô* + ^ + 1) '
par conséquent
n t^dt Tw.r (/: + !)
En multipliant par x'^zz^af'^^ on obtient
ThV/Xi-«)"Jo (1-0'-'
d'où
1 2 li(''>(aiy'<h
Mais on a -S'«^'"V = ,s, 2:i3^''^{xiy=:rp{xi\ donc
En remarquant ensuite qu'on a Tn.ril — n) = -ï^ , on trouve
yr
De ce qui précède découle ce théorème remarquable: Si l'on a
on a aussi
Appliquons maintenant cela à l'équation
ipa
jx=o y» — .*
SOLUTION DE QUELQ. PROBL. A L'AIDE D'INTEGRALES DEF, 15
On a (hiiLS ce Cits w = 4, ^l^^^^^* 1 — ^^ = i ^^ P«^i' conséquent
Vj? P ij^(xf)iU
Voilà donc Téquation qui déteniiine l'arc s de la courbe cherchée par l'abscisse correspondante a:; on en tirera facilement une équation entre les coordonnées rectangulaires, en remarquant que l'on a di? =:^ dx^ -^ dif .
Appliquons maintenant la solution précédente à quelques cas spéciaux. 1) Trouver la courbe qui a la prppriété, que le temps qu'un coi-ps emploie pour parcourir un arc quelconque, soit proportionel à la n^^"™* puissance de la hauteur que le corps a parcourue.
Dans ce cas on a xfja ^ ca", où c est une constante, donc \p{xt) = c;xfi ", par suite:
donc en faisant
Jo n-t - ^'
TC
on a
on tire de là
ds = (n-{-^)Cx''-^dx^
et
d^ = {n^ |)^C*x^»-^rfx^ = dif + d^, d'où l'on déduit en posant {n-\-\yC^z=h
dy = dx y ^x""-^ — 1 ; l'équation de la courbe cherchée devient donc
7j = fdx\/kx^"-' — l.
Si l'on fait n = \^ on a iz:^"~^ = l, donc
y=Jdxfk—'l=k'-\-x\/k—l, la courbe cherchée est donc une (h'oite.
16 SOLUTION DE QU£LQ. PBOBL. À L*AIDË D'INTEGRALES DÉF.
2) Trouver réquatioii de l'isochrone. .
Puisque le temps doit être indépendant de l'espace parcouni, on a ipa = c et par conséquent
donc
'^ jo yi-
= kfx,
où
c p dt
~^'Jo Vi-
ce qui est l'équation connue de la cycloide. Nous avons vu que si l'on a
/' ^^« ds ... -V-'Y
on a aussi
8in«7r r^ \j^(xi)dt
On peut aussi exprimer s d'une autre manière, que je vais rapporter à cause de sa singularité, savoir
^ — T(ï—njJ '^•^•'^'^ ~7xi— «) d^c- ''
c'est-à-dire, si l'on a on a aussi
=± / ds [a — x)".
1 d»llKC ^
en d'autres ternies, on a
Cette proposition se démontre aisément comme il suit. Si l'on pose
\{fx = :i"'a^"'^x"'.
on obtient en ditï'érentiant:
mais
SOLUTION DE QUELQ. PKOBL,. A L'AIDE D'INTÉGKALES DÉF.
Ov on a
r(m+i) 1 n t<it
par conséquent
mais
«^"'^x^)* = ip {xt\ donc
1 p xp(ai)(U
En posant k = — n, on en tire
l-''ipa! jr* r^ xp(jct)fi
Or nous avons vu que
donc on a
^ ;c» r^ \p{œt)dt
1 c^-*» \px
SI
/"'=« (Is
En différentîant n fois de suite la valeur de 5, on obtient
et par conséquent, en faisant s = <px^
d^(fa
i^(fa 1 r« q)'x . dx
On doit remarquer que, dans ce qui précède, n doit toujours être moindre que l'unité.
Si Ton fait w = ^, on a
wa= I /
j,=o ya — x
18 SOLUTION DE QUELQ. PROBL. A L'AIDE D'INTÉGRALES DÉF.
et
1 d-^ibx 1 r* , .
Vn dx-i Vn J ^
C'est là l'équatiou de Isb courbe cherchée, quand le temps est égal à xpa. De cette équation on tire
donc:
Si l'équation d'une courbe est s = (pXj le temps qu'un corps emploie
pour en parcourir un arc, dont la hauteur est a, est égal à ^n -j^, .
Je remarquerai enfin que de la même manière, qu'en partant de l'équation
r«=« ds
j'ai trouvé «, de même en partant de l'équation
^a =: I (p[xa)fx . dx
j'ai trouvé la fonction (fi ^ et / étant des fonctions données, et l'intégrale étant prise entre des limites quelconques; mais la solution de ce problème est trop longue pour être donnée ici.
Valear de Veœpression fp(x -|- y V — 1) + y (^ — y^ — !)•
Lorsque tp est une fonction algébrique, logarithmique, exponentielle ou circulaire, on peut, comme on sait, toujours exprimer la valeur réelle de
(p{x -\- yy — 1) -f- (p{x — yy — i) sous forme réelle et finie. Si au contraire ip conserve sa généralité, on n'a pas que je sache, jusqu'à présent pu l'exprinier sous fonne réelle et finie. On peut le faire à l'aide d'intégrales définies de la manière suivante.
Si l'on développe y (ic -j- ^V^^i) e* ^(^ — 'yY~^) d'après le théorème de TayloTj on obtient
// ,^'it ^ ^n> .
9>(x+3/}/=r-i-)=yx+y'x.3,y=rï J'Jj^^^^3yViiT+j?--^
// ,^iif ^ ^tft
(p{x — y}/^ 1)= <px — (f'x.tj^— 1 — ^^y* + ^^2/'|/=ri + ^-^^y* — . . .
